2017高中数学联赛基础-2-高联2讲义6幂函数

高中数学自修讲6【考点精讲】y

考点1：幂函数的定义(α为实数）的函数叫做幂函数，其中x是自变量，aR注意：幂函数与指数函数的区别【典例精析】例题 已知f（x）＝m22mxm2m1，m为何值时，f（x）是正比例函数反比例函数二次函数在（4）的条件下，满足在（0，＋∞）上单调递增思路导航：本题考查函数的定义，需要注意幂函数的系数必须 1答案：（1）若f（x）为正比例函数，则 ⇒m＝1若f（x）为反比例函数，

⇒m＝－1若f（x）为二次函数，

－1±o2±f（x）在（0，＋∞）m2m10，∴m＝－12例题 已知幂函数f（x）＝xm22m3（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在上是减函数，求满足(a

3＜(3

3a思路导航：解答此类问题可分为两步：第一步，利用单调性和奇偶性（图象对称性）求ma的取值范围。∵函数在（0，＋∞）上递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3∵m∈N*，∴m＝1，2又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数∴m＝1f(x)

在（－∞，0），（0，＋∞）上均为减函数(a1)332a)30＞a＋1＞3－2aa＋1＜0＜3－2a。解得a＜－1或2＜a＜3。 故a的取值范围为{a|a＜－1或23

例题3m∈N*，函f（x）＝（2m－m2）·x2m23m2在（0，＋∞）上是增函数，f（x）的奇偶性。（1）幂函数y＝xa的特点：①系数必须为1；②指数必须为常数（2）幂函数的单调性：①当α>0时，y＝xa在（0，＋∞）上为增函数；②当α<0＝xa在（0，＋∞）上为减函数由函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数得21

或2m－m210，或 ∴1<m<2或－2<m<02

m>2∵m∈N*，∴m＝1.此时f（x）＝x3，x∈R∴函数f（x）为奇【总结提升】考点2：幂函数的图象和性质【考点精讲】幂函数的图象幂函数的性质的正负：>0时，图象过原点和（1，1），在第一象限的图象上升；<0时，曲线在第一象限的凹凸性：>1时，曲线下凸；0<<1时，曲线上凸；<0时曲线下凸【典例精析】例题 若点 2,2)在幂函数f（x）的图象上，点f(x),f(x)

在幂函数g（x）4h（x）＝g(xf(x)g(x)h（x）思路导航：本题是求函数h（x）的最大值以及单调区间，只需作出其图象，利用数形结合求解即可，但由于在条件中已知函数h（x）在相应段上的解析式，所以，在求解方法上，应在每一段上求最大值及函数的单调区间，同时要注意函数端点值。x2,xh(xx21x0或0xx－2,x根据图象可知：函数的最大值等 1，单调递增区间是（－∞，－1）和（0，1），单递减区间是（－1，0）和（1，＋∞）点评：本题解题的关键是理解h（x）是取f（x）和g（x）中较小的函数值，注意数形h（x）的图象即可求出最值和单调区间。 x 例题 对于幂函数f(x)x5，若0xx，则f

f(x)f(x 2小关系是

f(x1x2)2C.f(x1x2)2

f(x1)f(x2)f(x1)f(x22

f(x1x2)2D.

f(x1)f(x2)思路导航：本题考查幂函数图象的形状，当α>1 变化率逐渐增大，当0<α<1时，递增得越来越慢，只需比较x1，x2中点的函数值fx1x2f(xf(x 答案：幂函数图象在第一象限的凹凸性：a1时，曲线下凸；0a1时，曲线上凸a0fx1x2f(x1f(x2)系很容易确定

2,x例题 已知函

f(x)

,若关于x的方程f（x）＝k有两个不同的实根则实数k的取值范围 思路导航f（x）＝k有两个不同的实根，则y＝f（x）与y＝k有两个不同交点.作出y＝f（x）的图象，可知k∈（0，1）。答案点评：本题主要考查幂函数图象的变换及函数与方程的思想，先通过幂函数图象的变换作出（xk的取值范围。【总结提升】nn（1）

（mN

nZmn互质）n为偶数时，f(x)为偶函数，其图象y轴对称②当m,n都为奇数时，f(x)为奇函数，其图象关于原点对称③当m为偶数，n为奇数时，f(x)为非奇非偶函数，其图象只能在第一象限幂函数的图象最多只能出现在两个象限内如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点【考点精讲】

考点3：幂函数的综合应用比较幂值大小的类型及方当幂的底数相同，指数不相同时，可以利用指数函数的单调性比较当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较当幂的底数与指数都不同时，法是作商，比较商值与1的大小关系，确定两个幂值的大小关系；另法是找中间值，即找中间量，通过比较两个幂值与中间量的大比较多个幂值的大小，一般也采用中间量法，即先判断每个幂值与01系。在幂函数中，分类讨论的思想得到了充分的体现，分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏地分类讨论。【典例精析】例题 比较下列各组中两个值大6（1）

656（1）∵函数y＝x11在(0上是增函数且00.60.7 0.6110.7115（2）函数y＝x3在(0上增函数且 ∴0.883＜0.893 点评0的关系，分析出例题 利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤（1）y(x

31；（2）y

x22xox22x思路导航：本题考查幂函数的图象及图象的平移变换，（1）yx2)31x22x （2）函数y 1 1，把函数y 的图象向x22x x22x (x xx22x

x2