辽宁省高中新课程省级培训课件

辽宁省高中新课程省级培训数学科讲师团胡文亮Email：gzsxhwlg@163.com导数及其应用专题辽宁省高中新课程省级培训导数及其应用专题1一、学习微积分的意义

1．天地通用微积分：

是研究各种科学的工具，在中学数学中是研究初等函数最有效的工具.微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、对以后许多数学的发展起决定性作用的思想.”恩格斯称之为“17世纪自然科学的三大发明之一.”微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示了数学对于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进作用.整体介绍

一、学习微积分的意义整体介绍22．为研究变量和函数提供了重要的方法和手段：导数是刻画函数变化快慢程度的一个一般概念，由于变量和函数在自然界和社会中有着几乎无处不在的实际背景，所以它是高等学校许多专业的一门重要基础课.

欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命.3．具有将复杂问题归纳为简单规则和步骤的非凡能力：学习微积分，学生的数学和思维水平都将进入一个新的阶段，能切实地训练学生的辨证思维.毫不夸张地说，不学或未学懂微积分，学生思维难以达到较高的水平，难以适应21世纪对高中学生素质的要求.2．为研究变量和函数提供了重要的方法和手段：34．作为现代社会成员的一项科学文化素质要求：高中学生，不论他将来是否进入高校学习，都应学习导数及其应用的内容，并应用它考察和理解实际现象中的变化，或者在遇到相关问题向数学求助.作为现代社会成员的一项科学文化素质要求，是高中阶段学习导数及其应用的首要目标.一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的.微积分也是这样.5.合作学习意识的引导与强化:4．作为现代社会成员的一项科学文化素质要求：高中学生，不论4二、编写的指导思想1．打破传统的教学顺序，突出概念本质

：越过极限理论和连续函数，直取导数，然后快速攻进微积分的核心——微积分基本定理.没有从数学定义的角度讲极限，可以避免学生难以克服极限概念的理解这个问题，从而将更多的精力关注于导数和定积分概念本质的理解上，而不单单地将导数和定积分理解为一种特殊的极限.虽然没有给出极限的定义，但是自始至终都体现出了极限的思想，以让学生在学习的过程中以具体内容为载体，逐步体会和感受极限思想，从而为大学阶段学习严格的极限定义打好基础.二、编写的指导思想1．打破传统的教学顺序，突出概念本质：5从历史上看，是先有微积分，后有极限.牛顿和莱布尼兹创立微积分学后，他们并没有解决无穷小量问题.牛顿对无穷小量究竟是不是零曾作过三种不同解释：有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁.直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础，才使微积分进一步的发展开来.从历史上看，是先有微积分，后有极限.牛顿和莱布尼兹创立微积分6在教学中应该贯彻两条线.第一，是按照自然的历史的人的认识过程来表述；第二才是严密的公理化的表述.现在对于前者我们重视的太不够了.两个极限典例中国刘徽的“割圆术”：“割之弥细，所失弥少

，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.外国的阿基里斯追龟永不及：在教学中应该贯彻两条线.第一，是按照自然的历史的人的认识过程73．返璞归真，强调本质：没有介绍任何形式的极限定义及相关知识，而是从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数，用“趋近于”、“无限逼近于”、“趋于”、“无限变小”等通俗易懂的词对极限的过程进行描述.努力揭示数学对象的发展过程与本质，领会其中的数学思想方法.4．尽力体现课标理念：直观理解导数的背景，关注其思想和作用，重视其应用价值.贯穿微积分的基本思想方法：无限细分，以直代曲，并在解决问题的实践中逐步领悟.

2．理论依据是直角三角形：从登山运动出发，引出导数，直至以测量山顶高度为实际背景，经历概念发展的过程，体会其思想内涵，导出微积分学基本定理.

3．返璞归真，强调本质：4．尽力体现课标理念：2．理论依据8三、教材概述

1．与原大纲教材相比内容的调整变化：（1）选修1—1中，导数公式包含所有常见基本初等函数的导数；（2）选修2—2中，新增加了“定积分与微积分基本定理”；（3）所有导数公式都是用导数表给出，不要求学生证明；（4）删除了函数的最大值与最小值一节，相关内容以例题出现；三、教材概述1．与原大纲教材相比内容的调整变化：9（5）选修2—2中，删除复合函数的导数一节，但有相关的例题和习题；（6）都增设了导数的实际应用——研究最优化问题；（7）用数学软件求导数理科必修，文科选学．2．研究的方法，是直观微积分：通过直观说理学习微积分，而不是不说理；通过数值的近似计算理解微积分思想．不讲极限，但是仍然用极限的符号去表述，只将极限作为一种符号，而不考虑它的意义．它的基本方法是无限细分，以直代曲，用微观驾驭宏观．（5）选修2—2中，删除复合函数的导数一节，但有相关的例题和103.内容概述——理科分为四个大节第一大节：导数．这一节通过具体实例，介绍函数的平均变化率、瞬时速度、瞬时变化率、导数的概念，结合具体函数介绍导数的几何意义．要多举生活或学习中的实例，以体会研究过程中所体现的极限思想．引导学生在学习过程中要认真体会学习与研究的方法，加强数形结合思想的应用意识和字母运算能力的强化．第二大节：导数的运算．这一节主要是学习基本初等函数的求导方法和导数的四则运算法则.要注意导数的运算法则与实数运算法则的联系与区别．对教材中给出的基本初等函数的导数表要能准确熟练的记忆，并会用数学软件求简单基本初等函数的导数．3.内容概述——理科分为四个大节第一大节：导数．这一节通过具11第三大节：导数的应用．这一大节是本章学习与应用的重点，包含利用导数判断函数的单调性、利用导数研究函数的极值、导数的实际应用三个方面的内容，充分体现了导数在研究函数及在解决生产、生活实际问题中的作用．利用直观的方法理解、体会函数的单调性、函数的极值、函数的最值与导数的关系，特别是函数的最值与函数的极值的联系与区别．第四大节：定积分与微积分基本定理．本节通过求曲边梯形的面积和求变力作功介绍定积分的概念，通过具体问题介绍微积分基本定理.要通过本节的学习了解微积分的科学价值、文化价值和基本思想，本节内容是本章的一个难点．第三大节：导数的应用．这一大节是本章学习与应用的重点，包含利12四、应注意的几个问题

1．要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值．由于学生没有学习极限，而导数又作为一种特殊的极限，我们如何处理这部分内容？导数及其应用在编排上更侧重于思想和概念的本质，不能把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是应通过实际的背景和具体应用事例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念，同时加强学生对导数几何意义的认识和理解，直观了解微积分基本定理的含义.四、应注意的几个问题1．要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤132．导数的运算不宜要求过高．由于没有学习极限，因此，我们不能过多地要求学生利用极限去求过于复杂的函数导数.只要求学生能根据导数定义求基本幂函数的导数，能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)）的导数.3．注重导数在研究函数和生活实践中的应用．导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般，最有效的工具，只要求学生能借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系.2．导数的运算不宜要求过高．由于没有学习极限，因此，我们不144．高中微积分课程更要注重知识发生、发展的过程．导数是微积分的核心概念，理解导数概念的实质、把握导数概念的生成所反映的思想和方法，是学习微积分的重中之重，从导数概念的发生、发展来看，变化率则是导数思想方法的核心，亦即中学开设微积分课程价值的核心.5．关注数学文化．重视和学生一起收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流，体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值.4．高中微积分课程更要注重知识发生、发展的过程．导数是微积15课标要求

1．导数概念及其几何意义（1）通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．（2）通过函数图像直观地理解导数的几何意义．2．导数的运算

（1）能根据导数定义，求函数

的导数．

（理）能根据导数定义，求函数

的导数．

课标要求1．导数概念及其几何意义2．导数的运算（116（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．（理）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数

（仅限于形如

）的导数．

（3）会使用导数公式表．

（1）结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．（2）结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．3．导数在研究函数中的应用（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则174．生活中的优化问题举例例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用．5．数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值．（理）定积分与微积分基本定理（1）通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念．（2）通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义．6．（理同文5）4．生活中的优化问题举例18考试大纲要求

1．导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景．（2）理解导数的几何意义．2．导数的运算

（1）能根据导数定义，求函数

的导数．

（理）能根据导数定义，求函数

的导数．

考试大纲要求1．导数概念及其几何意义（1）能根据导数定19（2）能利用表1给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．（理）能利用表1给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单的复合函数

（仅限于形如

）的导数．

表1：常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：

常数、幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数（含e为底）、对数函数（含e为底）的导数公式．和、差、积、商的导数运算法则公式．（2）能利用表1给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算20（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次．

（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次．

4．生活中的优化问题．会利用导数解决某些实际问题．5．（理）定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．（2）了解微积分基本定理的含义．3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性21说明：

1．广东、山东的考试说明与全国的相同，但是海南、宁夏的与全国的有所不同，有以下三处：（1）导数的运算：文科要求“能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数．”（2）导数在研究函数中的应用：（3）通过典型实例，体会导数在解决实际问题中的作用．2．对于导数的应用，考试大纲的要求高于课标的要求．“能利用导数研究函数的单调性”．3.江苏省只对节的标题有要求，没有提出对具体内容的要求，且最高要求是“理解”.说明：1．广东、山东的考试说明与全国的相同，但是海南、宁夏22大纲要求

1．（文）通过丰富的实际材料体验导数概念的背景；理解导数是平均变化率的极限；理解导数的几何意义．

（理）了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．

2．（文）掌握函数y=xn（n为正整数）的导数公式，会求多项式函数的导数．

（理）熟记基本导数公式(c，xm(m为有理数)，sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．大纲要求1．（文）通过丰富的实际材料体验导数概念233．（文）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值；通过解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题，体验导数求最大值与最小值的应用．

（理）会从几何直观了解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．

4．通过介绍微积分建立的时代背景和过程，了解微积分的科学价值、文化价值和基本思想．3．（文）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导24教材分析

一、导数1.教学要求的变化：

《大纲》的要求是“理解导数是平均变化率的极限；理解导数的几何意义；”《课标》的要求是“知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；通过函数图像直观地理解导数的几何意义．”《课标》比《大纲》降低了理论要求．

文理要求相同

教材分析一、导数252.教学内容的变化：《大纲》教材是在学习了数列的极限、函数的极限、函数的连续性等知识的基础上，从切线的斜率和瞬时速度引入导数的概念；《课标》教材没有给出极限的定义，而是按照：平均速度（平均变化率）—瞬时速度（瞬时变化率）—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用形象直观的“逼近”方法定义导数．避开极限概念的难点，让学生有更充裕的时间学习导数的思想方法，体会导数概念产生的背景及其在现实生活中的应用．2.教学内容的变化：《大纲》教材是在学习了数列的极限、函数的264.以实例解决研究方法的问题．教材所给的登山实例，是要让学生体会世界上的变化无处不在，和如何刻画人们经常关心变化的快慢问题，即是解决研究方法的问题．若两个变量存在函数关系，他们在某一范围内的平均变化情况可用函数的改变量与相对应的自变量的改变量的比来刻画．（消元思想）

3.本节教学内容的重点与难点：重点是：导数概念的引进；导数实际意义的理解—知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵，直观理解导数的几何意义．教学难点是：导数产生的极限过程，体会从平均变化率到瞬时变化率，从割线到切线的过程中采用的逼近方法

．4.以实例解决研究方法的问题．3.本节教学内容的重点与难点：275.瞬时变化率不是由“计算”得来的．

形成导数定义以及理解导数内涵的基础都是瞬时速度这个具体的物理模型，因此教学的关键是让学生充分经历从平均速度探究到瞬时速度，体会到整个过程中采用的方法以及明确瞬时速度的含义．瞬时变化率是通过缩短自变量的改变量，用平均变化率“逼近”了瞬时变化率．瞬时变化率不是由“计算”得来的，而是客观存在的，令自变量的改变量趋于零，只是一种研究或刻画的方法，即是极限的思想方法，要会用“动”来看“静”．（极限的符号只能作为一种记号）由实际问题抽象为数学的函数模型问题，就得到函数的瞬时变化率——导数，即导数是函数瞬时变化率的另一种说法．5.瞬时变化率不是由“计算”得来的．形成导数定义以及理解导28此部分内容的重点是让学生体会研究的方法与过程——从自变量的改变量出发，再令自变量的改变量“无限”的趋于零．要引导学生归纳出求函数导数的三个基本步骤：（1）求函数的增量；（2）求平均变化率；（3）取极限.注意：研究导数的条件是函数f（x）必须是在闭区间[a，b]“连续”的，而导数f'（x）又是只在开区间（a，b）才可能存在的，至于为什么这不是我们现在研究的范围．此部分内容的重点是让学生体会研究的方法与过程——从自变量的改296．导数的几何意义的学习．必须在学生对图形充分感知的基础上进行，这是课标明确要求的．导数的几何意义——就是从图形的角度说明什么是导数，要让学生充分感知导数几何意义形成的过程，这也是对本节知识、方法的归纳总结过程，平均变化率的几何意义是过两点直线（割线）的斜率，瞬时变化率是一点处切线的斜率，割线变为切线的过程就是“逼近”的过程，也是以“直”代“曲”的过程，重要的是研究的过程与方法．注意与初中圆的切的区别

7.对直角三角形的认识角度与应用意识ACB6．导数的几何意义的学习．必须在学生对图形充分感知的基础上30对教材内容处理的几点建议

1．（理）P4第4行“……之差与横坐标之差的比值”——“……之差与相应横坐标之差的比值”．2．（理）P4例2、（文）P77例2所给函数不连续．函数的平均变化率是对一个连续的区间而言的

3.（理）P5练习B1、（文）P78练习B1，“治污效果好？”——“治污效率好？”．4．（理）P8第6行、（文）P80第十九行，“能越过任意小的时间间隔，但始终不能为零．”——“能越过任意小的时间间隔，非常的接近于零，但始终不能为零

．5．（理）P13习题1—1A第2题（1）、（文）P85习题3—1A第2题（1），与P13练习A第3题重复，换题．对教材内容处理的几点建议1．（理）P4第4行“……之差与横31例：函数f(x)在区间（a，b）内处处可导，其图象大致如图所示，并且它的导数f/(x)在（a，b）内仍处处可导，令y=g(x)=f/(x)，则g(x)的导数g/(x)的值（

）

A．恒为正数B．恒为负数C．有正也有负D．不小于零oyxaby=f(x)例：函数f(x)在区间（a，b）内处处可导，其图象大致如图所32不要选择下列类问题进行训练B.A.C.D.01.若函数在区间内可导，且，的值为（）则A．－１ B．－2 C．－3 D．1()2.不要选择下列类问题进行训练B.A.C.D.01.若33二、导数的运算

1.教学要求的变化：《课标》明显降低了理论要求，积与商的运算法则不再推导，特别是对复合函数的求导的要求限制的非常明确，但是却提高了计算的技能和能力要求.

掌握——会求简单函数的导数文科不要求、、的求导二、导数的运算1.教学要求的变化：文科不要求、、的求导342.教学内容的变化：有理指数函数、对数函数的导数公式不再推导，直接以公式表的形式给出.增加了导数公式的推导.新增加了“数学软件的应用”这一教学内容；复合函数的内容不以一小节的内容出现.3.本节教学内容的重点与难点：公式的推导.导数公式表的准确记忆与运用；运算法则的灵活运用．难点是：导数公式的推导过程中求极限含义的理解；函数积与商的导数运算法则的灵活运用；复合函数求导过程的意义．重点是：2.教学内容的变化：有理指数函数、对数函数的导数公式不再推导354．注意形式化训练中的规范要求：在推导的过程中，要注意形式化训练中的规范要求，由于在求极限的过程中，若“简化”过程都会出现“0/0”的形式，由此让学生体会过程的重要性．既要突出导数这一算法的基本思想和方法，又要注意相关基础知识的补充与强化．5.准确记忆导数公式表：导数公式表给出了基本初等函数的导数公式，主要是让学生能准确记忆，并能熟练地应用于求导数的过程中，这些公式中除y=c的导数外，其余公式都不要求学生独立进行推导．要让掌握用计算软件Maple求函数的导数/zy/——工具软件4．注意形式化训练中的规范要求：在推导的过程中，要注意形式化36ΔxCxDxOABθE探索与研究（理科）

直观理解sinx和cosx的导数ΔxCxDxOABθE探索与研究（理科）

直观理376.熟练应用导数的四则运算法则：导数的四则运算法则是“求导数”作为一种运算的运算域的规定，教材只给出和（或差）公式的证明，不要求学生能根据定义对积、商的导数公式进行证明．要让学生注意实数的运算法则并不完全适用于求导数的运算法则.7.严格控制复合函数的求导：（不独立成节）要求学生会求函数的导数，不要求会求函数或的导数．不要将解析式为分式的函数的分母改成负指数幂形式运算法则满足运算律6.熟练应用导数的四则运算法则：导数的四则运算法则是“求导数38对教材内容处理的几点建议

1．理P22例1：较难，可改为实系数的.（文科为整数系数的）

2．补充极限的四则运算法则：是只给出公式，不解释含义,不要求学生弄懂原因.

3．理科P21例5：

例5的结论可给出一般化的结论.

对教材内容处理的几点建议1．理P22例1：39例1.求函数

的导数．

例2.求函数

的导数．

例1.求函数的导数．例2.求函数的导数．401.教学要求的变化：整体上教学要求有所提高.增加了“能利用导数研究函数的单调性；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性；体会导数在解决实际问题中的作用”；但在研究函数的极值与最值方面却有严格限制，要求所研究的函数类型为多项式函数，且多项式的次数不超过三．《课标》要求高于《大纲》要求；《课标考纲》要求高于《课标》要求.2.教学内容的变化：取消了“函数的最大值与最小值”一节；增设了解决实际问题的内容单独为一小节.特别是对抽象函数的图象的识别能力，要求学生有较高的观察能力．三、导数的应用1.教学要求的变化：整体上教学要求有所提高.增加了“能利用导413.教学内容的重点与难点：重点是：利用直观的方法理解、体会函数的单调性、函数的极值、函数的最值与导数的关系；会求不超过三次的多项式函数的单调区间；函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，利用导数判别可导函数极值的方法；求一些实际问题的最大值与最小值．难点是：对抽象函数图象的观察与识别；函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；最值与极值的区别和联系，如何建立模型求一些实际问题的最大值与最小值；函数的单调性与极值、最值知识的综合运用．要强化数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想的教学.3.教学内容的重点与难点：重点是：利用直观的方法理解、体会函42教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，虽简化了问题，但在实际应用中遇到端点的问题时仍要谨慎处理．是为增函数的充分不必要条件．是为增函数的必要不充分条件．当时,是为增函数的充要条件．（1）利用导数研究函数的单调性（2）利用导数研究函数的极值极值是比较极值点附近函数值的结果；而函数的最值是比较整个定义区间的函数值的结果，函数的最值是在函数的极值基础上的发展．只有当函数在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）上可导，才能用导数求极值与最值．教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，虽43A.要通过判定可导函数的极值，加深学生对可导函数单调性与其导数的关系的了解;B.最值问题必须在闭区间上研究；C.f′(x0)=0是函数f(x)在点x=x0处取得极值的必要条件，而不是充分条件；D.f′(x)不存在的点也可能是极值点；E.解答格式、步骤规范化问题．（3）教学中应注意以下问题：教材是以具体的问题情境，以抽象的函数图象来研究导数与函数的单调性的关系的，这对学生的探究与认识有很大的难度，可根据具体情况适当补充整系数二次函数类型的问题，让学生逐步感知、体会．4.要注意学法指导A.要通过判定可导函数的极值，加深学生对可导函数单调性与其导445.优化问题：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题有时也称为最值问题．解决这些问题具有非常重要的现实意义．这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最值问题．关键是引导学生能从实际问题的不同情景出发，建立与之相对应的函数关系．在教学中要让学生了解背景，对问题有一定的生活经验感知，从生活经验的角度去看待问题，在生活经验的基础上，逐步引入到数学问题中．5.优化问题：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等45应用中常用的一个概念——经济学中的边际成本

工厂生产某种产品所需的全部经济资源投入的费用总额称为总成本，总成本中包括固定成本（如厂房、设备、设备维修费等到）与可变成本（如原材料、劳动力成本等）．生产x单位产品所付出的总成本是x的函数，记为C（x），经济学中称C（x）为成本函数．成本函数的平均变化率为：若△x当趋于0时，平均变化率逐渐趋于一个确定值，该确定值即为成本函数C（x）的瞬时变化率C'（x），在经济学中称为边际成本．C'（x0）就是当产量为x0时的边际成本，可以解释为产量达到时x0再生产一个单位成本所增加的成本，或解释为产量为x0时生产最后一个产品所添加的成本．推荐：严世健主编，齐植兰、李心灿编著的《微积分》应用中常用的一个概念——经济学中的边际成本工厂生产某种产品46对教材内容处理的几点建议

1．（理）P24正文第1、3行（文）P93正文第2、5行：“沙袋”——“沙袋达到的”2．（理）P27练习A第3题（文）P95练习A第3题：

函数解析式为分式，注意课标要求与考纲要求的关系3．（理）P27练习B第3题（文）P95练习B第3题：较难，建议适当增加相应的练习

4．（理）P30练习A第2、3题（文）P98练习A第2题：函数不是多项式函数，注意课标要求与考纲要求的关系5．理科P32例3解答：

建议此例题删除，以符合课标对复合函数的求导要求对教材内容处理的几点建议1．（理）P24正文第1、3行（文47例.已知函数

轴相交于点P，经过点P的切线的方程为

的图象与y且在时取得极值－8．

（1）当

时，求函数

的单调递减区间；

（2）当

时，设另一个极值点的坐标为

(m,n),求n的值域．

例.已知函数轴相交于点P，经过点P的切线的方程为的图48四、定积分与微积分基本定理1.教学要求的变化:（1）定位：了解定积分的实际背景，借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；通过实例，直观了解微积分基本定理的含义.（2）增加了定积分和微积分基本定理的知识教学要求.（3）对相关的数学文化，由被动了解，变为主动收集、交流、体会．2.教学内容的变化:由原来的没有具体知识内容，改为有明确的知识内容．四、定积分与微积分基本定理1.教学要求的变化:（1）定位：了493.教学内容的重点与难点:重点是：积分的基本思想——求曲边梯形面积的思维过程，微积分基本定理的意义，求积分与求导数的关系，原函数的求法.难点是：曲边梯形的含义，极限思想及相关理论的认识与理解，“以直代曲”的科学性，数列的求和，微积分基本定理的推导过程，原函数的求法．4.关于曲边梯形与定积分的教学：（2）明确为什么用先求小矩形的面积和来求曲边图形的面积的方法.——为什么不分成三角形（1）应强化直观，让学生借助几何直观体会定积分的基本思想，而不是掌握定积分的基本理论．3.教学内容的重点与难点:重点是：积分的基本思想——求曲边梯50（4）定积分的最本质思想：在每个局部小范围内“以直代曲”，“以不变代变”和逼近的思想，这也是应用定积分解决实际问题的思想方法．（5）注重过程体验，归纳求解问题的一般步骤——分割、近似代替、求和、取极限．分割时，各长度可以不等，只要让其中最大长度趋于0就可以了——思维策略，但是不妨n等分.（6）要注意对数列求和知识技能的强化.注重对极限的直观解释、说明.（7）注意引导学生对和式：的认识.（3）应特别强化“将底边等分的微分思想”和“曲线之下各小矩形面积之和，当n趋向于无穷时，极限应存在的极限与积分思想”．（4）定积分的最本质思想：在每个局部小范围内“以直代曲”，“515.定积分的常用参考结论：设函数f（x）、g（x）在区间[a，b]上可积，则根据定义可推证定积分有以下的性质：5.定积分的常用参考结论：设函数f（x）、g（x）在区间[a52（2）首先要认同求积分与求导数互为逆运算.6.关于微积分基本定理的教学：（1）要特别重视几何直观.（3）要淡化相关理论的阐述，重点应放在求被积函数的原函数——逆向思维能力与运算能力的培养.（4）要注意数形结合思想的应用，正确处理求定积分与求面积的关系．（5）注意被积函数的原函数不唯一的处理.（6）定积分是原函数的改变量.是将一个区域内部的某特性（积分）与其区域边界上另一特性（原函数在两端点函数值之差）联系起来，这种内部变化由边界表达的思想很重要，是人类认识世界过程中很常用的思想与方法．（2）首先要认同求积分与求导数互为逆运算.6.关于微积分基本53例.求由曲线

与所围成图形的面积．

7.要特别注意对题目难度的控制：求由几条（不超过四条，且当由四条曲线所围成的图形中要有两条垂直于x轴）曲线围成的图形的面积时，首先要确定被积函数的定义域，然后再确定被积函数，最后再用微积分基本定理进行计算．解：由方程得又在区间[0，2]上所以被积函数为所求面积为例.求由曲线与所围成图形的面积．7.要特别注意对题目难度54教学建议

不仅体现在为解决函数问题提供了有效途径，还在于使学生掌握一种科学的语言和工具，能够加深对函数的深刻理解和直观认识，应使学生认识到，任何事物的变化率都可以用导数来描述．1．重视“导数”的作用．2.重视数学应用，降低理论要求．要求通过直观说理学习，而不是不说理，说理但不是推理．着眼于用导数知识及其思想方法解决数学学习、日常生活与工作中的问题．教学建议不仅体现在为解决函数问题提供了有效途径，553.注意知识的纵横联系．从纵向看，要重视与前面特别是高一所学的函数知识的联系；从横向看，要重视与物理知识的联系．4.重视知识发生过程的学习．适当介绍有关概念、性质的来龙去脉，对学生了解、把握它们是十分必要的．5.重视对课本题目的研究．要研究课本例题，发挥例题功能，新教材的例题不仅数量多，而且质量也高，必需重视他们在教学中的信度．没有学习极限，如何推导微积分基本定理？因此要认真体会“直观了解定积分与微积分基本定理”这一《课标》要求．要淡化形式与极限理论，强化在过程中体会思想．

6.准确把握课标的教学要求.3.注意知识的纵横联系．从纵向看，要重视与前面特别是高一所56敬请指正二OO八年六月敬请指正二OO八年六月57演讲完毕，谢谢观看！演讲完毕，谢谢观看！58辽宁省高中新课程省级培训数学科讲师团胡文亮Email：gzsxhwlg@163.com导数及其应用专题辽宁省高中新课程省级培训导数及其应用专题59一、学习微积分的意义

1．天地通用微积分：

是研究各种科学的工具，在中学数学中是研究初等函数最有效的工具.微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、对以后许多数学的发展起决定性作用的思想.”恩格斯称之为“17世纪自然科学的三大发明之一.”微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示了数学对于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进作用.整体介绍

一、学习微积分的意义整体介绍602．为研究变量和函数提供了重要的方法和手段：导数是刻画函数变化快慢程度的一个一般概念，由于变量和函数在自然界和社会中有着几乎无处不在的实际背景，所以它是高等学校许多专业的一门重要基础课.

欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命.3．具有将复杂问题归纳为简单规则和步骤的非凡能力：学习微积分，学生的数学和思维水平都将进入一个新的阶段，能切实地训练学生的辨证思维.毫不夸张地说，不学或未学懂微积分，学生思维难以达到较高的水平，难以适应21世纪对高中学生素质的要求.2．为研究变量和函数提供了重要的方法和手段：614．作为现代社会成员的一项科学文化素质要求：高中学生，不论他将来是否进入高校学习，都应学习导数及其应用的内容，并应用它考察和理解实际现象中的变化，或者在遇到相关问题向数学求助.作为现代社会成员的一项科学文化素质要求，是高中阶段学习导数及其应用的首要目标.一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的.微积分也是这样.5.合作学习意识的引导与强化:4．作为现代社会成员的一项科学文化素质要求：高中学生，不论62二、编写的指导思想1．打破传统的教学顺序，突出概念本质

：越过极限理论和连续函数，直取导数，然后快速攻进微积分的核心——微积分基本定理.没有从数学定义的角度讲极限，可以避免学生难以克服极限概念的理解这个问题，从而将更多的精力关注于导数和定积分概念本质的理解上，而不单单地将导数和定积分理解为一种特殊的极限.虽然没有给出极限的定义，但是自始至终都体现出了极限的思想，以让学生在学习的过程中以具体内容为载体，逐步体会和感受极限思想，从而为大学阶段学习严格的极限定义打好基础.二、编写的指导思想1．打破传统的教学顺序，突出概念本质：63从历史上看，是先有微积分，后有极限.牛顿和莱布尼兹创立微积分学后，他们并没有解决无穷小量问题.牛顿对无穷小量究竟是不是零曾作过三种不同解释：有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁.直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础，才使微积分进一步的发展开来.从历史上看，是先有微积分，后有极限.牛顿和莱布尼兹创立微积分64在教学中应该贯彻两条线.第一，是按照自然的历史的人的认识过程来表述；第二才是严密的公理化的表述.现在对于前者我们重视的太不够了.两个极限典例中国刘徽的“割圆术”：“割之弥细，所失弥少

，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.外国的阿基里斯追龟永不及：在教学中应该贯彻两条线.第一，是按照自然的历史的人的认识过程653．返璞归真，强调本质：没有介绍任何形式的极限定义及相关知识，而是从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数，用“趋近于”、“无限逼近于”、“趋于”、“无限变小”等通俗易懂的词对极限的过程进行描述.努力揭示数学对象的发展过程与本质，领会其中的数学思想方法.4．尽力体现课标理念：直观理解导数的背景，关注其思想和作用，重视其应用价值.贯穿微积分的基本思想方法：无限细分，以直代曲，并在解决问题的实践中逐步领悟.

2．理论依据是直角三角形：从登山运动出发，引出导数，直至以测量山顶高度为实际背景，经历概念发展的过程，体会其思想内涵，导出微积分学基本定理.

3．返璞归真，强调本质：4．尽力体现课标理念：2．理论依据66三、教材概述

1．与原大纲教材相比内容的调整变化：（1）选修1—1中，导数公式包含所有常见基本初等函数的导数；（2）选修2—2中，新增加了“定积分与微积分基本定理”；（3）所有导数公式都是用导数表给出，不要求学生证明；（4）删除了函数的最大值与最小值一节，相关内容以例题出现；三、教材概述1．与原大纲教材相比内容的调整变化：67（5）选修2—2中，删除复合函数的导数一节，但有相关的例题和习题；（6）都增设了导数的实际应用——研究最优化问题；（7）用数学软件求导数理科必修，文科选学．2．研究的方法，是直观微积分：通过直观说理学习微积分，而不是不说理；通过数值的近似计算理解微积分思想．不讲极限，但是仍然用极限的符号去表述，只将极限作为一种符号，而不考虑它的意义．它的基本方法是无限细分，以直代曲，用微观驾驭宏观．（5）选修2—2中，删除复合函数的导数一节，但有相关的例题和683.内容概述——理科分为四个大节第一大节：导数．这一节通过具体实例，介绍函数的平均变化率、瞬时速度、瞬时变化率、导数的概念，结合具体函数介绍导数的几何意义．要多举生活或学习中的实例，以体会研究过程中所体现的极限思想．引导学生在学习过程中要认真体会学习与研究的方法，加强数形结合思想的应用意识和字母运算能力的强化．第二大节：导数的运算．这一节主要是学习基本初等函数的求导方法和导数的四则运算法则.要注意导数的运算法则与实数运算法则的联系与区别．对教材中给出的基本初等函数的导数表要能准确熟练的记忆，并会用数学软件求简单基本初等函数的导数．3.内容概述——理科分为四个大节第一大节：导数．这一节通过具69第三大节：导数的应用．这一大节是本章学习与应用的重点，包含利用导数判断函数的单调性、利用导数研究函数的极值、导数的实际应用三个方面的内容，充分体现了导数在研究函数及在解决生产、生活实际问题中的作用．利用直观的方法理解、体会函数的单调性、函数的极值、函数的最值与导数的关系，特别是函数的最值与函数的极值的联系与区别．第四大节：定积分与微积分基本定理．本节通过求曲边梯形的面积和求变力作功介绍定积分的概念，通过具体问题介绍微积分基本定理.要通过本节的学习了解微积分的科学价值、文化价值和基本思想，本节内容是本章的一个难点．第三大节：导数的应用．这一大节是本章学习与应用的重点，包含利70四、应注意的几个问题

1．要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值．由于学生没有学习极限，而导数又作为一种特殊的极限，我们如何处理这部分内容？导数及其应用在编排上更侧重于思想和概念的本质，不能把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是应通过实际的背景和具体应用事例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念，同时加强学生对导数几何意义的认识和理解，直观了解微积分基本定理的含义.四、应注意的几个问题1．要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤712．导数的运算不宜要求过高．由于没有学习极限，因此，我们不能过多地要求学生利用极限去求过于复杂的函数导数.只要求学生能根据导数定义求基本幂函数的导数，能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)）的导数.3．注重导数在研究函数和生活实践中的应用．导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般，最有效的工具，只要求学生能借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系.2．导数的运算不宜要求过高．由于没有学习极限，因此，我们不724．高中微积分课程更要注重知识发生、发展的过程．导数是微积分的核心概念，理解导数概念的实质、把握导数概念的生成所反映的思想和方法，是学习微积分的重中之重，从导数概念的发生、发展来看，变化率则是导数思想方法的核心，亦即中学开设微积分课程价值的核心.5．关注数学文化．重视和学生一起收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流，体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值.4．高中微积分课程更要注重知识发生、发展的过程．导数是微积73课标要求

1．导数概念及其几何意义（1）通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．（2）通过函数图像直观地理解导数的几何意义．2．导数的运算

（1）能根据导数定义，求函数

的导数．

（理）能根据导数定义，求函数

的导数．

课标要求1．导数概念及其几何意义2．导数的运算（174（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．（理）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数

（仅限于形如

）的导数．

（3）会使用导数公式表．

（1）结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．（2）结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．3．导数在研究函数中的应用（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则754．生活中的优化问题举例例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用．5．数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值．（理）定积分与微积分基本定理（1）通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念．（2）通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义．6．（理同文5）4．生活中的优化问题举例76考试大纲要求

1．导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景．（2）理解导数的几何意义．2．导数的运算

（1）能根据导数定义，求函数

的导数．

（理）能根据导数定义，求函数

的导数．

考试大纲要求1．导数概念及其几何意义（1）能根据导数定77（2）能利用表1给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．（理）能利用表1给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单的复合函数

（仅限于形如

）的导数．

表1：常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：

常数、幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数（含e为底）、对数函数（含e为底）的导数公式．和、差、积、商的导数运算法则公式．（2）能利用表1给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算78（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次．

（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次．

4．生活中的优化问题．会利用导数解决某些实际问题．5．（理）定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．（2）了解微积分基本定理的含义．3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性79说明：

1．广东、山东的考试说明与全国的相同，但是海南、宁夏的与全国的有所不同，有以下三处：（1）导数的运算：文科要求“能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数．”（2）导数在研究函数中的应用：（3）通过典型实例，体会导数在解决实际问题中的作用．2．对于导数的应用，考试大纲的要求高于课标的要求．“能利用导数研究函数的单调性”．3.江苏省只对节的标题有要求，没有提出对具体内容的要求，且最高要求是“理解”.说明：1．广东、山东的考试说明与全国的相同，但是海南、宁夏80大纲要求

1．（文）通过丰富的实际材料体验导数概念的背景；理解导数是平均变化率的极限；理解导数的几何意义．

（理）了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．

2．（文）掌握函数y=xn（n为正整数）的导数公式，会求多项式函数的导数．

（理）熟记基本导数公式(c，xm(m为有理数)，sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．大纲要求1．（文）通过丰富的实际材料体验导数概念813．（文）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值；通过解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题，体验导数求最大值与最小值的应用．

（理）会从几何直观了解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．

4．通过介绍微积分建立的时代背景和过程，了解微积分的科学价值、文化价值和基本思想．3．（文）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导82教材分析

一、导数1.教学要求的变化：

《大纲》的要求是“理解导数是平均变化率的极限；理解导数的几何意义；”《课标》的要求是“知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；通过函数图像直观地理解导数的几何意义．”《课标》比《大纲》降低了理论要求．

文理要求相同

教材分析一、导数832.教学内容的变化：《大纲》教材是在学习了数列的极限、函数的极限、函数的连续性等知识的基础上，从切线的斜率和瞬时速度引入导数的概念；《课标》教材没有给出极限的定义，而是按照：平均速度（平均变化率）—瞬时速度（瞬时变化率）—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用形象直观的“逼近”方法定义导数．避开极限概念的难点，让学生有更充裕的时间学习导数的思想方法，体会导数概念产生的背景及其在现实生活中的应用．2.教学内容的变化：《大纲》教材是在学习了数列的极限、函数的844.以实例解决研究方法的问题．教材所给的登山实例，是要让学生体会世界上的变化无处不在，和如何刻画人们经常关心变化的快慢问题，即是解决研究方法的问题．若两个变量存在函数关系，他们在某一范围内的平均变化情况可用函数的改变量与相对应的自变量的改变量的比来刻画．（消元思想）

3.本节教学内容的重点与难点：重点是：导数概念的引进；导数实际意义的理解—知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵，直观理解导数的几何意义．教学难点是：导数产生的极限过程，体会从平均变化率到瞬时变化率，从割线到切线的过程中采用的逼近方法

．4.以实例解决研究方法的问题．3.本节教学内容的重点与难点：855.瞬时变化率不是由“计算”得来的．

形成导数定义以及理解导数内涵的基础都是瞬时速度这个具体的物理模型，因此教学的关键是让学生充分经历从平均速度探究到瞬时速度，体会到整个过程中采用的方法以及明确瞬时速度的含义．瞬时变化率是通过缩短自变量的改变量，用平均变化率“逼近”了瞬时变化率．瞬时变化率不是由“计算”得来的，而是客观存在的，令自变量的改变量趋于零，只是一种研究或刻画的方法，即是极限的思想方法，要会用“动”来看“静”．（极限的符号只能作为一种记号）由实际问题抽象为数学的函数模型问题，就得到函数的瞬时变化率——导数，即导数是函数瞬时变化率的另一种说法．5.瞬时变化率不是由“计算”得来的．形成导数定义以及理解导86此部分内容的重点是让学生体会研究的方法与过程——从自变量的改变量出发，再令自变量的改变量“无限”的趋于零．要引导学生归纳出求函数导数的三个基本步骤：（1）求函数的增量；（2）求平均变化率；（3）取极限.注意：研究导数的条件是函数f（x）必须是在闭区间[a，b]“连续”的，而导数f'（x）又是只在开区间（a，b）才可能存在的，至于为什么这不是我们现在研究的范围．此部分内容的重点是让学生体会研究的方法与过程——从自变量的改876．导数的几何意义的学习．必须在学生对图形充分感知的基础上进行，这是课标明确要求的．导数的几何意义——就是从图形的角度说明什么是导数，要让学生充分感知导数几何意义形成的过程，这也是对本节知识、方法的归纳总结过程，平均变化率的几何意义是过两点直线（割线）的斜率，瞬时变化率是一点处切线的斜率，割线变为切线的过程就是“逼近”的过程，也是以“直”代“曲”的过程，重要的是研究的过程与方法．注意与初中圆的切的区别

7.对直角三角形的认识角度与应用意识ACB6．导数的几何意义的学习．必须在学生对图形充分感知的基础上88对教材内容处理的几点建议

1．（理）P4第4行“……之差与横坐标之差的比值”——“……之差与相应横坐标之差的比值”．2．（理）P4例2、（文）P77例2所给函数不连续．函数的平均变化率是对一个连续的区间而言的

3.（理）P5练习B1、（文）P78练习B1，“治污效果好？”——“治污效率好？”．4．（理）P8第6行、（文）P80第十九行，“能越过任意小的时间间隔，但始终不能为零．”——“能越过任意小的时间间隔，非常的接近于零，但始终不能为零

．5．（理）P13习题1—1A第2题（1）、（文）P85习题3—1A第2题（1），与P13练习A第3题重复，换题．对教材内容处理的几点建议1．（理）P4第4行“……之差与横89例：函数f(x)在区间（a，b）内处处可导，其图象大致如图所示，并且它的导数f/(x)在（a，b）内仍处处可导，令y=g(x)=f/(x)，则g(x)的导数g/(x)的值（

）

A．恒为正数B．恒为负数C．有正也有负D．不小于零oyxaby=f(x)例：函数f(x)在区间（a，b）内处处可导，其图象大致如图所90不要选择下列类问题进行训练B.A.C.D.01.若函数在区间内可导，且，的值为（）则A．－１ B．－2 C．－3 D．1()2.不要选择下列类问题进行训练B.A.C.D.01.若91二、导数的运算

1.教学要求的变化：《课标》明显降低了理论要求，积与商的运算法则不再推导，特别是对复合函数的求导的要求限制的非常明确，但是却提高了计算的技能和能力要求.

掌握——会求简单函数的导数文科不要求、、的求导二、导数的运算1.教学要求的变化：文科不要求、、的求导922.教学内容的变化：有理指数函数、对数函数的导数公式不再推导，直接以公式表的形式给出.增加了导数公式的推导.新增加了“数学软件的应用”这一教学内容；复合函数的内容不以一小节的内容出现.3.本节教学内容的重点与难点：公式的推导.导数公式表的准确记忆与运用；运算法则的灵活运用．难点是：导数公式的推导过程中求极限含义的理解；函数积与商的导数运算法则的灵活运用；复合函数求导过程的意义．重点是：2.教学内容的变化：有理指数函数、对数函数的导数公式不再推导934．注意形式化训练中的规范要求：在推导的过程中，要注意形式化训练中的规范要求，由于在求极限的过程中，若“简化”过程都会出现“0/0”的形式，由此让学生体会过程的重要性．既要突出导数这一算法的基本思想和方法，又要注意相关基础知识的补充与强化．5.准确记忆导数公式表：导数公式表给出了基本初等函数的导数公式，主要是让学生能准确记忆，并能熟练地应用于求导数的过程中，这些公式中除y=c的导数外，其余公式都不要求学生独立进行推导．要让掌握用计算软件Maple求函数的导数/zy/——工具软件4．注意形式化训练中的规范要求：在推导的过程中，要注意形式化94ΔxCxDxOABθE探索与研究（理科）

直观理解sinx和cosx的导数ΔxCxDxOABθE探索与研究（理科）

直观理956.熟练应用导数的四则运算法则：导数的四则运算法则是“求导数”作为一种运算的运算域的规定，教材只给出和（或差）公式的证明，不要求学生能根据定义对积、商的导数公式进行证明．要让学生注意实数的运算法则并不完全适用于求导数的运算法则.7.严格控制复合函数的求导：（不独立成节）要求学生会求函数的导数，不要求会求函数或的导数．不要将解析式为分式的函数的分母改成负指数幂形式运算法则满足运算律6.熟练应用导数的四则运算法则：导数的四则运算法则是“求导数96对教材内容处理的几点建议

1．理P22例1：较难，可改为实系数的.（文科为整数系数的）

2．补充极限的四则运算法则：是只给出公式，不解释含义,不要求学生弄懂原因.

3．理科P21例5：

例5的结论可给出一般化的结论.

对教材内容处理的几点建议1．理P22例1：97例1.求函数

的导数．

例2.求函数

的导数．

例1.求函数的导数．例2.求函数的导数．981.教学要求的变化：整体上教学要求有所提高.增加了“能利用导数研究函数的单调性；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性；体会导数在解决实际问题中的作用”；但在研究函数的极值与最值方面却有严格限制，要求所研究的函数类型为多项式函数，且多项式的次数不超过三．《课标》要求高于《大纲》要求；《课标考纲》要求高于《课标》要求.2.教学内容的变化：取消了“函数的最大值与最小值”一节；增设了解决实际问题的内容单独为一小节.特别是对抽象函数的图象的识别能力，要求学生有较高的观察能力．三、导数的应用1.教学要求的变化：整体上教学要求有所提高.增加了“能利用导993.教学内容的重点与难点：重点是：利用直观的方法理解、体会函数的单调性、函数的极值、函数的最值与导数的关系；会求不超过三次的多项式函数的单调区间；函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，利用导数判别可导函数极值的方法；求一些实际问题的最大值与最小值．难点是：对抽象函数图象的观察与识别；函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；最值与极值的区别和联系，如何建立模型求一些实际问题的最大值与最小值；函数的单调性与极值、最值知识的综合运用．要强化数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想的教学.3.教学内容的重点与难点：重点是：利用直观的方法理解、体会函100教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，虽简化了问题，但在实际应用中遇到端点的问题时仍要谨慎处理．是为增函数的充分不必要条件．是为增函数的必要不充分条件．当时,是为增函数的充要条件．（1）利用导数研究函数的单调性（2）利用导数研究函数的极值极值是比较极值点附近函数值的结果；而函数的最值是比较整个定义区间的函数值的结果，函数的最值是在函数的极值基础上的发展．只有当函数在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）上可导，才能用导数求极值与最值．教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，虽101A.要通过判定可导函数的极值，加深学生对可导函数单调性与其导数的关系的了解;B.最值问题必须在闭区间上研究；C.f′(x0)=0是函数f(x)在点x=x0处取得极值的必要条件，而不是充分条件；D.f′(x)不存在的点也可能是极值点；E.解答格式、步骤规范化问题．（3）教学中应注意以下问题：教材是以具体的问题情境，以抽象的函数图象来研究导数与函数的单调性的关系的，这对学生的探究与认识有很大的难度，可根据具体情况适当补充整系数二次函数类型的问题，让学生逐步感知、体会．4.要注意学法指导A.要通过判定可导函数的极值，加深学生对可导函数单调性与其导1025.优化问题：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题有时也称为最值问题．解决这些问题具有非常重要的现实意义．这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最值问题．关键是引导学生能从实际问题的不同情景出发，建立与之相对应的函数关系．在教学中要让学生了解背景，对问题有一定的生活经验感知，从生活经验的角度去看待问题，在生活经验的基础上，逐步引入到数学问题中．5.优化问题：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等103应用中常用的一个概念——经济学中的边际成本

工厂生产某种产品所需的全部经济资源投入的费用总额称为总成本，总成本中包括固定成本（如厂房、设备、设备维修费等到）与可变成本（如