勾股定理练习题及答案1

八年级上数学专题训练一勾股定理典型题练习答案解析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方与等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，则a2+b2=c2。公式的变形：a2=c2-b2，b2=c2-a2。2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。3、勾股数满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大一样的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：〔3，4，5

〕(5，12，13

)(

6，8，10

)

(

7，24，25

)

(

8，15，17

)(9，12，15

)

常用勾股数口诀记忆常见勾股数3，4，5：勾三股四弦五5，12，13：我要爱一生6，8，10：连续的偶数7，24，25：企鹅是二百五8，15，17：八月十五在一起特殊勾股数连续的勾股数只有3，4，5连续的偶数勾股数只有6，8，104、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影局部面积：〔1〕阴影局部是正方形；〔2〕阴影局部是长方形；〔3〕阴影局部是半圆．如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如下图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是〔〕S1-S2=S3B.S1+S2=S3C.S2+S3<S1D.S2-S3=S1【类型题总结】〔a〕如图〔1〕分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用表示S1、S2、S3则它们有S2+S3=S1关系．〔b〕如图〔2〕分别以直角三角形ABC三边向外作三个正方形，其面积表示S1、S2、S3．则它们有S2+S3=S1关系．〔c〕如图〔3〕分别以直角三角形ABC三边向外作三个正三角形，面积表示S1、S2、S3，则它们有S2+S3=S1关系．并选择其中一个命题证明．考点：勾股定理．专题：计算题．分析：〔a〕分别用AB、BC与AC表示出S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系；〔b〕分别用AB、BC与AC表示出S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系；〔c〕分别用AB、BC与AC表示出S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系．解答：解：〔1〕S3=πAC2，S2=πBC2S1=AB2∴S2+S3=S1．〔2〕S2+S3=S1…〔4分〕由三个四边形都是正方形则：∵S3=AC2，S2=BC2，S1=AB2，…〔8分〕∵三角形ABC是直角三角形，又∵AC2+BC2=AB2…〔10分〕∴S2+S3=S1．〔3〕S1=AB2S2=BC2S3=AC2∴S2+S3=S1．点评：此题主要涉及的知识点：三角形、正方形、圆的面积计算以及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的公式，难度一般．四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。〔S=36〕5、在直线上依次摆放着七个正方形〔如图4所示〕。斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、〔此题为2021•庆阳中考题〕=_______4______。考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质．专题：规律型．分析：运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积与都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．解答：解：观察发现，∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，∴∠BAC=∠EBD，∴△ABC≌△BDE〔AAS〕，∴BC=ED，∵AB2=AC2+BC2，∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，即S1+S2=1，同理S3+S4=3．则S1+S2+S3+S4=1+3=4．故答案为：4．点评：运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．注意发现两个小正方形的面积与正好是之间的正方形的面积．考点二：在直角三角形中，两边求第三边 1．在直角三角形中,假设两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为cm．2．〔易错题、注意分类的思想〕直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是5或13分析：直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①2是直角边，3是斜边；②2、3均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．3、直角三角形两直角边长分别为5与12，求斜边上的高．一个直角三角形的两条直角边长分别为5与12则根据勾股定理斜边为13

然后根据等面积法

×5×12=×13×高

高=60/134、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的〔〕A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍2+b2=c2;

另一直角三角形直角边为2a、2b，则根据勾股定理知斜边为

即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍，应选A.5、在Rt△ABC中，∠C=90°①假设a=5，b=12，则c=___________；②假设a=15，c=25，则b=___________；③假设c=61，b=60，则a=__________；④假设a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。6、如果直角三角形的两直角边长分别为，2n〔n>1〕，则它的斜边长是〔D〕A、2n B、n+1 C、n2－1 D、7、在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则以下关系中正确的选项是〔〕A.B.C.8、Rt△ABC中，∠C=90°，假设a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是〔A〕A、24 B、36 C、48 D、60【解析】此题考察的是勾股定理，完全平方公式，直角三角形的面积公式要求Rt△ABC的面积，只需求出两条直角边的乘积．根据勾股定理，得a2+b2=c2=100．根据勾股定理就可以求出ab的值，进而得到三角形的面积．∵a+b=14∴〔a+b〕2=196∴2ab=196-〔a2+b2〕=96则Rt△ABC的面积是9、x、y为正数，且│x2-4│+〔y2-3〕2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，则以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为〔C．〕 A、5 B、25 C、7 D、15【解析】试题分析：此题可根据“两个非负数相加与为0，则这两个非负数的值均为0〞解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长．斜边长的平方即为正方形的面积．依题意得：，斜边长，所以正方形的面积．应选C．考点：此题综合考察了勾股定理与非负数的性质点评：解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高1、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，假设，求①AD的长；②ΔABC的面积．考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题1、以下各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是〔〕A.4，5，6B.2，3，4C.11，12，13D.8，15，172、假设线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为〔〕A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶73、下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数有〔D〕．A．1个B．2个C．3个D．4个4、假设三角形的三边之比为，则这个三角形一定是〔〕A.等腰三角形B.直角三角形5、a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为〔C〕A.直角三角形 B.等腰三角形6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是(C)A．钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形7、假设△ABC的三边长a,b,c满足试判断△ABC的形状。a²+b²+c²+200=12a+16b+20c

〔a-6〕²+〔b-8〕²+(c-10)²-200+200=0

〔a-6〕²+〔b-8〕²+(c-10)²=0

则a-6=0、b-8=0、c-10=0,得a=6、b=8、c=10,

a²+b²=c²,三角形是直角三角形。8、△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为，此三角形为。考点：勾股定理的逆定理．分析：根据三角形的三边关系知，求得第三边c应满足12-5=7＜c＜5+12=17，又因为这个数与a+b的与又是3的倍数，则可求得此数，再根据直角三角形的判定方法判定三角形．解答：解：∵12-5=7＜c＜5+12=17，c又为奇数，∴满足从7到17的奇数有9，11，13，15，∵与a+b的与又是3的倍数，∴a+b+c=30，∴c=13∵52+122=132，∴△ABC是直角三角形．点评：此题考察了由三角形的三边关系确定第三边的能力，还考察直角三角形的判定．隐含了整体的数学思想与正确运算的能力．9：求假设三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是90度。考点：勾股定理的逆定理．分析：根据三角形的三条边长，由勾股定理的逆定理判定此三角形为直角三角形，则可求得这个三角形的最大内角度数．解答：解：∵三角形三条边的长分别为7，24，25，∴72+242=252，∴这个三角形为直角三角形，最大角为90°．∴这个三角形的最大内角是90度．点评：此题考察勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．〔2〕三角形三边的比为1：：2，则其最小角为30。

考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题1、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为

〔

2+2

〕米

．分析：如何利用所学知识，把折线问题转化成直线问题，是问题解决的关键。仔细观察图形，不难发现，所有台阶的高度之与恰好是直角三角形ABC的直角边BC的长度，所有台阶的宽度之与恰好是直角三角形ABC的直角边AC的长度，只需利用勾股定理，求得这两条线段的长即可。考点六、利用列方程求线段的长〔方程思想〕ABC１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开ABC设旗杆高度h(h+1)²=5²+h²h=12旗杆高12米2、一架长的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底〔如图〕，如果梯子的顶端沿墙下滑，则梯子底端将向左滑动米利用勾股定理计算原来墙高。²²²-2²如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，则，梯子底端的滑动距离大于〞1米，答:解:底端滑动大于1(1分)，理由:在Rt△ACB中，BC2+AC2=AB2，BC=(2分)

又∵AA′=1，

∴A′C=7，在Rt△A′CB′中，B′C=，(2分)

∴BB′=B′C-BC=-67-6=1，

∴底端滑动大于1m.(1分)4、在一棵树10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？分析：如下图，其中一只猴子从共30m，另一只猴子从也共走了30m。并且树垂直于地面，于是此问题可化归到直角三角形解决。解：如图，设，由题意知中，，解之得答：这棵树高15m。【点拨】：此题的关键是依题意正确地画出图形，在此根底上，再运用勾股定理及方程的思想使问题得以解决。

6012014060120140B60AC第5题图7AC=120-60=60BC=140-60=80AB=100mm如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了10米．从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．

解：过点D作DE⊥AB于E，连接BD．

在Rt△BDE中，DE=8米，BE=8-2=6米．

根据勾股定理得BD=10米如图18-15所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆后，往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北方走到5km处往东一拐，仅1km就找到了宝藏，问：登陆点〔A处〕到宝藏埋藏点〔B处〕的直线距离是多少？

解析：

试题分析：要求AB的长，需要构造到直角三角形中．连接AB，作BC垂直于过A的水平线于C．在直角三角形ABC中，得AC=8-3+1=6，BC=5+2=7．再运用勾股定理计算即可．

过点B作BC⊥AC，垂足为C

观察图形可知AC=AF-MF+MC=8-3+1=6，BC=2+5=7

答：登陆点到宝藏埋藏点的直线距离是

考点：勾股定理的应用

点评：解此类题目的关键是构造直角三角形，利用勾股定理直接求解．注意所求距离实际上就是AB的长．考点七：折叠问题1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于〔〕讲完知识点梳理后作做问题延伸题〔举一反三〕：BE的长？求折痕DE的长？A.B.C.D.解：由题意得DB=AD；

设CD=xcm，则

AD=DB=〔8-x〕cm，

∵∠C=90°，

∴，

解得x=，即CD=cm．应选C．知识点梳理1、翻折变换〔折叠问题〕2、等腰三角形的性质3、勾股定理的性质一、翻折变换〔折叠问题〕折叠问题〔翻折变换〕实质上就是轴对称变换．

2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状与大小不变，位置变化，对应边与对应角相等．

3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系与位置关系．

4、在矩形〔纸片〕折叠问题中，重合局部一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形

5、利用折叠所得到的直角与相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．等腰三角形的性质定理：

1.等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕。

2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合〔简写成“等腰三角形的三线合一〞垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之与等于一腰上的高。

7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。

8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。

9.等腰三角形中腰大于高。

10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高。2、如下图，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N，假设AC=4，MB=2MC，求AB的长．解：连接AM

∵MN是AB的垂直平分线，∴△AMN≌△BMN，∴MA=MB，∠B=∠BAM

∵MB=2MC，∴MA=2MC，∴∠CAM=30°，即∠CMA=60°

∵∠CMA=∠B+∠BAM且∠B=∠BAM，∴∠B=30°，∴AB=2AC=16折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,AB=8CM,BC=10CM,求CF与EC。ABCEFD

解：由翻折的性质可得：AD=AF=BC=10，

在Rt△ABF中可得：BF==6，

∴FC=BC-BF=4，

设CE=x，EF=DE=8-x，则在Rt△ECF中，

EF2=EC2+CF2，即x2ABCEFD解析：根据翻折的性质，先在RT△ABF中求出BF，进而得出FC的长，然后设CE=x，EF=8-x，从而在RT△CFE中应用勾股定理可解出x的值，即举一反三：BF的长？2、△ECF的面积？3、求折痕AE的长．知识点梳理1、翻折变换〔折叠问题〕2、矩形的性质3、勾股定理的性质平行四边形轴对称图形，它有2条对称轴。4、如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，假设△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积分析：根据三角形的面积求得BF的长，再根据勾股定理求得AF的长，即为AD的长；设DE=x，则EC=5-x，EF=x．根据勾股定理列方程求得x的值，进而求得△AED的面积．

解：由折叠的对称性，得AD=AF，DE=EF．

由S△ABF=BF•AB=30，AB=5，

得BF=12．

在Rt△ABF中，由勾股定理，得

．

所以AD=13．

设DE=x，则EC=5-x，EF=x，FC=1，

在Rt△ECF中，EC2+FC2=EF2，

即〔5-x〕2+12=x2．

解得．

故．

点评：此题主要是能够根据轴对称的性质得到相等的线段，能够熟练根据勾股定理列方程求得未知的线段．

5、如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，则折叠后DE的长是多少？〔举一反三：题干不变，求折痕EF的长？〕利用直角三角形ABE可求得BE，也就是DE长，构造EF为斜边的直角三角形，进而利用勾股定理求解．

解：连接BD交EF于点O，连接DF．

根据折叠，知BD垂直平分EF．

根据ASA可以证明△DOE≌△BOF，

得OD=OB．

则四边形BEDF是菱形．

设DE=x，则CF=9-x．

在直角三角形DCF中，根据勾股定理，得：x2=〔9-x〕2+9．

解得：x=5．

在直角三角形BCD中，根据勾股定理，得BD=3，则OB=．

在直角三角形BOF中，根据勾股定理，得OF==，则EF=．6、如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。〔1〕试说明：AF=FC；〔2〕如果AB=3，BC=4，求AF的长〔举一反三：试说明EF=DF．)试题分析：〔1〕观察图形，可得AE=DC，又∵∠FEA=∠DFC，∠AEF=∠CDF，由全等三角形判定方法证△AEF≌△CDF，即得EF=DF，从而得到AF＝FC.〔2〕在Rt△CDF中应用勾股定理即可得.

试题解析：〔1〕证明：由矩形性质可知，AE=AB=DC，

根据对顶角相等得，∠EFA=∠DFC，

而∠E=∠D=90°，

∴由AAS可得，△AEF≌△CDF。∴AF＝FC.

〔2〕设FA=x，则FC=x，FD=

，

在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即，解得x=.

考点:1.翻折变换〔折叠问题〕;2.矩形的性质;3.全等三角形的判定与性质;4勾股定理.7、如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影局部面积为_______．〔原题图不标准重新画一个图〕解：设AD=x，则AF=x

在Rt△ABF中，

解得8、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，AB=3，BC=7，重合局部△EBD的面积为________．〔举一反三：假设AD=8，AB=4，求重叠局部即△BED的面积？=10)S△BED=DE•AB，所以需求DE的长．根据∠C′BD=∠DBC=∠BDA得DE=BE，设DE=x，则AE=7-x．根据勾股定理求BE即DE的长．

解：∵AD∥BC〔矩形的性质〕，

∴∠DBC=∠BDA〔两直线平行，内错角相等〕；

∵∠C′BD=∠DBC〔反折的性质〕，

∴∠C′BD=∠BDA〔等量代换〕，

∴DE=BE〔等角对等边〕；

设DE=x，则AE=7-x．在△ABE中，

x2=32+〔7-x〕2．

解得x=．

∴S△DBE=××3=

故答案是：．如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5〔举一反三：如果DM：MC=3：2，则DE：DM：EM=()=8：15：17．〕析：〔1〕正方形的证明题有时用计算方法证明比几何方法简单，此题设正方形边长为a，DE为x，则根据折叠知道DM=，EM=EA=a-x，然后在Rt△DEM中就可以求出x，这样DE，DN，EM就都用a表示了，就可以求出它们的比值了；解：〔1〕证明：设正方形边长为a，DE为x，则DM=，EM=EA=a-x

在Rt△DEM中，∠D=90°，

∴DE2+DM2=EM2

x2+〔〕2=〔a-x〕2

x=

EM=

DE：DM：EM=3：4：5；知识点梳理四边形、平行四边形轴对称图形，它有4条对称轴。

6.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°。10、如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，假设将该矩形折叠，使C点与A点重合，则折叠后痕迹EF的长为〔B〕分析：先连接AF，由于矩形关于EF折叠，所以EF垂直平分AC，则就有AF=CF，又ABCD是矩形，则AB=CD，AD=BC，在Rt△ABF中，〔设CF=x〕，利用勾股定理可求出CF=，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC=5，在Rt△COF中再利用勾股定理可求出OF=，同理可求OE=，所以EF=OE+OF=．

解答：解：连接AF．

∵点C与点A重合，折痕为EF，即EF垂直平分AC，

∴AF=CF，AO=CO，∠FOC=90°．

又∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°，AB=CD=3，AD=BC=4．

设CF=x，则AF=x，BF=4-x，

在Rt△ABC中，由勾股定理得

AC2=BC2+AB2=52，且O为AC中点，

∴AC=5，OC=AC=．

∵AB2+BF2=AF2∴32+〔4-x〕2=x2∴x=．

∵∠FOC=90°，

∴OF2=FC2-OC2=〔〕2-〔〕2=〔〕2∴OF=．

同理OE=．

即EF=OE+OF=．点评：此题利用了折叠的对应点关于折痕垂直平分，以及矩形性质，勾股定理等知识．11、如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上〔不与A、D重合〕，在AD上适当移动三角板顶点P：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？假设能，请你求出这时AP的长；假设不能，请说明理由.②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？假设能，请你求出这时AP的长；假设不能，请你说明理由.〔1〕设两直角边PH，PF能分别通过点B与点C，

∵∠HPF=90°，∴PB2+PC2=BC2=100

又设PA=x，∵∠A=∠D=90°，在△ABP，△PDC中

∴PA2+AB2=PB2，PD2+CD2=PC2∵PA+PD=AD=10，AB=CD=4

∴x2+16+(10-x)2+16=PB2+PC2=100

化简得:x2-10x+16=0即(x-5)2＝9，所以x-5＝±3，

解之得:x1=2，x2=8

∵2<10，8<10

∴当PA=2cm或8cm时，三角板两直角边PH，PF分别通过点B，C.

〔2〕如图〔2〕，过点E作EG⊥AD于点G，∴∠PGE=90°

根据题意得：DG=CE=2，EG=CD=4

∵BE+CE=BC=10

∴BC=8

在△PBE中，∵∠BPE=90°∴PB2+PE2=BE2=64

又∵∠A=∠D=90°∴AP2+AB2=PB2，PG2+PG2+EG2=PE2

而AB=EG=4，设AP=X，则PG=8-x

∴x2+16+(8-x)2+16=64化简得:x2-8x+16=0

解之得:x1=x2=4

答：当AP=4时，PH经过点B，PF与BC交于点E，且CE=2cm.

12、如下图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，假设BE=12，CF=5．求线段EF的长。

举一反三：如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF。

(1)请说明：DE=DF；

(2)请说明：BE2+CF2=EF2；

(3)假设BE=6，CF=8，求△DEF的面积。(直接写结果)答案：解：〔1〕连接AD

因为△ABC是等腰直角三角形，且D为斜边BC中点

所以，AD⊥BC

且AD平分∠BAC，AD=BD=CD

所以，∠DAE=∠C=45°

又DE⊥DF

所以，∠EDA+∠FDA=90°

而，∠CDF+∠FDA=90°

所以，∠EDA=∠CDF

则，在△ADE与△CDF中：

∠DAE=∠DCF〔∠C〕=45°〔已证〕

DA=DC〔已证〕

∠EDA=∠CDF〔已证〕

所以，△ADE≌△CDF

所以，AE=CF，DE=DF。

〔2〕因为AE=CF，AB=AC

所以AB-AE=AC-CF

即BE=CF

Rt△AEF中，∠A=90度

所以

所以。

〔3〕△DEF的面积为25。

13、如图，公路MN与公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，则拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，拖拉机的速度为18km/h，则学校受影响的时间为多少秒？

【答案】分析：作AH⊥MN于H，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AH=PA=80m，由于这个距离小于100m，所以可判断拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；然后以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于B、C，根据垂径定理得到BH=CH，再根据勾股定理计算出BH=60m，则BC=2BH=120m，然后根据速度公式计算出拖拉机在线段BC上行驶所需要的时间．

解答：解：学校受到噪音影响．理由如下：

作AH⊥MN于H，如图，

∵PA=160m，∠QPN=30°，

∴AH=PA=80m，

而80m＜100m，

∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响，

以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于B、C，如图，

∵AH⊥BC，∴BH=CH，

在Rt△ABH中，AB=100m，AH=80m，

BH==60m，

∴BC=2BH=120m，

∵拖拉机的速度=18km/h=5m/s，

∴拖拉机在线段BC上行驶所需要的时间==24〔秒〕，

∴学校受影响的时间为24秒．

点评：此题考察了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l与⊙O相交⇔d＜r；直线l与⊙O相切⇔d=r；当直线l与⊙O相离⇔d＞r．也考察了垂径定理、勾股定理以及含30度的直角三角形三边的关系．考点八：应用勾股定理解决勾股树问题如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的与为25根据题意仔细观察可得到正方形A，B，C，D的面积的与等于最大的正方形的面积，最大的正方形的边长则不难求得其面积．

解：由图可看出，A，B的面积与等于其相邻的直角三角形的斜边的平方，

即等于最大正方形上方的三角形的一个直角边的平方；

C，D的面积与等于与其相邻的三角形的斜边的平方，

即等于最大正方形的另一直角边的平方，

则A，B，C，D四个正方形的面积与等于最大的正方形上方的直角三角形的斜边的平方即等于最大的正方形的面积，

因为最大的正方形的边长为5，则其面积是25，即正方形A，B，C，D的面积的与为25．

故答案为25．2、△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是．解：根据勾股定理，第1个等腰直角三角形的斜边长是，第2个等腰直角三角形的斜边长是2=〔〕2，第3个等腰直角三角形的斜边长是2=〔〕3，第n个等腰直角三角形的斜边长是〔〕n．

解析：依次、反复运用勾股定理计算，根据计算结果即可得到结论．考点九、图形问题1、如图1，求该四边形的面积2、如图2，，在△ABC中，∠A=45°，AC=eq\r(\s\do1(),2)，AB=eq\r(\s\do1(),3)+1，则边BC的长为2

．3、某公司的大门如下图,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为,宽为,问这辆卡车能否通过公司的大门并说明你的理由.〔注意：答案所标字母顺序与题干不一样〕考点：勾股定理．分析：因为上部是以AB为直径的半圆，O为AB中点，同时也为半圆的圆心，OG为半径，OF的长度为货车宽的一半，根据勾股定理可求出GF的长度．EF的长度等于BC的长度．如果EG的长度大于2.5货车可以通过，否则不能通过．解答：解：能通过，理由如下：设点O为半圆的圆心，则O为AB的中点，OG为半圆的半径，如图，∵直径AB=2〔〕，∴÷2=0.8，∴在Rt△OFG中，FG2=OG2-OF2=122=0.36；∴∴EG=0.6+2.3=2.9＞2.5．∴能通过．点评：此题考点：勾股定理的应用．首先根据题意化出图形．OG长度为半圆的半径，OF为货车宽的一半，根据勾股定理可求出FG的长度．从而可求出EG的长度．判断EG长度与2.5的大小关系，如果EG大于2.5可以通过，否则不能通过．4、将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围。先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．

解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24-12=12cm．

当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，

如下图：此时，AB===13cm，

故h=24-13=11cm．

故h的取值范围是11cm≤h≤12cm．

5、如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？由勾股定理两直角边的平方与等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE与直角三角形CBE中，DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，∴AD2+AE2=BE2+BC2，设AE为x，则BE=25-x，将BC=10代入关系式即可求得．

解：∵C、D两村到E站距离相等，∴CE=DE，

在Rt△DAE与Rt△CBE中，DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，

∴AD2+AE2=BE2+BC2．

设AE为x，则BE=25-x，

将BC=10，DA=15代入关系式为x2+152=〔25-x〕2+102，

整理得，50x=500，

解得x=10，

∴E站应建在距A站10km处．考点十：其他图形与直角三角形1、如图是一块地，AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。考点十一：与展开图有关的计算1、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的外表上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．解：如图将正方体展开，

根据“两点之间，线段最短〞知，

线段AC1即为最短路线．

∵正方体的边长为1，

∴AC1==．举一反三：、如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的外表上爬到点C1，AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是_____cm．

解析：题中由A出发，在盒子的外表上爬到点C1，有两种爬法，即从前面到上面与从前面到右面，将两种爬法所经过的面分别展开，构成两个长方形，连接AC1，用勾股定理求出距离再比拟即可．

解：〔1〕如图2，经过上面，AC1==cm．

〔2〕如图3，经过右面，AC1==cm．

＜，所以此题答案为cm．如图，长方体的长BE=17cm，宽AB=7cm，高BC=7cm，一只小蚂蚁从长方体外表由A点爬到D点去吃食物，则小蚂蚁走的最短路程是_____cm．

解析：蚂蚁有两种爬法，就是把正视与俯视〔或正视与侧视〕二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比拟大小即可求得最短路程．

解：第一种情况：把我们所看到的前面与上面组成一个平面，

则这个长方形的长与宽分别是24与7，

则所走的最短线段是

=25；

第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，

则这个长方形的长与宽分别是17与14，

所以走的最短线段是=；

第三种情况：把我们所看到的前面与右面组成一个长方形，

则这个长方形的长与宽分别是10与4，

所以走的最短线段是=25；

三种情况比拟而言，第二种情况最短．

故答案为：．知识点梳理：平面展开——最短路径问题求解方法：解决此类问题时，要先确定好该路径的起点终点，以及立方体的平面展开图，借助勾股定理来求得路径的长度。由于展开的方法可以多种，因此对于路径的求解也是有多种方法，在这里必定有一个最小值，此值为最短路径。2、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进展电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现方案在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线局部．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

分析：设正方形的边长为a，计算出各种情况时正方形的面积，然后进展比拟从而解得．

解答：解：方案〔4〕最省电线，

提示：设正方形边长为a，则方案①需用线3a，方案②需用线3a，方案③需用线a，

如下图：

∵AD=a，