初中数学勾股定理专题训练(含答案)

勾股定理专题练习第一部分知识梳理一、直角三角形的有关性质TOC\o"1-5"\h\z1、直角三角形的定义：有一个角是直角，的三角形叫做解直角三角形 ^2、直角三角形的性质 月⑴角：两锐角__即/A+/B= 0⑵边：三边关系满足 ,即^ J⑶含30°的直角三角形：30°所对的直角边是的一半。］ 人C⑷斜边上的中线与斜边的关系：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的。二、直角三角形的判定1、三角形中，如果两角之和等于第三个角，那么这个三角形是,2、三角形中，如果两角之差等于第三个角，那么这个三角形是,3、三角形中，如果三边满足a2+b2=c2,那么这个三角形是,4、三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是三、其他1、了解一些勾股数 2、利用勾股定理求值3、利用勾股定理的逆定理，来判定一个三角形是直角三角形4、与三角函数联系在一起。第二部分中考链接、选择题（20187t岛）如图，三角形纸片ABC,AB=AC,/BAC=90，点E为AB中点.沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕相交于点F.已知EF=2,则BC的长是（ ）A.乎 B,372 C.3 D,3^31题图 2题图 3题图 4题图（2018?甯博）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则4ABC的面积为（2573a.2573a.g号25V3B.94—y^C.18+25^3.（2018缄海）矩形ABCD与CEFG,如图放置，点B,C,E共线，点C,D,G共线,连接AF,取AF的中点H,连接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,WJGH=(A.1BiDA.1BiD・吟（2018滨州）如图，/AOB=60，点P是/AOB内的定点且OP=73，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则^PMN周长的最小值是（ ）3.6B3.6B3.32 , 2C.6D.3(2018临沂)如图，/ACB=90°, AC=BC.AD±CE, BEXCE,垂足分别是点 D、E,AD=3,BE=1,则DE的长是( )A.3B-2C-2722D. J105题图 6题图 7题图 8题图5题图 6题图 7题图 8题图6.（20189冈）如图，在RtAABC中，/ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线，AD=2,CE=5,则CD=( )A.2B.3C.4D,273（2019山东聊城）如图，在等腰直角三角形 ABC中，/BAC=90°,一个三角尺的直角顶点与 BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点 A和点B,将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB,AC分别交于点E,F时，下列结论中错误的是（ ）A.AE+AF=ACB./BEO+/OFC=180。C.OE+OF;及BCD.S四边形AEOF=_8AABC2 2（2019山东滨州）如图，在^OAB和^OCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,/AOB=/COD=40°,连接AC,BD交于点M,连接OM.下列结论：①AC=BD;②/AMB=40°;③OM平分/BOC;④MO平分/BMC.其中正确的个数为（ ）A.4B.3C.2D.1（2019南通）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为 Q在数轴上找到表示数2的点A,然后过点A作ABLOA使AB=3（如图）.以O为圆心，OB的长为半径作弧,交数轴正半轴于点P,则点P所表示的数介于（）A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间（2019宁波）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图2的方式放置在最大正方1,2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A.形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和10题图11题图11C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和10题图11题图11.（2019河南）如图，在四边形2题图 3题图 4题图 5题图5.（2018砥底）如图，△ABC中,AB=AC,ADLBC于D点，DELAB于点E,BFXACABC珅，ADBC,ZD=90°,AD=4,BG=3.分别以点A,C为圆心，大一1于一AC长为半径作弧，两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点Q若点O是AC的中点，则CD2的长为（）A.2J2 B.4 C.3D.Vi0二、填空题（2018徐安）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A'处，若EA′的延长线恰好过点C,则sin/ABE的值为.（2018临沂）如图，在？ABCD中，AB=10,AD=6,AC±BC,贝UBD=.（2018?合尔滨）在^ABC中，AB=AC,/BAC=100，点D在BC边上，连接AD,若^ABD为直角三角形，则/ADC的度数为（2018黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）.于点F,DE=3cm,贝UBF=cm.6、（2018烈龙江）如图，已知等边^ABC的边长是2,以BC边上的高ABi为边作等边三角形，得到第一个等边^ABiCi;再以等边△AB1C1的BiCi边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边^AB2c2；再以等边^AB2c2的B2c2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3c3；…,记△BiCB2的面积为Si,△B2CIB3的面积为S2,AB3c2B4的面积为S3,如此下去，则Sn= .6题图7题图6题图7题图（20I8青岛）如图，已知正方形ABcD的边长为5,点E、F分别在AD、Dc上，AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点，连接GH,则GH的长为（20I9山东临沂）如图，在^ABc中，/AcB=I20°,Bc=4,D为AB的中点，DCBc,则△ABc的面积是.（20I9山东枣庄）把两个同样大小含 45。角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点 A,且另外三个锐角顶点B,c,D在同一直线上.若AB=2,则cDI0、（20I9山东聊城）如图，在RtAABc中，/AcB=90°,/B=60°,DE为^ABc的中位线，延长Bc至F,使cF=」bc,连接FE并延长交AB于点M.若Bc=a,则^FMB的周长为.2I0题图ii题图I0题图ii题图I2题图ii.（20I9威海）如图,在四边形ABcD中，AB//cd,连接Ac,BD.若ii.（20I9威海）如图,AB=BD,则/ADc=°.（20i9山东淄博）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片 ABc中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A,C重合）处，折痕是EF.如图1,当CD=—AC时，tan加=—;如图2,当CD=一AC时，tan*=—;2 4 3 12如图3,当CD=—AC时，tan03=—；依此类推，当CD= AC（n为正整数）时，tan的=4 24 n1（2019南京）在^ABC^,AB=4,/C=60°,/A>/B,则BC的长的取值范围是.（2019伊春）一张直角三角形纸片 ABC,/ACB=90。AB=10,AC=6,点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当^BDE是直角三角形时，则CD的长为 三、解答题1.（2019山东临沂）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山.如图，施工方计划沿 AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧 D（A、C、D共线）处同时施工.测得/CAB=30°,AB=4km,/ABD=105°,求BD的长.2、（2019山东荷泽）如图，△ABC和4ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，/ BAC=ZDAE=90°.（1）如图1,连接BE,CD,BE的廷长线交AC于点F,交CD于点P,求证：BPXCD;（2）如图2,把^ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE,CD,CD的延长线交BE于点P,若BC=6j2,AD=3,求△PDE的面积.3、(2019山东枣庄)在GABC中，/BAC=90°,AB=AC,AD，BC于点D.(1)如图1,点M,N分别在AD,AB上，且/BMN=90°,当/AMN=30°,AB=2时，求线段AM

的长;(2)如图2,点E,F分别在AB,AC上，且/EDF=90°,求证：BE=AF;(3)如图3,点M在AD的延长线上，点N在AC上，且/BMN=90°,求证：AB+AN=72AM..(2018济宁)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是边AD,BC的中点，连接DF,过点E作EHXDF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.(1)猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；(2)过点H作MN//CD,分别交AD,BC于点M,N,若正方形ABCD的边长为10,点P是MN上一点，求^PDC周长的最小值.(2019河北)已知：整式 A= (n2-1) 2+ (2n)2,整式B>0.尝试化简整式 A.发现A=B2,求整式B.联想由上可知，B2= (n2-1) 2+ (2n) 2,当n>1时，n2-1 , 2n, B为直角三角形的三边长，如图.填写下表中B的值:直角三角形三边n2-12nB勾股数组I/8—勾股数组n35/—答案与提示一、选择题1、B2、A3、C4、D5、B6、C7、C.8、B.9、C10、C11、A1、解：;沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，B=/EAF=45,1 3・./AFB=90,.•点E为AB中点，aEF=2AB,EF=2,AB=AC=3./BAC=90,「.BC=32+32=3.2,故选：B.2、解：.「△ABC^J等边三角形，「.BA=BC可将△BP%点B逆时针旋转60°得^BEA连EP,且延长BP,彳AF±BP于点F.如图,

BE=BP=4AE=PC=5ZPBE=60,..△BPE为等边三角形，「.PE=PB=4/BPE=60,在AAEP中，AE=5AP=3PE=4..AU=PE+PA, APE为直角三角形，且/APE=90,./APB=90+600=150°.../APF=30,1 3 .3 3-・在直角^APF中，AF=2AP=2，PF=-2-AP=2^3.,在直角△ABF中，A4=BF+AF=(4+252+(|)2=25+1273...一、3一3 -八25、、3一.则△ABC的面积是 ?AB=?(25+1243)=9+4.故选：A.7C2题图 3题图 4题图3、解：如图，延长GFfcAD于点P,二四边形ABCDF口四边形CEFO是矩形，./ADCWADG=CGF=90,AD=BC=2GF=CE=1..AD//G^・./GFHhPAH又;H是AF的中点，「.AH=FH在△APHffi△FGHfr,

ZPAH/FH・〜AH=FH ,•.△AP率AFGH(ASA,tNahp二Nfhg1AP=GF=,1GH=PH尹G••PD=ABAP=1,1 1 ——2 2、2vCG=2CD=1..DG=1则GH=2PG=2XJPD2+DG2=三，故选：C.4、解：作P点分别关于OAOB的对称点C、D,连接CD分别交OAOB于MN,如图,WJMP=M,CNP=NDOP=OD=oC3,/BOP=BOD/AOPWAOC•.PN+PM+MN=ND+MN+NC=DCOD=BOP•.PN+PM+MN=ND+MN+NC=DCOD=BOP4BOD+AOP廿AOC=2AOB=120,•・・此时△PMNW长最小，作OKC叱H,则CH=DH・./OCH=30,..OhIocJ,CH=.3OH=3,•.CD=2CH三3故选：D.2 2 25、解：vBEXCEAD£CE••/E=/ADC=90,../EBCMBCE=90.・•/BCEMACD=90,. EBCWDCA在△CE刑AADOt,叱方NADC44EEOZMA,•.△CE皆AADC(AAS,•.BE=DC=,1CE=AD=3BC=AC•.DE=EGCD=3-1=2故选：B.6、解：二.在RtAABC^,/ACB=90,CE为AB边上的中线，CE=5AE=CE=5・AD=2••DE=3..CD为AB边上的高，..在Rt^CDE中，CD=ce2_d/H5W故选：C.7、解：连接AO如图所示.•••△ABC^等腰直角三角形，点O为BC的中点，・•.。&OC/AO&90°,/BAO=/ACd45°.••/EOA/AOR/EOM90°,/AO+/FOC=/AO的90°, /EO*/FOC・•.△EOA2AFOC(ASA,•.EA=FC,•.AEfAF=AF+FC=AQ选项A正确；.•/B+/BE。/EO&/FO®/C+/OFC=180°,/B+/C=90°,/EOB/FOC=180°-/EOF90°,•./BE。/OFC=180°,选项B正确；1.△EOA3△FOC-Saeoa=Safoc,..S四边形aeof=Saeoa+Saaof=Safo(+Sz\aof=Saao=—Saabc D正确.27题图 8题图8、解：「/AO乐/COa40°,../AOB/AO乐/COD/AOD即/AO康/BOp.•.△AOC2ABOD(SAS,•./OCA=/ODBAG=BQ①正确;・••/OAG/OBD由三角形的外角性质得：/AMB/OA&/AOB/OBD.♦/AM&/AO氏40°,②正确；作OGLMOTG,OHLMBTH,如图所示：则/OG续/OHB90°,

・•.△OCG2△ODH(AA§,；OG=OH|MOP分/BMC④正确； 正确的个数有3个;二、填空题1、叵2、4炳3、130°或90°.4、205、66、0(3)n.7、叵8、8展TOC\o"1-5"\h\z10 4 29。 2n1 83 C廿249、65.10、%a.11、10512、- .13、4<BCc土14、3或一6 2 2 2n22n 3 71、解：由折叠知，A'E=AE,A'B=AB=6/BA'E=90°,../BA'C=90°,在Rt^A'CB中，A,C=jBC2_A,B2=8,设AE=x,WJA'E=x,aDE=10-x,CE=A'C+A'E=8+x在Rt^CDEK根据勾股定理得，(10-x)2+36=(8+x)2,x=2,.-.AE=2在ABE中，根据勾月£定理得，BE=Jab2+ae2=2用，sinZABE=ae=Tic,故答案为：典.10BE10102、解：:四边形ABCD1平行四边形，［w；BC=AD=6OB=DOA=OC.ACLBC,•・ACqAB2-BC2=8,OC=4•♦OB=；OC2+BC2=2/,•・BD=2OB=^3、解：..在△ABC中，AB=AC/BAC=100,../B=/C=4(J,丁点D在BC边上，△ABM直角三角形，，当/BAD=90时，则/ADB=50,・./ADC=130,当/ADB=90时，WJ/ADC=90,故答案为：130°或90°.4、解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH过B作BQLEF于Q,彳A关于EH的对称点A',连接AB交EH于P,连接AP,则AP+PBft是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，•.AE=AE,AP=AP［来源：学纲...AP+PB=AP+PB=AB,vBQ=1X32cm=16ciriAQ=14cm-5cm+3cm=12qm在Rt^A'QB在Rt^A'QB中，由勾股定理得：AB=162工122=20cm.故答案为:20.4题图 8题图 9题图5、解：在RtAADBtRtAADOt,irAB=AC 11AD—AD':Rt^ADB^RtAAD(C•二Saab(=2Sabdf2X-AB?DE=AB?DE=3ABvSabc=1aC?BF 1aC?BF=3AB/AC=AB;1BF=3••BF=6.故答案为6.6、解：二.等边三角形ABC勺边长为2,AB^BG；BB=1,AB=Z根据勾股定理得：AB=5.••第一个等边三角形ABG的面积为1X(质)2=平旧)1；4二.等边三角形ABG的边长为事，ABLBG,「.BB=，3,AB=Q,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 1根据勾股定理得：AB=3,••.第二个等边三角形ABG的面积为lx(3)2=73(^)2；2 4 2 4依此类才t,第n个等边三角形ABG的面积为V3(-)n.故答案为：曲(-)n.4 47.解：:四边形ABC时正方形，「./BAEWD=90,AB=AD在△ABE和ADAF中，'AB二ADZBAE=ZD,..△AB草ADAF(SAS,•./ABEWDAF伸二DFvZABE吆BEA=90,「./DAF吆BEA=90,「./AGEWBGF=90,1・•点H为BF的中点，「.GH=1BF,2vBC=5CF=CBDF=5-2=3,「.BF=，BC^CF2=、,34,..GH=1BF=-^4,2 28、解：「DC!BQ. BC氏900,・•/AC&120°,•./AC也30°,延长CDgijH使DH=CD.D为AB的中点，AD=BD,..△ADHl△BCD(SAS,•.AH=BG=4,/H=/BC由90°,./AC用30°,•・C+73ah=4M「C5273,・•.△ABC的面积=2Sabc户2X1X4X2m=873,故答案为：8m.29、解：如图，过点A作AF±BC于F,在Rt^ABC中，/B=45°,.BC=2AB=22,BF=AF=-2AB=2,2二.两个同样大小的含45°角的三角尺，「.A又BO2.2,在ADF中，根据勾月£定理得，D三JaD2-AF2=V6,•.CD=BF+DF-BG=&+册-2丘=而-V2,故答案为：品-V2.10、解：在RtAABC^,/B=60°,../A=30°,..AB=2a,AOQa.•••DE是中位线，；C『ya.在RtzXFEC中，利用勾月£定理求出FE=a,

・./FEC=300.../A=/AE阵30°,•.EM=AM△FM驯长=BF+FE+EM+B阵BF+FE+AMfMB=BF+FE+AB=-a故答案为9a2' 2'11、解：作DE!AB于E,CF±AB于F,如图所示：则DE=CF,1vCF±AB,/AC氏90,AC=BQCF=AF=BF=1AB,2AB=BD,.,.DE=CF=1AB=1BD,/BA氏/BDA/AB氏30°,•./BAD=/BDA=75°,2 2.AB//CR../AD®/BA也180°,../ADG=105DBAE12、解：观察可知，正切值的分子是3,5,7,分母与勾股数有关系,分别是勾股数3,4,5;9,5,…，2n+1,12,13;7,24,25;DBAE12、解：观察可知，正切值的分子是3,5,7,分母与勾股数有关系,分别是勾股数3,4,5;9,5,…，2n+1,12,13;7,24,25;9,40,41;…,2n+1,(2n1)2-12(2n1)21届 中的中间一个.22n1tanan= 2—(2n1)2-1_2n1—2n22n解答题1、解：作BEXAD于点E,./CA氏30°,AB=4km, /ABE=60°,BE=2km./AB*105°,../EB也45°,../ED氏45°,•.BE=DE=2km,「.BA2.2km,即BD的长是即BD的长是22km.1题图 3题图 4题图2、解：(1):△ABC和4AD式有公共顶点的等月直角三角形，/BA生/DA白90ad=ae,ab=ac,/BAO/ea曰/ead_/ea匕即/BAE=/DAC.•.△ABEiaadc(SAS,•./abe=/acd•・•/ABB/AFB=ZABE-ZCFP^90°,•./CPF=90°,「BP，CRAE=ad…»人…一一—-I, .(2)在AABE与△ACD^, .EAB"cab=90,IAB=AC・•.△ABE^AACD(SAS,../abe=/acdBE=CD

••/PD氏/AD。，/BP庄/CA氏90°,•./EP比90°,.BO672,AD=3,aDE=372,A氏6,「BA6-3=3,C5JaD2+AC2=3存.△BD'z\CDA「.BDP—=PB,「.3_uPDuPB, PD=-5,P五6JCDADAC3,.5 3 6 5 5.・P口3石—他=随，・.△PDE勺面积=1父迷父立=旦.5 5 2