初中数学基础知识点

1代数部分1、实数正整数1.实数的相关概念零整数分类二：负整数分类一：有限小数或无限循环小数正分数分数有理数负分数整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。任何一个有理数都可以在数轴上表示（1）相反数实数a的相反数是-a，像-1和1这样，只有符号不同的两个数,绝对值相等叫做互为相反数。若两个实数a和b满足b=﹣a。我们就说b是a的相反数。此时，b的相反数为﹣b=﹣(﹣a)=a，那么我们就说“相反数具有互称性”；两个互为相反数的实数a和b必满足a+b=0实数a相反数的相反数，就是a本身。相反数不具有传递性，即如果x是y的相反数，y是z的相反数，那么x不一定是z的相反数(除非x=y=z=0)。当a，b都等于0时，才有a=b，也就是说0的相反数是0。在ａ≠ｂ时，必有ab<0，|a|=|b|，即两个互为相反数的实数a和b其绝对值相等符号相反。互为相反数的两个实数在数轴上表示的两个点，分别在原点的两旁，与原点的距离相等，即关于原点对称。(2)倒数乘积是1的两个数互为倒数，零没有倒数，1的倒数是它本身a、b互为倒数分数的倒数：找一个分数的倒数，把分数的分子和分母交换位置。ab=1整数的倒数：找一个整数的倒数，把3化成分数，即3/1，再把3/1这个分数的分子和分母交换位置。小数的倒数：找一个小数的倒数，先化成分数，再求分数的倒数。（3）绝对值|a|*|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，|a-b|表示在数轴上a、b两点间的距离（4）非负数初中阶段认识了3种非负数：（5）科学记数法（a≥0）|a|把一个数写成a×的形式（其中1≤|a|<10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法:当原数的绝对值大于或等于1时，n等于原数的整数位减1当原数绝对值小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数中做起第一个非零数字前零的的个数。（含小数点前的零）（6）近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这是，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。例：（1）41.2万有哪几个有效数字？（2）264310保留两个有效数字？（7）数轴：规定了的原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。也可以用数轴来比较两个实数的大小。1）从原点出发朝正方向的射线上的点对应正数，相反方向的射线上的点对应负数，原点对应零。2）在数轴上表示的两个数，正方向的数大于负方向的数。3）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。数轴是一种特定几何图形；原点、正方向、长度单位称数轴的三要素，这三者缺一不可。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数。用数轴比较大小；一般来说,当数轴方向朝右时,右边的数比左边的数大。2.实数的运算与实数的大小比较（1）实数的运算加法：1、同号两数相加，取相同的正负号，并把绝对值相加。2、绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的数的正负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。3、互为相反数的两个数相加得零。4、一个数与零相加，仍得这个数。减法：1、有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。2、有理数减法常见的错误：没有顾到结果的符号；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算；乘法：1、两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；2、任何数与0相乘都得0。除法：1、除以一个数，等于乘上这个数的倒数；2、0不能做除数。除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0。乘方：1、有理数的乘法的定义：求几个相同因数a的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“an”其中a叫做底数，表示相同的因数，n叫做指数，乘方的结果叫做幂。2、正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数有理数的混合运算：1、进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序。比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算。2、进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算运算律：加法的交换律a+b=b+a；②加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c；③存在数0，使0+a=a+0=a；④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；⑤乘法的交换律ab=ba；⑥乘法的结合律a(bc)=(ab)c；⑦分配律a(b+c)=ab+ac；在实数范围内，加减乘除（除数不为零）、乘方都可以进行，但开方运算不一定能进行，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方。有理数的一切运算性质的运算律都适用于实数运算。实数大小的比较A、正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小。B、利用数轴：在数轴上表示的两个实数，右边的数总是大于左边的数C、设a、b是任意的实数a-b>0a>ba-b=0a=ba-b<0a<bD、设a、b是正实数二、代数式1、整式（1）代数式的分类代数式同类项、合并同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。把多项式中同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项时，只要把系数相加，所含字母和字母指数不变。去括号和添括号去括号法则：1.括号前面有“+”号，,把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号不改变2.括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项的符号都要改变。去括号法则的依据实际是乘法分配率注:（1）要注意括号前面的符号，它是去括号后括号内各项是否变号的依据.（2）去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉.（3）要注意,括号前面是“-”时,去掉括号后，括号内的各项均要改变符号，不能只改变括号内第一项或前几项的符号，而忘记改变其余的符号.（4）若括号前是数字因数时，应利用乘法分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括号，以免发生错误。（5）遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号,也可由外到里.数“-”的个数.添括号法则：1.如果括号前面是加号或乘号,加上括号后,括号里面各项不变号。2.如果括号前面是减号或除号,加上括号后,括号里面各项都要变号。2、整式的运算加减：先去括号或添括号，再合并同类项乘除：幂的运算性质：1）（m、n为整数，a0）2）4）（m、n为整数，a0）3)（n为正数，a、b均不为零）÷=（m、n均为整数，a0）5）零指数与负指数：；整式的乘法：1）单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式；2）单项式与多项式相乘：m(a+b+c)=ma+mb+mc；3）多项式与多项式相乘(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。整式的除法：1）单项式处以单项式：系数、同底数幂相除，作为商的一个因式；2）多项式除以单项式：多项式中每一项除以单项式，然后把所得的商相加。乘法公式：平方差公式：完全平方公式：3.因式分解定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。分解因式与整式乘法为相反变形基本方法：1）提取公因式法am+bm+cm=m(a+b+c)；当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。2）运用公式法：平方差公式：完全平方公式：3）分组分解法：【1】分组后直接提取公因式；【2】分组后直接运用公式能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。比如：4）十字相乘法：【1】【2】形如的式子，十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中5）拆项、添项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。4．分式A、B表示两个整式，B中含有字母分式的符号法则：分式的运算：1.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。2.分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。3.分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。4.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。5、.异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。5.二次根式一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a＞0时，表示a的算数则无实数根）平方根,=0当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，性质：1）a≥0;2）≥0[双重非负性]（a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式最简二次根式条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。二次根式的乘除法：（a≥0，b≥0）（a≥0，b>0）二次根式的加减法：1同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。2合并同类二次根式：把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。6.方程与不等式（1）一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。等式性质：等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1。（2）二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。（3）一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程1）一元二次方程的二次函数的关系一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是该方程的解了2）一元二次方程的解法(1）配方法：利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法：提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法：解一元二次方程的万能方法，方程的根3）解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c，4）韦达定理&根与系数的关系：5）一元一次方程根的情况：根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；III当△<0时，一元二次方程没有实数根（4）分式方程：分母里含有字母的方程叫做分式方程A.去分母{方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母:①最小公倍数②相同字母的最高次幂③只在一个分母中含有的照写）,将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号};B.按解整式方程的步骤（移项，若有括号应去括号,注意变号,合并同类项，系数化为1）求出未知数的值;C.检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。如果分式本身约分了，也要带进去检验。在列分式方程解应用题时，不仅要检验所的解是否满足方程式，还要检验是否符合题意。归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母(5)不等式：①用符号＞，＜，连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。③求不等式解集的过程叫做解不等式。一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。一元一次不等式的符号方向：在不等式中，如果加上同一个数（或加上一个正数），不等式符号不改向；在不等式中，如果减去同一个数（或加上一个负数），不等式符号不改向；在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向；在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向；如果不等式乘以0，那么不等号改为等号7.函数在某一变化过程中有两个变量x与y，如果x在取值范围内取的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么说x是自变量，y是x的函数。(1)一次函数：①若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（b为常数，k不等于0）的形式，称y是x的一次函数。②当b=0时，称y是x的正比例函数。一次函数的图象：①把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。②正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线。③在一次函数中，当k＜0，b＜O，则经234象限；当k＜0，b＞0时，则经124象限；当k＞0，b＜0时，则经134象限；当k＞0，b＞0时，则经123象限。④当k＞0时，y的值随X值的增大而增大，当x＜0时，y的值随x值的增大而减少。(2)反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。因为y=是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=有时也被写成xy=k或y=图像：反比例函数的图象属于双曲线,曲线越来越接近X和Y轴但不会相交（K≠0）性质：1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限。2.当k>0时.在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大。3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x;y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么AB两点关于原点对称。(3)二次函数：未知数的最高次数为二次的多项式函数。表达式：【1】一般式：a，b，c为常数，a≠0，符号问题：a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。a,b共同决定对称轴位置，a,b同号，对称轴在y轴左侧，a,b异号，对称轴在y轴右侧。c决定与y轴交点，c＞0，交于正半轴，c＜０，交于负半轴对称轴：x=顶点坐标(，)特殊值的形式①当x=１时y=a+b+c②当x=-1时y=a-b+c③当x=2时y=4a+2b+c④当x=-2时y=4a-2b+c【2】顶点式：顶点坐标（ｈ，ｋ）左加右减，上加下减【3】交点式：对称轴为图像：二次函数的图像是一条永无止境的抛物线＞０，抛物线与x轴有两个交点；＜０，抛物线与x轴无交点＝０，抛物线与x轴有一个交点特殊值的形式①当x=１时y=a+b+c②当x=-1时y=a-b+c③当x=2时y=4a+2b+c④当x=-2时y=4a-2b+c统计与概率一、数据的收集、整理、描述收集数据：方法很多，如：民意调查，实地调查，媒体查询，实验记录，实际测量，资料查询，来访调查，问卷调查等。整理数据：注：划记法是用“正”字的每一划（笔画）代表一个数据。描述数据：利用统计图（条形图、扇形图、折线图）或统计表来描述扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比。四种统计图的特点：条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目。扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。折线统计图能清楚地反映事物的变化情况。直方图：频数分布直方图是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小．小长方形的高是频数与组距的比值．（当收集的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分布直方图。）等距分组时，各个小长方形的面积（频数）与高的比是常数（组距），因此画等距分组的频数分布直方图时，为画图与看图方便，通常直接用小长方形的高表示频数．画频数分布直方图的一般步骤:(1)计算最大值与最小值的差.(3)决定分点.(2)决定组距与组数.(4)列频数分布表.数出每一组频数(5)绘制直方图.横轴表示各组数据，纵轴表示频数，该组内的频数为高，画出一个个矩形。统计表和统计图的区别：统计表反映的数据准确且容易查找；统计图很直观地表示出变化的情况，但往往不能看出准确数据。二、数据的描述收集、整理、描述、分析数据是数据处理的一个基本过程。第十章已经学习力前3个环节。本章在此基础上，学习利用数据的数字特征刻画数据的分布特征。本章，通过数字特征刻画数据的分布特征主要从三个方面分析：1、分析数据分布的集中趋势，反映数据向其中心值（平均数）靠拢或聚集的程度。2、分析数据分布的离散程度，反映数据远离其中心值（平均数）的趋势。3、分析数据分布的偏离和峰度，反映数据分布的形状。(一)数据的代表平均数：对于N个数X1，X2…XN，我们把（X1+X2+…+XN）/N叫做这个N个数的算术平均数，记为。加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。数据的权能够反映数据的相对“重要程度”。注：统计中常用的平均数有算术平均数、调和平均数、几何平均数等。在数学上，算术平均数有简单的（不加权的）和加权的两种形式。（1）简单算术平均数主要用于处理未分组的原始数据，它的大小只与数据的大小有关。（2）加权平均数只能用于适当类型的分组数据。它的大小不仅与数据大小有关，而且受各组变量值出现的频数大小的影响。“权”的表现形式有多种:“权”以比例的形式给出;“权”以百分比的中位数：N个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。如果数据的个数是奇数个，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；如果在一组互不相等的数据中，小于和大于这个中位数的数据各占一半。众数：一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。众数是一组数据的峰值，它是一种位置代表值，不易受极端值的影响，其缺点是具有不唯一性。众数是一组数据中出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．一组数据中的众数有时不只一个，如数据2、3、－1、2、1、3中，2和3都出现了2次，它们都是这组数据的众数。比较平均数、中位数、众数的优劣：平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生活中常用，但容易受极端值影响；中位数：计算简单，受极端值影响少，但不能充分利用所有数据的信息；众数：各个数据如果重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。(二)数据的波动极差:一组数据中的最大数据与最小数据的差。极差＝最大值－最小值．极差能够反映数据的变化范围.极差是最简单的一种度量数据波动情况的量,但它受极端值的影响较大.方差：用来衡量一批数据的波动大小(即这批数据偏离平均数的大小).在样本容量相同的情况下,方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定.方差主要应用在平均数相等或接近时。三、调查全面调查：所要考察对象的全体叫做总体.抽样调查:采用调查部分对象的方式来收集数据根据部分来估计整体的情况,叫做抽样调查.优点是调查范围小，节省时间，人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的调查结果，抽样时要主要样本的代表性和广泛性。个体:总体中每一个考察对象叫做个体.样本:从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本.样本容量:样本的个数.三、概率必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件叫必然事件;不可能事件：必然不会发生的事件;随机事件（不确定事件）：可能会发生，也可能不发生的事件一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。概率：事件A发生的频率m/n接近于某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.0≤P(A)≤1.必然事件发生的概率为1，记作P（必然事件）=1；不可能事件发生的概率为0，记作P（不可能事件）=0；如果A为不确定事件，那么0＜P（A）＜1列表法求概率：当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。树状图求概率：当一次试验涉及3个因素或3个以上的因素时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用树形图对于两步实验中，类似于第二次不放回的情况运用树状图比较好。树状图更大的优点更体现在三步（或以上）的实验中。例：连续抛掷一枚均匀的硬币3次，求出现两次正面朝上，一次反面朝上的概率，表格只有横行竖列两个指标。树状图相对于表格法也有它的不足之处。如下例：连续两次抛掷一个均匀的小立方体（每个面上分别标有1，2，3，4，5，6），落定后，两次朝上的数字之和有哪些可能的情况？并求朝上的数字之和是6的概率。若用树状图，结果反而很麻烦，每个分支又有6个分支，要用很长时间，图也显得比较乱。运用表格清楚地呈现出了36种可能的情况。几何部分【一】图形的认识：点，线，面，体一．点，线，面，体：①几何图形都是由点，线，面，体组成的，点是构成图形的基本元素。②静止的观点看：面分平面和曲面，面与面相交得线；线分直线和曲线，线与线相交得点。③从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体。二．几何图形：从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。分为立体图形、平面图形各部分不都在同一平面内的几何图形叫做立体图形；各部分都在同一平内的几何图形叫做平面图形.三．展开图：用剪刀正方体纸盒按任意方式沿棱展开，你能得到哪些不同的展开图？四．角角的概念：（1）静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。（2）动态定义：可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置而形成的图形。角的分类：一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角。两个角的关系：①如果两个角的和是90°,那么称两个角互为余角；如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。②性质：同角或等角的余角/补角相等；对顶角相等。比较角大小的方法：观察法、度量法、叠合法(1)角的大小与角的两边画出的长短没有关系。(2)角张开的程度越小，角度就越小例：（1）钟表上8：15分时，时针与分针所夹的角度是多少？（2）从1：15分到1：35分，时针与分针各转了多少度？（3）下午2：15到5：30分时，时钟的时针转过了多少度？（4）在3时和4时之间的哪个时刻，钟的时针与分针：（1）重合；（2）成平角；（3）成直角。五．线段线的定义：①线段有两个端点。②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。③将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。公理：（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线。（2）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。（两点之间线段的长度叫做两点之间的距离）；（3）垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。（5）垂线段公理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。（6）平行线判定公理：同位角相等，两直线平行。（7）平行线性质公理：两直线平行，同位角相等。比较长短：观察法、度量法、叠合法【二】相交线与平行线1.1相交线与平行线平行线的判定：1.(公理4)同位角相等，两直线平行。2.内错角相等，两直线平行。3.同旁内角互补，两直线平行。4、平行于同一直线的两条直线互相平行。平行线的性质：1.两直线平行，同位角相等。2.两直线平行，内错角相3.两直线平行，同旁内角互补。1.2角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上应用：（1）利用角平分线性质可以证线段相等或求距离，有时也可作图。（2）三角形的三条内角平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等。1.3垂直平分线：垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线。性质定理：在垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等；判定定理：到线段两端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上辅助线方法：图中有角平分线，可向两边作垂线，角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看，线段垂直平分线，常向两端把线连。【三】三角形2.1三角形的相关概念：①定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。②三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。③内外角：三角形三个内角的和等于180度。外角和为360度。直角三角形的两个锐角互余。④三角形的分类：按角分：三角形分锐角三角形/直角三角形/钝角三角形；按边分：一般三角形、等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形）和等边三角形。⑤三角形中的相关线段：一个内角的角平分线与他的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线；三角形中，连接一个顶点与他对边中点的线段叫做这个三角形的中线。三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点；从三角形的一个顶点向他的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。三角形的三条高所在的直线交于一点。例1.根据下列条件推导∠A与∠D之间的数量关系（证明）（1）如图①，在ΔABC中，∠B,∠C的平分线交于点D。（2）如图②，在ΔABC中，点D是∠B,∠C的两外角平分线的交点。（3）如图③，在ΔABC中，点D是∠B与∠C的外角平分线的交点。（1）②③例2图例2.如图，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数？例3.分别证明三角形的三条内角平分线、中线、高线交于一点。2.2图形的全等：全等图形的形状和大小都相同。两个能够重合的图形叫全等图形。全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等；全等三角形对应边上的高、中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长、面积也都相等。探索三角形全等的条件：三角形全等至少需要三个条件，且至少有一个条件是“边对应相等”（1）注意题目中的隐含条件，如对顶角、公共角、公共边等。（2）注意题目中的间接条件转化，如“由平行线转化为相等角”“由线段和、差转化为相等线段”，“角的和，差转化为相等的角”（3）根据：“SSS、AAS、ASA、SAS、HL”等定理确定所需条件。证明角相等的常见方法：（1）找公共角或对顶角；（2）利用角平分线定义（3）利用垂直（直角）的定义（4）利用两直线平行，同位角或内错角相等（5）利用等式的性质，作等角或同角的和或差（6）利用同角或等角的补角（余角）相等（7）利用全等三角形的对应角相等证明边相等的常见方法：（1）找公共边（2）利用线段的中点（3）利用等式的性质，作线段的和或差（4）利用全等三角形的对应边相等巧引辅助线证全等：（1）连接特殊点：在题目给定的图形中，往往存在着一些具有一定特殊以一定的点，恰当地把这些点连接起来，常能构成全等三角形。例1：（2）短延长或长截短（截长补短）：在证明线段的和差关系，特别是题目中给出交平分线时，常采用把长线段截短或把短线段延长的方法来构造图形，以利用角平分线的对称性来证明。例2：（3）完善特殊图形：有些题目中所给出的图形，是某一个特殊图形的一部分，如果通过添加辅助线将这个特殊图形补全，图形中的全等三角形就显现出来了。例3：（4）作平行线：当说明两个三角形全等需要一对对应角相等，但图形中又不存在这样的相关的角时，可通过某一个点作某一条线段的平行线，为说明全等提供等角的条件。例4：2.3图形的相似相似：①各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。②相似多边形对应边的比叫做相似比。相似三角形：三个角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边，高，角平分线，中线）的比都等于相似比。②相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。相似三角形的判定：1.平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似；2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，这两个三角形相似。推论六：三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，这两个三角形相似。图形的放大与缩小：①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。(1)比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc；如果ad=bc,那么a:b=c:d(2)合比性质：如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d(3)等比性质：如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b比例关系：平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例证四条线段成比例的技巧：1.巧作平行线证相似：（1）E。例1.在ABC中，AD为BC边上的中线，F为AD上任意一点，直线CF交AB于求证：AE:AB=EF:FC2.三点定形法确定相似三角形例2.CD是RtABC斜边上的高，E是AC的中点，ED,CB的延长线交于点F，求证：FB•CD=FD•DB3.用等线段替换例3.（4）巧用面积证比例式:例4.AD是ABC的角平分线。求证：2.4直角三角形直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(3)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（4）在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；（5）在直角三角形中，两条直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即（6）(7)直角三角形的边角关系：锐角三角函数直角三角形的判定：（1）有一个角为90°；（2）一条边上的中线等于这边的一半；（3）勾股定理的逆定理。直角三角形相似判定定理1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似：射影定理证明垂直的方法：（1）证邻补角相等；（2）证明已知直角三角形全等；（3）利用等腰三角形三线合一的性质；（4）勾股定理及其逆定理；2.5等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫等腰三角形.性质：（1）等腰三角形的两个底角相等(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一）判定：（1）两个角相等的三角形是等腰三角形。实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：1、“角平分线+平行线”构造等腰三角形。3、用“垂直平分线”构造等腰三角形；【四】四边形2、“角平分线+垂线”构造等腰三角形。4、用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形。3.1平行四边形：性质：①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线。③平行四边形的对边/对角相等。④平行四边形的对角线互相平分。判定：两条对角线互相平分的四边形、一组对边平行且相等的四边形、两组对边分别相等的四边形、定义、两组对角分别相等的四边形。注：平行线之间的距离处处相等；平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。3.2菱形：性质：①一组邻边相等的平行四边形是菱形。②菱形的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。③菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形。判定：定义、对角线互相垂直的平行四边形、四条边都相等的四边形。面积计算：（1）边长×高；（2）两条对角线乘积的一半。3.3矩形与正方形：①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。②矩形的对角线相等，四个角都是直角。③对角线相等的平行四边形是矩形。④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。⑤一组邻边相等的矩形是正方形。【五】圆（1）与圆有关的定义，垂径定理及其推论，圆周角和圆心角的性质和定理圆的定义一：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆。圆的定义二：平面上一条线段，绕它的一个端旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆。圆心：定义中固定的一点叫做圆心。用字母o表示，以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。弦：链接圆上任意两点的线段。经过圆心的弦叫做直径。圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作，读作“弧AB”。半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧（用三个点表示），小于半圆的弧叫做劣弧。等圆：能够重合的两个圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=d/2圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。过圆心、平分弦、垂直弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧五个条件，任意知道其中两个可以退出其它。（可用圆的对称性说明）圆心角：顶点在圆心的角。圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交。在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两组弧，两条弦（补充：两个圆周角，两条弦心距）中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。同弧或等弧所对的圆周角相等。半圆（或直径）所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。（2）点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系点与圆的位置关系：点与圆的位置关系的判定与性质:设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆内<=>d＜r点P在圆上<=>d=r点P在圆外<=>d＞r直线与圆的位置关系：直线和圆没有公共点时,叫做直线与圆相离.直线和圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切.这时直线叫做圆的切线,唯一公共点叫做直线与圆的切点。直线和圆有两个公共点时,叫做直线与圆相交.这时直线叫做圆的割线,公共点叫直线与圆的交点。直线与圆的位置关系的判定与性质:（圆心到直线的距离d与半径r的关系）直线与圆相离<=>d>r直线与圆相切<=>d=r直线与圆相交<=>d<r圆与圆的位置关系：外离:两圆无公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫两圆外离.内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内含.特例：同心圆外切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫两圆外切.内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切.相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交.注意：相离：包括外离和内含，它们都属于两圆没有公共点。相切：包括外切和内切，它们都属于两圆都只有一个公共点。圆与圆的位置关系的判定与性质:（圆心到圆心的距离d和两圆半径r，R的关系）外离外切相交内切内含<=>d>R+r<=>d=R+r<=>R-r<d<R+r<=>d=R-r（R>r）<=>0≤d<R-r（R>r）⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。圆内接四边形的对角互补。①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等不在同一直线上的三点确定一个圆。（4）圆的切线的判定及性质切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。补充：（1）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。