2022-2023学年云南省大理市下关教育集团高二年级上册学期段考（二）数学试题（A卷）【含答案】

2022-2023学年云南省大理市下关第一中学教育集团高二上学期段考（二）数学试题（A卷）一、单选题1．若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用复数的除法可求，从而可求.【详解】由题设有，故，故，故选：D2．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设直线的倾斜角为，根据直线的方程求出直线的斜率，再由结合即可求解.【详解】设直线的倾斜角为，由可得，所以直线的斜率，则，因为，所以，故选：C.3．在等差数列中，已知，则等于（）A．40 B．42 C．43 D．45【答案】B【分析】根据等差数列的基本量的计算，求得公差，结合等差数列性质即可求得答案.【详解】由题意得等差数列中，已知，设公差为d，则，故

，故选：B4．在等比数列中，若，是方程的根，则的值为（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根据给定条件，利用等比数列的性质计算作答.【详解】显然方程有两个正实根，依题意，有，，等比数列公比，，所以.故选：C5．数学家蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由新定义求得后，再求出可得离心率．【详解】由题意，，所以，离心率为．故选：A．6．已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，测量得水面宽8米．当水面升高0.5米后，水面宽度是（

）米.A．3 B．4 C． D．【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，根据题意确定点的坐标，代入方程求得p，继而可求得水面升高米后的水面宽度，即得答案.【详解】由题意，以拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，抛物线的开口向下，设抛物线的标准方程为，∵顶点距水面2米时，量得水面宽8米，∴点在抛物线上，代入方程得，p＝4，∴，当水面升高0.5米后，设水面如图中,则A点纵坐标为，代入方程得：，∴水面宽度是米，故选：D．7．已知双曲线的右焦点为，过F和两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由焦点坐标得，由平行线斜率相等得，从而求得得双曲线方程．【详解】右焦点为，则，过F和两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则，，，双曲线方程为．故选：B．8．过点的直线与曲线交于两点，且满足，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据曲线的解析式得到曲线为半圆，然后结合图象得到直线的斜率的范围，根据得到，然后列方程求解即可.【详解】曲线，可整理为，所以曲线为半圆，图象如上所示，，，直线与曲线有两个交点，所以直线的斜率，取中点为，连接，，所以，设直线的方程为，则，，，，因为，所以，，解得或1（舍去）.故选：B.二、多选题9．设，为不重合的两个平面，，为不重合的两条直线，则下列命题中正确的是（

）A．，则B．，则C．，则D．，则【答案】AB【分析】对A，由面面垂直证线线垂直；对B，由线面垂直证面面垂直；对C，由面面平行证线面平行；对D，由面面平行证线线平行.【详解】对A，由可得或，又，可得，A对；对B，由，可得．又，所以，B对；对C，由可得或，C错；对D，由得或m与n异面，D错.故选：AB10．下列选项中哪些是正确的（

）A．命题的否定是.B．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点向右平移个单位长度.C．函数为奇函数.D．已知向量.若，则.【答案】ACD【分析】A通过特称命题的否定是全称命题来判断；B利用三角函数平移规律来判断；C利用奇函数的定义来判断；D利用垂直的坐标运算来计算.【详解】命题的否定是，A正确；把函数图象上所有的点向右平移个单位长度得，B错误；定义域为，又，函数为奇函数，C正确；若，则，得，D正确.故选：ACD.11．设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的有（

）A． B．C．数列单调递减 D．对任意，有【答案】BCD【分析】由可得，而，从而可判断ABCD.【详解】，，，B正确；而，故无法判断的正负，A错误；，数列单调递减，C正确；当时，有最大值，即，D正确.故选：BCD12．已知双曲线的左，右顶点分别为，，点P，Q是双曲线C上关于原点对称的两点（异于顶点），直线，，的斜率分别为，，，若，则下列说法正确的是（

）A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的离心率为C．为定值 D．的取值范围为【答案】BCD【分析】求得双曲线C的渐近线方程判断选项A；求得双曲线C的离心率判断选项B；化简后再判断选项C；求得的取值范围判断选项D.【详解】设，则，因为，，故，依题意有，所以，所以双曲线C的渐近线方程为，离心率，故选项A错误，选项B正确；因为点P，Q关于原点对称，所以四边形为平行四边形，即有，所以，故C正确；设的倾斜角为，的倾斜角为，由题意可得，则，根据对称性不妨设P在x轴上方，则，则，则，因为P在x轴上方，则，或，函数在和上单调递增，所以，故D正确.故选：BCD.三、填空题13．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则an＝________．【答案】【分析】利用的关系求{an}的通项公式，注意是否适合所得通项.【详解】当n＝1时，；当时，；由于n＝1时a1的值不适合的通项公式，∴{an}的通项公式为.故答案为：.14．写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．【答案】或或【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，于是，故①，于是或，再结合①解得或或，所以直线方程有三条，分别为，，填一条即可[方法二]：设圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径，则，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；又由方程和相减可得方程，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，直线OC与直线的交点为，设过该点的直线为，则，解得，从而该切线的方程为填一条即可[方法三]：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，故答案为：或或.15．如图，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图像上.若点的坐标为，记矩形的周长为，则_______.【答案】216【分析】由的坐标得出矩形的周长，进而得出.【详解】由题意，在函数的图像上，若点坐标为的纵坐标为的横坐标为，所以矩形的一条边长为，另一条边长为，所以矩形的周长为，故答案为：21616．椭圆C：的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上，平面四边形ABCD满足，且，则该椭圆的短轴长为_________．【答案】6【分析】先由判断出四点共圆，再由题设求出圆心，表示出圆的方程，将点代入椭圆及圆，即可求出，即可求得短轴长.【详解】由题意得，设，由可得在以为直径的圆上，又原点为圆上弦的中点，所以圆心在的垂直平分线上，即在轴上，则，又可得，故圆心坐标为，所以圆的方程为，将代入可得，又，解得，则，故短轴长为.故答案为：6.四、解答题17．已知公差为2的等差数列中，，，成等比数列.(1)求；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意，用表示，求解即可；（2）结合等差、等比求和公式，分组求和即可.【详解】（1）因为，，成等比数列，所以，又因为等差数列的公差为2，所以，解得，所以；（2）由题意，由于，故为以为首项，公比为4的等比数列，所以.18．某区，，三所学校有意愿报考名校自招的人数分别为24，8，16人，受疫情因素影响，该区用分层随机抽样的方法从三所学校中抽取了6名学生，参加了该区统一举办的现场小范围自招推介说明会.(1)从这6名中随机抽取2名学生进行座谈和学情调查，求这2名学生来自不同学校的概率；(2)若考生小张根据自身实际，报考了甲乙两所名校的自招，设通过甲校自招资格审核的概率为，通过乙校自招资格审核的概率为，已知通过两所学校自招资格审核与否是相互独立的，求小张至少能通过一所学校自招资格审核的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先确定三所学校被抽到的人数，再利用编号，列举的方法，即可所求概率；（2）首先求两所学校都没有通过的概率，再利用对立事件概率公式，即可求解.【详解】（1）用分层随机抽样的方法从三个学校中一共抽取了6名选手参加全市集训，现三所学校应该抽取的人数分别为3，1，2设来自学校的三名学生分别为，，；来自学校的学生为；来自学校的两名学生分别为，从这6名中随机抽取2名学生进行座谈和学情调查，样本空间共包含15个样本点记这2名学生来自不同学校为事件，事件含，，；，，；，，，，共11个样本点，所以（2）记小张至少能通过一所学校自招资格审核为事件，通过甲学校自招资格审核为事件，通过乙学校自招资格审核为事件，则事件“至少通过一所学校自招资格审核”的对立事件是“两所学校都通不过”，因为与相互独立，所以与相互独立所以答：小张至少能通过一所学校自招资格审核的概率为19．如图，圆柱轴截面ABCD是正方形，，点E在底面圆周上，，F为垂足．(1)求证：；(2)当直线DE与平面ABE所成角的正切值为时，求三棱锥的体积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先证明，证明，进而证明平面，根据线面垂直的性质定理可证明结论.（2）建立空间直角坐标系，求出三角形的面积，平面DCE的法向量，利用空间向量的距离公式求出点B到平面CDE的距离，再由三棱锥的面积公式即可求出答案..【详解】（1）由题意可知底面,底面,故，又，，平面AED，故平面AED,由平面AED,得，又，平面BED，故平面BED,由平面BED,，可得．（2）由题意，以A为原点，在底面圆内过点A作AB的垂线作为x轴，以AB，AD所在直线为y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，并设AD的长度为2，则，，，，因为平面ABE，所以∠DEA就是直线DE与平面ABE所成的角，所以，所以，所以，，，由上可得，，设平面DCE的法向量为，则，即取，得．因为，所以点B到平面CDE的距离．所以三棱锥的体积为：.20．已知的三个内角的对边分别为，，，内角成等差数列，，数列是等比数列，且首项、公比均为.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1).(2).【分析】（1）由题意求得，根据正弦定理求得等比数列的首项和公比，可得答案；（2）利用（1）的结论可得的表达式，利用错位相减法即可求得答案.【详解】（1）∵内角成等差数列,∴，又,∴,又所以，即数列是等比数列，且首项、公比均为，所以.（2）由（1）可得∶,∴，又，两式相减,整理得︰．21．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米.(1)求线段的长度；(2)若，求两条观光线路与所围成的面积的最大值.【答案】(1)3千米(2)平方千米【分析】（1）在中，利用余弦定理即可求解；（2）设，则，在中，由正弦定理可得，，则由整理可得，结合的范围，即可求解.【详解】（1）在中，由余弦定理得，，所以，所以线段的长度为3千米.（2）设，因为，所以，在中，由正弦定理得，，所以，，因此，因为，所以.所以当，即时，所围成的面积的最大值为.所以两条观光线路与所围成的面积的最大值为平方千米．22．设抛物线的准线为l，A、B为抛物线上两动点，于，定点使有最小值．(1)求抛物线的方程；(2)当（且）时，是否存在一定点T满足为定值？若存在，求出T的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在定点，使得为定值．【分析】（1）根据抛物