第八章4讲-离散系统频率响应

信号与系统同济大学汽车学院魏学哲(一)序列的傅立叶变换1.定义式中，T为抽样间隔，为数字角频率。§8.9序列的傅立叶变换(DTFT)信号与系统同济大学汽车学院魏学哲因此，单位圆上的序列的Z变换为序列的傅立叶变换。2.序列的傅立叶变换与Z变换的关系信号与系统同济大学汽车学院魏学哲3.逆变换信号与系统同济大学汽车学院魏学哲序列的傅里叶变换也称为离散时间傅里叶变换DTFT(DiscreteTimeFourierTransform)DTFT的基本性质：（1）线性：若：则：DTFT的基本性质信号与系统同济大学汽车学院魏学哲（2）序列的位移：若：则：时域位移对应频域相移（3）频域的位移：若：则：频域位移对应时域的调制信号与系统同济大学汽车学院魏学哲若：（4）序列的线性加权若：（5）序列的反褶则：则：时域的线性加权对应频域微分时域的反褶对应频域反褶信号与系统同济大学汽车学院魏学哲(6)奇偶虚实性：复函数的实部为偶函数，虚部为奇函数，模为偶函数，幅角为奇函数。共轭与信号与系统同济大学汽车学院魏学哲(7)时域卷积定理若：则：(8)频域卷积定理若：则：时域相乘对应频域卷积。时域卷积对应频域相乘。信号与系统同济大学汽车学院魏学哲1.单位圆上（z=ejT）的系统函数就是离散系统的频率特性2.离散系统的频率响应的意义为了研究离散线性移不变系统对输入频谱的处理作用，有必要研究离散线性移不变系统对复指数或正弦序列的稳态响应，8.10离散系统的频率响应特性信号与系统同济大学汽车学院魏学哲设输入序列是频率为的复指数序列，即x(n)=ejTn

单位函数响应为h(n)则离散系统的零状态响应为：信号与系统同济大学汽车学院魏学哲其中，H(ejT)是h(n)的傅立叶变换，被称为系统的频率响应。它描述了复指数序列通过线性移不变系统后，复振幅（包括幅度和相位）的变化。H(ejT)的性质：h(n)绝对可和，则系统稳定，同时也意味着系统的频率特性H(ejT)存在且连续。信号与系统同济大学汽车学院魏学哲因为h(n)是实序列，故H(ejT)满足共轭对称条件，即H(ejT)=H*(e-jT)也就是H(ejT)的幅度为偶对称，H(ejT)=H(e-jT)相角为奇对称arg[H(ejT)]=-arg[H(e-jT)]因为ejT

是周期函数，所以H(ejT)是周期函数，周期为2/T。信号与系统同济大学汽车学院魏学哲也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列的傅氏变换与频率响应的乘积。对于线性移不变系统：系统的单位抽样响应h(n)的傅氏变换也即单位圆上的Z变换称作系统频率响应。系统的频率响应的意义信号与系统同济大学汽车学院魏学哲利用系统函数在z平面上的极零点分布,通过几何方法而直观地求出离散系统的频率响应。(三)频率响应的几何确定法信号与系统同济大学汽车学院魏学哲令信号与系统同济大学汽车学院魏学哲则有信号与系统同济大学汽车学院魏学哲频率响应的幅度等于各零点至ejT点矢量长度之积除以各极点至ejT点矢量长度之积，再乘以常数H0;频率响应的相位等于各零点至ejT点矢量的相角之和减去各极点至ejT点矢量的相角之和。

所有极点矢量长度之积所有零点矢量长度之积（所有零点矢量相角和）

-（所有极点矢量相角和）信号与系统同济大学汽车学院魏学哲信号与系统同济大学汽车学院魏学哲频率响应的幅度曲线02/23/2信号与系统同济大学汽车学院魏学哲H(z)的极零点分布与频率响应的幅度形状的关系1.位于原点的极、零点对幅度响应没有影响；2.靠近单位圆的极点处可能出现峰值；3.靠近单位圆的零点处可能出现波谷；4.单位圆上的零点处形成零点。信号与系统同济大学汽车学院魏学哲练习：已知设N=8，求零极点分布图，并根据零极点图画出幅度特性示意图。解：零点：极点：z=0N阶极点信号与系统同济大学汽车学院魏学哲零极点分布如图：当从零变化到2时，每遇到一个零点，幅度为零；在两个零点之间，幅度最大，形成一个峰值。原点处的极点不影响幅度特性。信号与系统同济大学汽车学院魏学哲频率响应的幅度曲线02信号与系统同济大学汽车学院魏学哲a1为实数,求系统的频率响应。[解]:

对差分方程两边取Z变换:[例:]设一阶系统的差分方程为:信号与系统同济大学汽车学院魏学哲这是一因果系统，其单位抽样响应为幅度响应为:相位响应为:而频率响应为:信号与系统同济大学汽车学院魏学哲零极点分布情况0ωω0-10a1信号与系统同济大学汽车学院魏学哲例：求下图所示的二阶离散系统的频率响应解：该系统的差分方程为系统函数为：若a1和a2为实系数，且信号与系统同济大学汽车学院魏学哲展成部分分式，得：其中：逆变换：信号与系统同济大学汽车学院魏学哲系统的频率响应为：利用延时，倍乘，相加等基本运算单元可以构成数字滤波器。信号与系统同济大学汽车学院魏学哲零极点分布情况ω0-101信号与系统同济大学汽车学院魏学哲例：离散系统全通网络：离散时间系统全通网