七年级数学知识点整理

PAGEPAGE10有理数1.1正数和负数⒈正数和负数的概念⑴像3，2，1.8℅这样大于0的数叫做正数⑵像-3,-2,-2.7℅这样在正数前面叫上负号“-”的数叫做负数负数前面的负号不能省略。②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。3.0表示的意义⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。1.2有理数1.2.1有理数有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数0正有理数负整数正分数有理数有理数0（0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数1.2.2数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。1.2.3相反数⒈相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。⑶互为相反数的两数和为0，它们符号相反，数字相同。0的相反数是0.3.相反数的几何意义在数轴上，互为相反数的两个数的点，分别位于原点的两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。6.多重符号的化简多重符号化简时，只看负号的个数。“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。1.2.4绝对值⒈绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。2.绝对值的代数定义一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.可用字母表示为：①如果a>0|，那么|a|=a；②如果a<0，那么|a|=-a；③如果a=0，那么|a|=0。3.绝对值的性质|a|≥0，（任何一个有理数的绝对值都是非负数。）1.3有理数的加减法1.3.1有理数的加法1.有理数的加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得0；⑶一个数与零相加，仍得这个数。2.有理数加法的运算律⑴加法交换律：在有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。a+b=b+a⑵加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。(a+b)+c=a+(b+c)在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。1.3.2有理数的减法1.有理数减法法则减去一个数，等于加这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。1.4有理数的乘除法1.4.1有理数的乘法1.有理数的乘法法则法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）法则二：任何数同0相乘，都得0；法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.2.倒数乘积是1的两个数互为倒数。3.有理数的乘法运算律⑴乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc).⑶乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即a(b+c)=ab+ac1.4.2有理数的除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0.1.5有理数的乘方1.5.1乘方⑴、求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数，当an看做a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂”。（当底数是负数或分数时，要加上括号。）⑵、因为an就是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算。⑶、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.⑷做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。1.5.2科学记数法⑴把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数法叫科学记数法.⑵用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数少1.⑶用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是（n-1）.1.5.3近似数⑴“参加今天会议的有513人。”这里数字513确切地反映了实际人数，它是一个准确数；“约有500人参加了今天的会议。”五百这个数只是接近实际人数，但与实际人数还有差别，它是一个近似数。⑵近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。记录较大的数用科学记数法和汉字，如：45670000=4567万=4.567×107【拓广探索】11⑴平方数的小数点向左（右）移动两位，扩大100倍。⑵立方数的小数点向左（右）移动三位，扩大1000倍。⑶四次方的小数点向左（右）移动四位，扩大10000倍。互为相反数的两个数的平方相等。整式的加减2.1整式⑴代数式：用加、减、乘、除等运算符号，把数字和表示数字的字母连接而成的式子叫做代数式。⑵代数式的书写规则：数字和字母相乘时，数字写在前面，省略乘号；字母与字母相乘时，省略乘号。除法时，必须写成分数形式，不允许使用除号。当两个或以上的单项式相加减时，最后有名数出现时，必须将整个式子加上括号。当系数是分数时，必须化成真分数或假分数形式。⑶单项式：表示数或字母的积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。⑷单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。⑸单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。（对于单独一个非零的数，规定它的次数为0.）⑹多项式：几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。（几次几项大写项连同符号。）（有名数时要加括号。）多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。常数项的次数为0。⑺整式：单项式和多项式统称为整式。注意：分母上含有字母的不是整式。2.2整式的加减⑴同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。（几个常数项也是同类项。）⑵把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。⑶合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。⑷通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列。⑸同类项需判断两相同是条件合并时需计算系数加两不变。⑹去括号的法则如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反；⑺整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。一元一次方程3.1从算式到方程3.1.1一元一次方程⑴方程：含有未知数的等式。⑵一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。⑶解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是。3.1.2⑴等式的性质：①等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；如果a=b，那么a+c=b+c②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c≠0），那么a/c=b/c⑵设找列解答3.2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项⑴移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。⑵注意：移过的项一定要变号，（以等号为衡量的标准）。⑶移项的作用：通过移项，含未知数的项与常数项分别列于方程的左右两边，使方程更接近于x=a的形式。3.3解一元一次方程（二）——去括号与去分母⑴解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1。⑵注意：①去分母前确定各分母的最小公倍数②不可漏乘不含分母的项。③去掉分母后，若分子是多项式，要加括号，视多项式为一个整体。实际问题与一元一次方程实际问题的常见类型：⑴行程问题：路程=时间×速度时间=速度=（单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、米／分、千米／小时）⑵工程问题：工作总量=工作时间×工作效率，工作总量=各部分工作量的和⑶利润问题：利润=售价—进价，利润率=×100％，⑷年利率=年息／本金×100％利息问题：本息和=本金+利息；利息=本金×利率（百分数）×存期几何图形初步4.1几何图形1、几何学的研究对象：物体的形状、大小和位置关系。几何图形是形形色色的物体外形中得出来的，包括立体图形和平面图形。立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。（虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的，立体图形中某些部分是平面图形。）2、点、线、面、体（1）几何图形的组成体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，也简称体。面：包围着体的是面，分为平面和曲面。线：面和面相交的地方形成线，分为直线和曲线。（长方体6个面相交成的12条棱是直的，圆柱的侧面与底面相交得到的圆是曲的。）点：线和线相交的地方是点，点没有大小，只有位置的不同。（2）点动成线，线动成面，面动成体。（几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。）3、生活中的立体图形圆柱柱体棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、……生活中的立体图形球体(按名称分)圆锥椎体棱锥4、棱柱及其有关概念：棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上下两个底面是相同的多边形，直棱柱的侧面是长方形。棱柱的侧面有可能是长方形，也有可能是平行四边形。5、正方体的平面展开图：11种“一四一”型（6个）“二三一”型（3个）“二二二”型1个“三三”型1个直线、射线、线段1、类型不同点联系可否度量延长线个数共同点延伸性端点数线段不能延伸2线段向一方延长就成射线，向两方延长就成直线√2都是直的线射线只能向一方延伸1X1直线可向两方无限延伸无X无数2、点、直线、射线和线段的表示⑴点的表示方法：在几何里，我们常用字母表示图形。一个点可以用一个大写字母表示，如点A⑵直线的表示方法：一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示，如直线l,或者直线AB⑶射线的表示方法：一条射线可以用一个小写字母表示或用两个大写字母来表示（端点字母写在前面），如射线l,射线AB（判断两条射线是不是同一条射线的标准：1端点是否相同；2延伸方向是否相同。）⑷线段的表示方法一条线段可以用一个小写字母表示或用两个大写字母来表示，如线段l,线段AB⑸延长线：延长线段OA（向A的方向延长）延伸：自主延长：人为⑹直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线（即：两点确定一条直线）。（过一点的直线有无数条。）⑺点和直线的位置关系有两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点。②点在直线外，或者说直线不经过这个点。⑻相交：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交。交点：这个公共点叫做它们的交点。⑼线段的比较：1.目测法2.叠合法3.度量法⑽线段的中点：点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。MABMABAM=BM=AB（或者AB=2AM=2BM）⑾两点之间的所有连线中，线段最短。⑿两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。4.3角4.3.1角1、角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。角的动态定义：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形2、以点O为端点引n条射线，角的个数=n（n—1）÷23、角的表示⑴用符号∠来表示。要注意：用三个大写字母表示时，中间字母是顶点字母。用一个大写字母表示时，顶点处只能有一个角。⑵用一个数字加弧线表示。（数字表示法）⑶用一个希腊字母加弧线表示。（字母表示法）如：阿尔法∠α（Beta）∠β⑵⑶注意事项：必须在图上标注后才能使用，并且只能表示单独的一个角。4、角的度量单位⑴我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的度量单位。把一个周360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″.⑵角的度、分、秒是60进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的。4.3.2角的比较与运算角的平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。4.3.3余角和补角1、余角如果两个角的和等于90°，就说这两个角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的余角。2、补角如果两个角的和等于180°，这两个角叫做互为补角，其中一个角是另一个角的补角。余角和补角的性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。任何一个锐角的补角，都比它的余角大90°。互为余角和互为补角只与角度有关，而与位置无关。角