2022年高中数学解题模型之数列-裂项相消法

第19页（共19页）高中数学解题模型之数列求和（裂项相消法）一．选择题（共8小题）1．（2021秋•卡若区校级月考）已知数列{an}的通项公式，则它的前n项和是（）A． B． C． D．2．（2021秋•爱民区校级期末）已知等差数列{an}，a1＝1，d＝1，则数列的前100项和（）A． B． C． D．3．（2021•八模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an+1+an＝2n+1（n∈N+），则数列{}的前2020项的和为（）A． B． C． D．4．（2021春•成都期末）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n．令数列的前n项和为Sn，则S2021＝（）A． B． C． D．5．（2021•5月份模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S99＝（）A．7 B．8 C．9 D．106．（2021•新乡三模）数列{}的前20项和为（）A． B． C． D．7．（2021春•昌江区校级期末）对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数．已知数列{an}的通项公式，前n项和为Sn，则[S1]+[S2]+⋯+[S50]＝（）A．223 B．218 C．173 D．1688．（2021•让胡路区校级一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，且，．若bn＝﹣log2Tn，则数列的前n项和An为（）A． B． C． D．二．填空题（共2小题）9．（2014春•睢宁县期中）数列1，的前n项和为，则正整数n的值为．10．（2021•香坊区校级三模）已知数列{an}与{bn}前n项和分别为Sn，Tn，且an＞0，2Sn＝an2+an，n∈N*，bn＝，则Tn的取值范围是．三．解答题（共5小题）11．（2021秋•香坊区校级期末）已知数列{an}中，an+1﹣an＝2且a1+a2+a3＝9．（1）求{an}的通项公式；（2）求的前n项和Sn．12．（2021秋•龙凤区校级期末）已知数列{an}的前n项和，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝log3a2n﹣1，n∈N*，求数列的前n项和Tn．13．（2021秋•定州市期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn．14．（2021秋•让胡路区校级期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，an＞0，a1＜2，6Sn＝（an+1）（an+2）．（1）求证：数列{an}是等差数列；（2）令，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．15．（2021秋•唐山期末）已知Sn是数列{an}的前n项和，2Sn＝（n+1）an，且a1＝1．（1）证明：为常数列；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．

高中数学解题模型之数列求和（裂项相消法）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2021秋•卡若区校级月考）已知数列{an}的通项公式，则它的前n项和是（）A． B． C． D．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．【分析】直接利用数列的通项公式和裂项相消法的应用求出数列的和．【解答】解：数列{an}的通项公式＝，故＝1﹣．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．2．（2021秋•爱民区校级期末）已知等差数列{an}，a1＝1，d＝1，则数列的前100项和（）A． B． C． D．【考点】数列的求和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．【分析】首先根据已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【解答】解：a1＝d＝1，所以：an＝1+（n﹣1）＝n．所以：＝＝数列的前100项和：S100＝1+•••+＝1＝．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．3．（2021•八模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an+1+an＝2n+1（n∈N+），则数列{}的前2020项的和为（）A． B． C． D．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算．【分析】首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和．【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an+1+an＝2n+1，所以an+2+an+1＝2n+3，两式相减得：an+2﹣an＝2，且a1＝1，a2＝2，所以an＝n，所以，故，所以Tn＝＝＝，则故选：B．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．4．（2021春•成都期末）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n．令数列的前n项和为Sn，则S2021＝（）A． B． C． D．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算．【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和．【解答】解：数列{an}满足a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+（2n﹣1）an＝2n，①当n＝1时，解得a1＝2，当n≥2时，a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+（2n﹣3）an﹣1＝2（n﹣1），②①﹣②得：（2n﹣1）an＝2，故（首项符合通项），故，所以，则＝．．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5．（2021•5月份模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S99＝（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．【分析】直接利用裂项相消法的应用求出数列的和．【解答】解：若an＝＝，所以．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6．（2021•新乡三模）数列{}的前20项和为（）A． B． C． D．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算．【分析】直接利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．【解答】解：由，所以数列的前20项和为＝．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7．（2021春•昌江区校级期末）对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数．已知数列{an}的通项公式，前n项和为Sn，则[S1]+[S2]+⋯+[S50]＝（）A．223 B．218 C．173 D．168【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．【分析】推得an＝﹣，由数列的裂项相消求和可得Sn，再由[x]的定义，计算可得所求和．【解答】解：由＝﹣，可得Sn＝﹣1+﹣+...+﹣＝﹣1，所以[S1]+[S2]+⋯+[S50]＝（0+0）+（1+...+1）+（2+...+2）+（3+...+3）+（4+...4）+（5+...+5）+（6+6+6）＝2×0+5×1+7×2+9×3+11×4+13×5+3×6＝173．故选：C．【点评】本题考查数列的裂项相消求和，以及[x]的理解和运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．8．（2021•让胡路区校级一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，且，．若bn＝﹣log2Tn，则数列的前n项和An为（）A． B． C． D．【考点】数列的求和．【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．【分析】由递推关系式可得数列{an}是首项为，公比为的等比数列，从而可求得an，进而求得bn，由裂项求和公式即可求得An．【解答】解：因为，所以＝，即，所以S1＝2a2，所以．所以，整理得．又因为，，所以数列{an}是首项为，公比为的等比数列，所以，所以＝，所以．所以．故选：A．【点评】本题主要考查递推关系式，数列的求和，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．二．填空题（共2小题）9．（2014春•睢宁县期中）数列1，的前n项和为，则正整数n的值为9．【考点】等差数列的前n项和；数列的求和．【专题】计算题．【分析】可先求数列的通项＝＝＝，利用裂项可求数列的和，代入可求n【解答】解：由题意可知，数列的通项＝＝＝∴Sn＝＝＝＝＝∴n＝9故答案为9【点评】本题主要考查了数列求和中的裂项求和方法的应用，属于基础试题10．（2021•香坊区校级三模）已知数列{an}与{bn}前n项和分别为Sn，Tn，且an＞0，2Sn＝an2+an，n∈N*，bn＝，则Tn的取值范围是[，）．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算．【分析】首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法和数列的单调性的应用求出结果．【解答】解：数列{an}前n项和分别为Sn，且an＞0，2Sn＝an2+an，①，当n＝1时，解得a1＝1（0舍去），当n≥2时，2Sn﹣1＝an﹣12+an﹣1，②，①﹣②得：（an﹣an﹣1﹣1）（an+an﹣1）＝0，故an﹣an﹣1＝1（常数），所以：数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列；则an＝n．故＝＝，所以：＝,由于，所以，故数列{bn}单调递增；所以．故Tn的取值范围是：[．故答案为：[．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，数列的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．三．解答题（共5小题）11．（2021秋•香坊区校级期末）已知数列{an}中，an+1﹣an＝2且a1+a2+a3＝9．（1）求{an}的通项公式；（2）求的前n项和Sn．【考点】数列的求和．【专题】应用题；方程思想；定义法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）由an+1﹣an＝2可得{an}是以d＝2为公差的等差数列，又a1+a2+a3＝9，得a1+a1+2+a1+4＝9，解得a1＝1，从而利用an＝a1+（n﹣1）d即可求出{an}的通项公式；（2）由（1）可知＝＝（﹣），从而利用裂项相消求和法即可求出Sn．【解答】解：（1）由an+1﹣an＝2，得{an}是以d＝2为公差的等差数列，又a1+a2+a3＝9，得a1+a1+2+a1+4＝9，解得a1＝1，所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1（n∈N*）；（2）由（1）可知＝＝（﹣），所以Sn＝[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝（1﹣）＝，所以的前n项和为Sn＝．【点评】本题考查等差数列的通项公式，裂项相消求和法，考查学生的逻辑推理及运算求解的能力，属于中档题．12．（2021秋•龙凤区校级期末）已知数列{an}的前n项和，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝log3a2n﹣1，n∈N*，求数列的前n项和Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）求出首项，推出{an}是首项为3，公比为3的等比数列，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．【解答】解：（1）当n＝1时，由，得a1＝3；当n≥2时，由得，∴{an}是首项为3，公比为3的等比数列，∴，当n＝1，a1＝3满足此式，所以，n∈N*．（2）由（1）可知∴，∴，∴＝，n∈N*【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力，是中档题．13．（2021秋•定州市期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；转化思想；分析法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）由an与Sn的关系，可得通项公式，（2）利用裂项相消法求数列的和即可．【解答】解：（1）当n＝1时，．当n⩾2时，，因为当n＝1时，3×1+1＝4，所以an＝3n+1．（2）因为．所以．【点评】本题考查数列求和，属于中档题．14．（2021秋•让胡路区校级期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，an＞0，a1＜2，6Sn＝（an+1）（an+2）．（1）求证：数列{an}是等差数列；（2）令，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．【分析】（1）构造新等式，作差整理得到（an﹣an﹣1）（an+an﹣1）＝3（an+an﹣1），进而求解结论，（2）求出数列{an}的通项公式，再代入裂项求和即可．【解答】证明（1）：因为6Sn＝（an+1）（an+2），所以当n≥2时，6Sn﹣1＝（an﹣1+1）（an﹣1+2），两式相减，得到，……（1分）整理得（an﹣an﹣1）（an+an﹣1）＝3（an+an﹣1），又因为an＞0，所以an﹣an﹣1＝3，……（4分）所以数列{an}是等差数列，公差为3；……（5分）（2）：当n＝1时，6S1＝（a1+1）（a1+2），解得a1＝1或a1＝2，因为a1＜2，所以a1＝1，……（6分）由（1）可知an﹣an﹣1＝3，即公差d＝3，所以an＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2，……（8分）所以，……（10分）所以＝……（12分）【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（2021秋•唐山期末）已知Sn是数列{an}的前n项和，2Sn＝（n+1）an，且a1＝1．（1）证明：为常数列；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）由2Sn＝（n+1）an，且a1＝1，可得n≥2时，2Sn﹣1＝nan﹣1，相减化简整理即可证明结论．（2）由（1）可得：an＝n，可得bn＝＝﹣，进而得出数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）证明：2Sn＝（n+1）an，且a1＝1．n≥2时，2Sn﹣1＝nan﹣1，相减可得：2an＝（n+1）an﹣nan﹣1，化为：＝，∴＝＝……＝＝＝1，∴数列为常数列；（2）由（1）可得：an＝n，＝＝﹣，∴数列{bn}的前n项和Tn＝（﹣）+（﹣）+……+（﹣）＝﹣1．【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

考点卡片1．等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝【例题解析】eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，则S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．求数列{|an|}的前n项的和Tn．解：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．∴n≤3时，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．【考点点评】等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．2．数列的求和【知识点的知识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【典型例题分析】典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：＝＝．解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn＝＝＝＝，∴Tn＝＝＝，即数列{bn}的前n项和Tn＝．点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列