抽样技术分层随机抽样概述

2023/1/71第三章分层随机抽样

3.1概述3.2简单估计量及其性质3.3比率估计量及其性质3.4回归估计量及其性质3.5各层样本量的分配3.6总样本量的确定3.7分层抽样的其他方面2023/1/72第一节概述

2023/1/73

定义3.3

分层随机抽样（stratifiedrandomsampling）：如果每层中的抽样都是独立地按照简单随机抽样进行的，那么这样的分层抽样称为分层随机抽样，所得的样本称为分层随机样本（stratifiedrandomsample）。2023/1/742023/1/75二、作用由于每层都进行抽样，这就可使样本在总体中分布更加均匀，从而具有更好的代表性。由于抽样在每一层中独立进行，所以一者允许各层选择不同的适合本层的抽样方法，二则可同时对各子总体（层）进行参数估计，而不单是对整个总体的参数进行估计。由于各层的总体方差因单元之间差异小而肯定小于整个总体的方差，而抽样精度与此成正比，所以分层抽样可以提高参数估计的精度。三、符号2023/1/76所有总体参数的估计量都采用下标“st”以示区别：2023/1/772023/1/78第二节简单估计量及其性质一、对总体均值的估计分层样本，总体均值

的估计分层随机样本，总体均值

的简单估计

2023/1/79估计量的性质

性质1&2：对于一般的分层抽样，如果是的无偏估计（），则是的无偏估计。的方差为：只要对各层估计无偏，则总体估计也无偏。各层可以采用不同的抽样方法，只要相应的估计量是无偏的，则对总体的推算也是无偏的。2022/12/2910证明明性性质质1由于于对对每每一一层层有有因此此，，估计量量的的方方差差由于于各各层层是是独独立立抽抽取取的的，，因因此此上上式式第第二二项项中中的的协协方方差全全为0，从从而而有有2022/12/2911性质3：对于于分分层层随随机机抽抽样样，，是是的无无偏偏估估计计，，的的方方差差为为：：2022/12/2912证明明性性质3：对于于分分层层随随机机抽抽样样，，各各层层独独立立进进行行简简单单随随机机抽抽样样，，对对每每一一层层有有因此此，，由由性性质质1，有有由第第二二章章性性质质2，得得因此此2022/12/2913性质4：对于分层随机机抽样，的的一个个无偏估计为为：2022/12/2914证明性质4：对于分层随机机抽样，各层层独立进行简简单随机抽样样，由第二章章性质3,得的的无偏估计为：：因此，的的一一个无偏估计计为：2022/12/2915二、对总体总总量的估计总体总量的估计为：如果得到的是是分层随机样样本，则总体体总量的简单单估计为：2022/12/29162.估计量的的性质性质1：对于一般般的分层层抽样，，如果是的的无无偏估计计，则是是的的无偏偏估计。。的的方差为为：2022/12/2917性质2：对于分层层随机抽抽样，的的方差为为：2022/12/2918性质3：对于分层层随机抽抽样，的的一个个无偏估估计为：：2022/12/2919例3.1调查某地区区的居民奶奶制品年消消费支出，，以居民户户为抽样单单元，根据据经济及收收入水平将将居民户划划分为4层，每层按按简单随机机抽样抽取取10户，调查获获得如下数数据（单位位：元），，要估计该该地区居民民奶制品年年消费总支支出及其95%的置信区间间。层居民户总数样本户奶制品年消费支出12345678910120010400110151040809002400501306080100551608516017037501802601100140602001803002204150050351502030251030252022/12/2920同理，求得得：2022/12/29212022/12/2922三、、对对总总体体比比例例的的估估计计总体体比比例例P的估估计计为为：：估计计量量的的性性质质性质1：对于于一一般般的的分分层层抽抽样样，，如如果果是是的的无无偏偏估估计计（）），，则则是是的的无无偏偏估估计计。。的的方方差差为为：：2022/12/2923性质2：对于于分分层层随随机机抽抽样样，，是是的的无无偏偏估估计计，，因而而的的方方差差为为：：2022/12/2924性质3：对于于分分层层随随机机抽抽样样，，的的一一个个无无偏偏估估计计为为：：第三三节节比比率率估估计计量量及及其其性性质质先““比比””后后““加加权权””，，此此时时所所得得的的估估计计量量称称为为分分别别比比估估计计（（separateratioestimator）先““加加权权””后后““比比””，，这这样样所所得得的的估估计计量量称称为为联联合合比比估估计计（combinedratioestimator）2022/12/2925分别比比估计计定义3.4总体均均值和总体体总量量的分别别比估估计为为：2022/12/2926定理3.5对于分分层随随机抽抽样的的分别别比估估计，，若各各层的的样本本量都比较较大，，则有有2022/12/2927证明根据比比估计计量的的性质质，当当比较大大时，，有2022/12/2928联合合比比估估计计2022/12/29292022/12/2930分别比估估计与联联合比估估计的比比较2022/12/29311）当，，即或或分别比估估计的精精度与联联合比估估计的精精度是一一样的。。2)当，，即，，分别比估估计的精精度不低低于联合合比估计计的精度度。3）当且且，，这意味味着分别别比估计计的精度度要高于于联合比比估计的的精度。。2022/12/29324）当且且，，或且且，，联合比估估计的精精度要高高于分别别比估计计的精度度。5）当，，即比比估计量量的方差差小于简简单估计计量的方方差时，，需视具具体情况况而定。。2022/12/2933第四节回归估计量及及其性质与比估计相似似，将回归估计的的思想与技术术用于分层随随机样本时，同样有两种可可行的办法:先“回归”后后“加权”,此时所得的估估计量称为分别回归估计计；先“加权”后后“回归”,这时所得的估估计量称为联合回归估计计3.4.1分别回归估计计定义3.6分别回归估计计是指在分层随随机抽样中,先在每层中对对层均值或层层总和做回归归估计,然后再对各层层的回归估计计按总体层权权进行加权平平均。1.各层的回归系系数βh事先给定2.不能事先设定定各层的回归归系数βh3.4.2联合回归估计计1.当β为事先设设定的常数时时2.当回归系数ββ不能事先设设定时3.4.3分别回归估计计与联合回归归估计的比较较经化简得：例3.3已知某公司一一般职员(包括办事员和和保管人员)及高级管理(经理)人员刚进入公公司时的工资资总额,欲通过抽样调调查估计当前前该公司职员员的工资总额额Y。抽样按照一一般职员层与与高管层进行行分层随机抽抽取。一般职职员层抽取n1=15名职员,高管层抽取n2=10名职员。同时时还知道一般般职员层人员员总数N1=390名,该类职员进入入公司时工资资总额为X1=5523965元;高管层人员总总数N2=84名,该类职员进入入公司时工资资总额为X2=2541660元。经过分层层随机抽样调调查所得的数数据如表3—5所示。请对上上述数据分别别按照分别比比估计、联合合比估计、分分别回归估计计、联合回归归估计以及差差估计方法对对该公司当前前职员工资总总额Y做出估计,同时计算出各各个估计量的的精度。五种估计方法法结果比较注意：此时的比估计计和回归估计计(回归系数采用用样本回归系系数进行估计计)均为有偏估计，并且考虑到各各层的样本量量都不大，回归估计的偏偏倚有可能更更大，所以此时采用用比估计，特别是联合比比估计会更保保险。而差估计虽然然标准差相对对较大，但它却是无偏的，均方误差并不不一定大，所以仍然有采采用的价值。。3.4.4比率估计与回回归估计小结结在分层随机抽抽样中，当辅助变量可加加以利用时，为了提高估计量的的精度，可以采用分别比估计、、联合比估计计、分别回归归估计以及联联合回归估计计等估计方法。。在比估计中，当各层样本量量都较大时，分别比估计与与联合比估计计近似无偏；当某些层的样样本量不够大大，而总样本量较较大时,联合比估计近近似无偏。在回归估计中，少数情况下，回归系数可以以是事先设定定的常数,其估计量无偏偏；多数情况下，回归系数需利利用样本回归归系数进行估估计，其估计有偏，但在大样本的的情况下近似似无偏。当Y与X高度相关时,分别比估计、、联合比估计计、分别回归归估计以及联联合回归估计计等估计等产产生的估计量量都是有效的。选择估计方法，大致需遵循的的原则在选择估计方方法时,大致需遵循下下面的原则:(1)由于分别估计计(无论是分别比比估计还是分分别回归估计计)要求各层的样样本量都比较较大,所以当某些层层的样本量不不够大时,建议采用联合合估计(2)当回归系数需需要由样本进进行估计时，回归估计量是是有偏的。在这种情况下下，采取比估计尤尤其是联合比比估计也许更更保险(3)如果各层的样样本量都比较较大,同时每层的比比估计或回归归估计也比较较有效（即ρh均比较大）,而且各层的Rh之间（或βh之间）差异较大,则此时分别估估计优于联合合估计,估计量的方差差更小(4)如果各层的样样本量不大,而且各层的Rh之间(或βh之间)差异较小,则采用联合估估计较为适宜宜(5)如果各层的Rh之间(或βh之间)差别不是太大大,而且并不是每每层的样本量量都相当大,则联合估计可可能更保险一一些如果各层的回回归系数都接接近于1,则可以采用差差估计。虽然然有时差估计计量的方差偏偏大,但由于它为无无偏估计量,所以总的均方方误差不一定定大2022/12/2961第五节各各层层样本量量的分配确定样本本量：总总的样本本量，各各层样本本量估计量的的方差不不仅与各各层的方方差有关关，还和和各层所所分配的的样本量量有关。实际工作作中有不不同的分分配方法法，可以以按各层层单元数数占总体体单元数数的比例例分配，，也可以以采用使使估计量量总方差差达到最最小、费费用最小小。2022/12/29622022/12/2963一、比比例分分配按各层层单元元数占占总体体单元元数的的比例例，也也就是是按各各层的的层权权进行行分配配.对于分分层随随机抽抽样，，这时时总体体均值值的估估计是是自加权权2022/12/2964总体中的的任一个个单元，，不管它它在哪一一个层，，都以同同样的概概率入样样，因此此按比例例分配的的分层随随机样本本，估计计量的形形式特别别简单。。这种样样本也称称为自加加权的样样本。总体比例例的估计计是2022/12/2965二、最优优分配（一）最最优分配配在分层随随机抽样样中，如如何将样样本量分分配到各各层，使使得总费费用给定定的条件件下，估估计量的的方差达达到最小小，或给给定估计计量方差差的条件件下，使使总费用用最小，，能满足足这个条条件的样样本量分分配就是是最优分分配。2022/12/29662022/12/29672022/12/2968定理3.7的证明明对所有有层成成立时时，达达到到极小小常数2022/12/2969简单线线性费费用函函数，，总费费用由此得得出下下面的的行为为准则则，如如果某某一层层·单元数数较多多·内部差差异较较大·费用比比较省省则对这这一层层的样样本量量要多多分配配一些些。2022/12/2970三Neyman（内曼）最优分配配如果每层抽抽样的费用用相同，最最优分配可可简化为这种分配配称为Neyman分配。这这时，达到最小小。2022/12/2971例3.4某市有甲甲、乙两两个地区区,现要进行行家庭收收入的调调查。令令n=500,已知甲地地区共有有20000户居民,乙地区共共有50000户居民;甲地居民民和乙地地居民年年收入标标准差估估计分别别为S1=2500,S2=2000;同时对甲甲地和乙乙地每户户的平均均抽样费费用之比比为2∶3,请分别计计算出在在甲地和和乙地进进行比例例分配、、一般最最优分配配(考虑费用用因素)以及内曼曼分配(不考虑费费用因素素)的样本量量。2022/12/29722022/12/29732022/12/2974四、某些层要求大于100%抽样时的修正正按最优分配时时，有时抽样比f较大，某个层层的又又比较大，则可能出现按按最优分配计计算的这个层层的样本量超超过的的情况。实际工作中，，如果第k层出现这种情情况，最优分分配是对这个个层进行100%的抽样，即取取，，然后后，将剩下的的样本量按按最最优分配分到到各层。五、偏离最优分配配时对精度的的影响2022/12/2975例3.62022/12/29762022/12/29772022/12/2978第六六节节总总样样本本量量的确确定定令当方方差差给给定定时时2022/12/2979当按按比比例例分分配配时时，，实际际工工作作中中，，n的计计算算可可以以分分为为两两步步，，先先计计算算：：然后后进进行行修修正正：：2022/12/2980当按按Neyman分配配时时，，2022/12/29812、精度度要要求求是是以以的绝绝对对误误差差限限d(在给给定定的的置置信信水水平平1-α下下)的形形式式给给出出的的2022/12/29822022/12/29833.精度要求求以的相对误误差限r(在给定的的置信水水平1-α下)的形式给给出2022/12/29842022/12/2985例3.72022/12/29862022/12/29872022/12/29882022/12/2989二、总费用给定定时总样本本量的确定定给定V时2022/12/2990给定C时2022/12/2991第七节分层抽样的的其他方面面一、多重分层定义当调查指标标ψ与两个个或多个辅辅助变量x1,x2,…都存在相相关关系时时,为了提高分分层的效益益,需要按每一一个辅助变变量进行分分层,通常的做法法是先按最最主要的变变量分成大大层,在大层中再再按第二主主要变量分分成子层,从而形成交交叉分层。。当存在多多个分层变变量时,这种分层方方式即称为为多重分层层(multiplestratification)。对于多重分分层,当“子层””划分好以以后,就要考虑样本量在各各子层的分分配问题。最简单单常用的样样本量分配配方法是按按照与每一一子层大小小成比例的的原则进行行分配。在多重分层层中,有时会出现现这样一个个问题:当总样本量量n相对于子层层总数RC不够大时,会出现某些些子层分配配不到样本本的情况。。若n<max(R,C),则此时应当当考虑重新新确定分层层变量或者者不采用分分层抽样,否则这种分分层的效益益是很难保保证的。若n<RC,同时还满足足n≥max(R,C),就可以考虑虑用试验设设计的思想想来进行样样本量的分分配。2022/12/29922022/12/2993二、、事后后分分层层实际际工工作作中，，有时时进进行行事事先先分分层层会会存存在在一一定定的的困困难难各层层的的抽抽样样框框无无法法得得到到几个变变量量都都适适合合于于分分层层，，要要进进行行事事先先的的交交叉叉分分层层比比较较困困难难，，并并且且我我们们并并不不需需要要交交叉叉分分层层后后每每个个子子层层的的估计计一个个单单位位到到底底属属于于哪哪一一层层要要等等到到样样本本数数据据收收集集到到以以后后才才知知道道总体体规规模模N太大大,事先先分分层层太太费费事事等等事后后分分层层技技术术要要求求层层权权Wh已知知或或者者可可以以通通过过某某种种途途径径获获得得,当层层权权Wh未知知而而需需要要进进行行估估计计时时,应当当确确保保层层权权的的估估