北京交通大学高等岩石力学课件相似模型试验

6相似模型试验

绪论相似理论相似条件分析相似模拟试验设计主要内容：6相似模型试验绪论主要内容：6.1绪论

相似模型试验是以相似理论为基础的模型试验技术，是利用事物之间存在的相似和类似研究自然规律的一种方法。

17世纪之前人们主要考虑几何相似；从17世纪初开始，由之前主要考虑几何相似发展到同时考虑几何和内在规律相似；19世纪中期到20世纪30年代，形成了较完善的相似理论，以此理论为指导的相似模型试验也就成为一种相对成熟的研究方法。现代模拟技术主要有：物理模拟，数学模拟，数值模拟和信息模拟。相似材料模型试验属于物理模拟。6.1绪论相似模型试验是以相似理论为基础6.2相似理论6.2.1相似准则

彼此相似的两个系统中，存在着数值不变的组合量，该组合量称为相似准则。AB6.2相似理论6.2.1相似准则彼此轨道几何相似；轨道上任意点运动速度成比例：从某对应点运动到另一对应点所需时间成比例：则A、B两个物体走过的路程也必定成比例：满足上述条件称A与B物体运动相似。轨道几何相似；从某对应点运动到另一对应点所需时间成比例：则A根据：及以上比例关系式得：称之为运动学相似指标，其值等于1。

对于任何其他的相似系统存在着同样的规律，即系统物理量之间的相似常数之间的某种组合等于1。根据：由于则

该不变量即为运动相似系统的相似准则。

特别注意：不变量不等于常数，它反映了两个相似系统对应点的对应时刻准则值相等，而在同一系统不同点是不同的。由于则该不变量即为运动相似系统的相似准则。6.2.2相似理论的三个定理1相似第一定理

相似第一定理阐述的是相似现象具有的性质，即：相似现象的相似准则相等，相似指标等于1，且单值条件相似。

单值条件包括：几何条件，物理条件、边界条件、初始条件2相似第二定理

相似第二定理也称之为π定理，即：如果现象相似，则描述现象各种参量之间关系式可转换为相似准则之间的函数关系，且相似准则函数关系式相同。6.2.2相似理论的三个定理1相似第一定理相设描述相似现象的物理方程为：其中：为基本量；为导出量；转换成无因次的准则方程为：上式表明：相似准则共有n-k个。

相似第二定理为将模型试验结果推广到原型提供了理论依据。设描述相似现象的物理方程为：其中：为基本量；为导出量；转换成3相似第三定理

相似第三定理阐述了相似现象应满足的条件。即：若两个现象能用相同文字的关系式描述，且单值条件相似，同时由此单值条件组成的相似准则相等，则此两个现象相似。3相似第三定理相似第三定理阐述了相似现象应满足的6.2.3相似准则的推导1相似转换法列出描述现象的基本微分方程及全部单值条件；给出相似常数表达式；把相似常数表达式代入方程组求得相似指标；把相似常数代入相似指标式求得相似准则；对单值条件采用上述③、④两个步骤求得相似准则。【例】：一维导热问题导热基本方程：6.2.3相似准则的推导1相似转换法列出描述现象的基本列出模型导热方程给出相似常数表达式将相似常数代入导热方程求相似指标对比原型导热方程：得列出模型导热方程给出相似常数表达式将相似常数代入导热方程求相得相似指标：将相似常数代入相似指标整理，得相似准则得相似指标：将相似常数代入相似指标整理，得相似准则2因次分析法

对于某些系统，无法写出基本方程，因此也无法采用相似转换法求得相似准则。（1）因次概念

因次也称之为量纲，是表示物理量性质的符号。与物理量的单位既有联系，又有区别。

例如：[L]表示长度的因次，而长度的单位可以是米、厘米、毫米等

因次分为基本因次和导出因次。

工程中常用的基本因次系统：MLT系统；FLT系统。2因次分析法对于某些系统，无法写出基本方程，因（2）因次分析原理

因次分析法的理论依据就是π定理，即：若描述某一现象的变量有n个，其中k个变量的因次为基本因次，且这些变量构成一个因次齐次的方程，则齐次方程可以转化为n-k个无因次乘积所组成的方程组。（3）因次分析法步骤找出与现象有关的变量和因次，得出现象的函数表达式；写出相似准则的一般表达式；将变量因次代入准则一般方程得到因次式；列出变量指数之间的关系式；求解得到各变量的指数。（2）因次分析原理因次分析法的理论依据就是π定【例】：电风扇的运动规律影响因素（变量）及因次（1）扭矩t：（2）电风扇半径r：（3）空气密度ρ：（4）风扇转速n：电风扇的运动规律：写出准则函数一般表达式【例】：电风扇的运动规律影响因素（变量）及因次（1）扭矩t将变量因次代入准则函数一般表达式列出变量指数之间关系式求解得各变量指数令：得：将变量因次代入准则函数一般表达式列出变量指数之间关系式求解得得相似准则：令：均得：或

本例中变量数为4个，基本因次为3个，故相似准则为1个。得相似准则：令：均得：或本例中变量数为4个，基本因3矩阵分析法

将矩阵理论引入因次分析法中来求相似准则。对于含有较多变量的系统，可使分析过程得到简化。【例】：系船浮筒系统，分析系统的相似准则。影响因素（变量）及因次（1）水的密度：（2）空气的密度：3矩阵分析法将矩阵理论引入因次分析法中来求相似（3）风速v：（4）重力加速度g：（5）浮筒的密度：（6）系杆长度l：（7）系杆转角：系统基本方程

系统变量共有7个，基本因次为3个，故相似准则有4个，其中是无因次量，因此：（3）风速v：（4）重力加速度g：（5）浮筒的密度写出相似准则一般表达式将变量因次代入准则函数一般表达式写出因次矩阵abcdef写出相似准则一般表达式将变量因次代入准则函数一般表达式写出因求矩阵的秩

矩阵的秩为3，相似准则的个数等于矩阵列数减去矩阵的秩，为6-3=3。为简化分析，将不为零的行列式排在矩阵右侧。由因次表达式得求解上述方程：求矩阵的秩矩阵的秩为3，相似准则的个数等于矩阵列变换矩阵

将d、e、f各行的系数作为π矩阵中对应各列的元素，在a、b、c位置上为单位矩阵。abcdef则：三个相似准则为变换矩阵将d、e、f各行的系数作为π矩阵中对应各6.3相似条件分析

相似条件即模型与原型有关参数之间应满足的条件。包括：几何相似、物理相似、力学相似、过程相似、破坏相似、边界条件相似、初始条件相似等。

对于具体研究的问题，首先是要明确研究的目的，然后找出影响问题的主要因素（变量、参数），最后针对主要因素确定相似准则、相似指标和相似比。

以岩石地下工程为例，需要考虑几何条件、地应力、岩体的物理力学参数、应力应变关系、破坏条件、边界条件、开挖过程的相似。6.3相似条件分析相似条件即模型与原型有6.3.1几何相似条件几何相似常数6.3.2应力应变关系相似模型原型在任意应变点应力要满足

几何相似条件是相似模拟试验中原型和模型应满足的基本条件之一。即表征原型的几何尺寸特征参数和表征模型几何尺寸的特征参数必须满足下式：6.3.1几何相似条件几何相似常数6.3.2应力应变6.3.3应力平衡关系相似原型模型只考虑重力：6.3.3应力平衡关系相似原型模型只考虑重力：将应力相似常数和几何相似常数代入原型方程得：将应力相似常数和几何相似常数代入原型方程得：与模型平衡方程对比可得：6.3.4变形相似条件

由于应变是无量纲的量，根据相似第二定理，应变本身就是一个相似准则，故：假设原型和模型均满足：与模型平衡方程对比可得：6.3.4变形相似条件

由于泊松比也是一个无量纲的量，故：

则，不难得到：6.3.5破坏相似条件模型原型

原型强度曲线与模型完全相似，要满足：由于泊松比也是一个无量纲的量，故：

严格满足比较困难，可简化为：6.3.6时间相似条件

时间相似性比较复杂，取决于研究问题中时间因素所起的作用，需要根据具体问题采用因次分析法来确定其相似常数。运动学相似：一维导热相似：严格满足比较困难，可简化为：6.3.6时间相似6.4相似模拟试验设计6.4.1相似准则的选择和调整相似准则要独立；尽可能使相似准则具有明确物理意义；将原始准则尽量转换为常用准则形式；

如雷诺准则：

傅鲁德准则：

傅里叶准则：

牛顿准则：6.4相似模拟试验设计6.4.1相似准则的选择和调整每个相似准则中最好只安排一个待求量；选取准则要考虑变量易量测；准则较多时，以主要准则为主。6.4.2相似常数的选取

相似常数指原型参数与模型参数的比值。

相似常数包括：基本相似常数和导出相似常数，基本相似常数是基本量的相似常数，主要有长度、时间、质量、温度、电流；导出相似常数是导出量的相似常数。模型试验设计中只选择基本相似常数即可。每个相似准则中最好只安排一个待求量；6.4.2相似常数的研究领域基本相似常数几何尺寸时间质量温度电流几何学√运动学√√静力学√√动力学√√√热力学√√√热传导√√√√静电学√√√电动力学和电磁学√√√√磁流体动力学√√√√√

常见研究领域涉及的基本相似常数研究领域基本相似常数几何尺寸时间质量温度电流几何学√运动学√1几何相似常数

几何相似常数选取的原则：在保证试验参数量测精度的前提下，尽量使模型便于操作。需要根据原型尺寸、模型试验台架尺寸及研究问题的目的综合考虑确定。

对岩土工程、地下工程问题一般取10～

50；对于大坝模拟一般取80～120。2时间相似常数

时间相似常数选取主要应考虑完成一种现象所需的时间长短和相似指标的制约综合考虑确定。通常完成一种现象时间很长时，应选取大的时间常数，以缩短模型试验时间，但有时受相似指标的约束会出现矛盾，此时需要综合考虑确定合适的时间相似常数。1几何相似常数几何相似常数选取的原则：在3质量相似常数

质量相似常数通常用密度相似常数来表达。

对模拟由地心引力引起的应力场问题，存在以下相似指标

在进行模型设计时，一般要求，另外模型和原型同受地心引力作用，，则：

若几何相似常数为20，则意味着相似材料密度需是原型材料密度的20倍，这一般是做不到的。3质量相似常数质量相似常数通常用密度相似

两种解决方法：一是提高应力相似常数，使得下式满足，在岩体地下工程模拟中，若实际模拟深度大，还需要在模型顶面加面力进行补偿，所加面力大小应为：

二是保持，进行离心模型试验，加大模型的重力加速度，在情况下，使得下式满足：

在此情况下可以用原型材料塑造模型进行试验，这一点对于原型本身为土体的情况是非常适宜的。两种解决方法：一是提高应力相似常数，使得下式6.4.3相似材料原料与配比1相似材料原料

常用的有：石英砂、重晶粉、石膏、石灰、水泥、碳酸钙、黑云母、煤粉、木屑、硼酸等2相似材料配比

即相似材料原料之间的重量比例关系。确定合适的配比不是一件容易做到的事。一般根据前人研究成果，或者经过大量配比试验来确定出合适的配比。6.4.3相似材料原料与配比1相似材料原料常配比号抗压强度（kPa）弹性模量（MPa）泊松比备注537372093000.16配比号第一位数字为砂胶比，第二、三位数字为一份胶结物中的水泥与石膏比。拌合相似材料用水量为材料重量的1/10，水中硼砂浓度为1%，500号矿渣水泥，二级建筑石膏，石英细砂。637279865000.18737211851000.20855176023000.22937123015600.26部分配比成果6.4.4相似材料模型制作1整体模型2层状模型3含节理或断层带模型配比号抗压强度（kPa）弹性模量（MPa）泊松比备注5原料准备按配比将原料混合将混合料放入专门容器加适量水搅拌均匀将搅拌好的相似材料均匀铺设在台架中振捣密实干燥养护相似材料模型制作流程原料准备按配比将原料混合将混合料放入专门容器加适量水搅拌均匀6.4.5相似材料模型试验台架北京交通大学新设计制作模型台架效果图8.7m4.6m4.2m4.0m2.4m2.0m加载横梁伺服电机导轨驱动电机导轨加载钢板侧开门平面试验框架操作平台导轨支撑立柱上料斜坡道上操作平台加载纵梁有机玻璃挡板控制台伺服控制柜6.4.5相似材料模型试验台架北京交通大学新设计制作模型北京交通大学北京交通大学北京交通大学北京交通大学西安科技大学西安科技大学重庆公路设计规划研究院重庆公路设计规划研究院山东科技大学（立体台架）山东科技大学（立体台架）山东科技大学（平面台架）山东科技大学（平面台架）6.4.6相似材料模型试验量测光纤光栅分析仪微型压力盒光纤光栅应变片动态数据采集仪

Datataker数据采集器

6.4.6相似材料模型试验量测光纤光栅分析仪微型压力盒6.4.7试验结果分析6.4.7试验结果分析6相似模型试验

绪论相似理论相似条件分析相似模拟试验设计主要内容：6相似模型试验绪论主要内容：6.1绪论

相似模型试验是以相似理论为基础的模型试验技术，是利用事物之间存在的相似和类似研究自然规律的一种方法。

17世纪之前人们主要考虑几何相似；从17世纪初开始，由之前主要考虑几何相似发展到同时考虑几何和内在规律相似；19世纪中期到20世纪30年代，形成了较完善的相似理论，以此理论为指导的相似模型试验也就成为一种相对成熟的研究方法。现代模拟技术主要有：物理模拟，数学模拟，数值模拟和信息模拟。相似材料模型试验属于物理模拟。6.1绪论相似模型试验是以相似理论为基础6.2相似理论6.2.1相似准则

彼此相似的两个系统中，存在着数值不变的组合量，该组合量称为相似准则。AB6.2相似理论6.2.1相似准则彼此轨道几何相似；轨道上任意点运动速度成比例：从某对应点运动到另一对应点所需时间成比例：则A、B两个物体走过的路程也必定成比例：满足上述条件称A与B物体运动相似。轨道几何相似；从某对应点运动到另一对应点所需时间成比例：则A根据：及以上比例关系式得：称之为运动学相似指标，其值等于1。

对于任何其他的相似系统存在着同样的规律，即系统物理量之间的相似常数之间的某种组合等于1。根据：由于则

该不变量即为运动相似系统的相似准则。

特别注意：不变量不等于常数，它反映了两个相似系统对应点的对应时刻准则值相等，而在同一系统不同点是不同的。由于则该不变量即为运动相似系统的相似准则。6.2.2相似理论的三个定理1相似第一定理

相似第一定理阐述的是相似现象具有的性质，即：相似现象的相似准则相等，相似指标等于1，且单值条件相似。

单值条件包括：几何条件，物理条件、边界条件、初始条件2相似第二定理

相似第二定理也称之为π定理，即：如果现象相似，则描述现象各种参量之间关系式可转换为相似准则之间的函数关系，且相似准则函数关系式相同。6.2.2相似理论的三个定理1相似第一定理相设描述相似现象的物理方程为：其中：为基本量；为导出量；转换成无因次的准则方程为：上式表明：相似准则共有n-k个。

相似第二定理为将模型试验结果推广到原型提供了理论依据。设描述相似现象的物理方程为：其中：为基本量；为导出量；转换成3相似第三定理

相似第三定理阐述了相似现象应满足的条件。即：若两个现象能用相同文字的关系式描述，且单值条件相似，同时由此单值条件组成的相似准则相等，则此两个现象相似。3相似第三定理相似第三定理阐述了相似现象应满足的6.2.3相似准则的推导1相似转换法列出描述现象的基本微分方程及全部单值条件；给出相似常数表达式；把相似常数表达式代入方程组求得相似指标；把相似常数代入相似指标式求得相似准则；对单值条件采用上述③、④两个步骤求得相似准则。【例】：一维导热问题导热基本方程：6.2.3相似准则的推导1相似转换法列出描述现象的基本列出模型导热方程给出相似常数表达式将相似常数代入导热方程求相似指标对比原型导热方程：得列出模型导热方程给出相似常数表达式将相似常数代入导热方程求相得相似指标：将相似常数代入相似指标整理，得相似准则得相似指标：将相似常数代入相似指标整理，得相似准则2因次分析法

对于某些系统，无法写出基本方程，因此也无法采用相似转换法求得相似准则。（1）因次概念

因次也称之为量纲，是表示物理量性质的符号。与物理量的单位既有联系，又有区别。

例如：[L]表示长度的因次，而长度的单位可以是米、厘米、毫米等

因次分为基本因次和导出因次。

工程中常用的基本因次系统：MLT系统；FLT系统。2因次分析法对于某些系统，无法写出基本方程，因（2）因次分析原理

因次分析法的理论依据就是π定理，即：若描述某一现象的变量有n个，其中k个变量的因次为基本因次，且这些变量构成一个因次齐次的方程，则齐次方程可以转化为n-k个无因次乘积所组成的方程组。（3）因次分析法步骤找出与现象有关的变量和因次，得出现象的函数表达式；写出相似准则的一般表达式；将变量因次代入准则一般方程得到因次式；列出变量指数之间的关系式；求解得到各变量的指数。（2）因次分析原理因次分析法的理论依据就是π定【例】：电风扇的运动规律影响因素（变量）及因次（1）扭矩t：（2）电风扇半径r：（3）空气密度ρ：（4）风扇转速n：电风扇的运动规律：写出准则函数一般表达式【例】：电风扇的运动规律影响因素（变量）及因次（1）扭矩t将变量因次代入准则函数一般表达式列出变量指数之间关系式求解得各变量指数令：得：将变量因次代入准则函数一般表达式列出变量指数之间关系式求解得得相似准则：令：均得：或

本例中变量数为4个，基本因次为3个，故相似准则为1个。得相似准则：令：均得：或本例中变量数为4个，基本因3矩阵分析法

将矩阵理论引入因次分析法中来求相似准则。对于含有较多变量的系统，可使分析过程得到简化。【例】：系船浮筒系统，分析系统的相似准则。影响因素（变量）及因次（1）水的密度：（2）空气的密度：3矩阵分析法将矩阵理论引入因次分析法中来求相似（3）风速v：（4）重力加速度g：（5）浮筒的密度：（6）系杆长度l：（7）系杆转角：系统基本方程

系统变量共有7个，基本因次为3个，故相似准则有4个，其中是无因次量，因此：（3）风速v：（4）重力加速度g：（5）浮筒的密度写出相似准则一般表达式将变量因次代入准则函数一般表达式写出因次矩阵abcdef写出相似准则一般表达式将变量因次代入准则函数一般表达式写出因求矩阵的秩

矩阵的秩为3，相似准则的个数等于矩阵列数减去矩阵的秩，为6-3=3。为简化分析，将不为零的行列式排在矩阵右侧。由因次表达式得求解上述方程：求矩阵的秩矩阵的秩为3，相似准则的个数等于矩阵列变换矩阵

将d、e、f各行的系数作为π矩阵中对应各列的元素，在a、b、c位置上为单位矩阵。abcdef则：三个相似准则为变换矩阵将d、e、f各行的系数作为π矩阵中对应各6.3相似条件分析

相似条件即模型与原型有关参数之间应满足的条件。包括：几何相似、物理相似、力学相似、过程相似、破坏相似、边界条件相似、初始条件相似等。

对于具体研究的问题，首先是要明确研究的目的，然后找出影响问题的主要因素（变量、参数），最后针对主要因素确定相似准则、相似指标和相似比。

以岩石地下工程为例，需要考虑几何条件、地应力、岩体的物理力学参数、应力应变关系、破坏条件、边界条件、开挖过程的相似。6.3相似条件分析相似条件即模型与原型有6.3.1几何相似条件几何相似常数6.3.2应力应变关系相似模型原型在任意应变点应力要满足

几何相似条件是相似模拟试验中原型和模型应满足的基本条件之一。即表征原型的几何尺寸特征参数和表征模型几何尺寸的特征参数必须满足下式：6.3.1几何相似条件几何相似常数6.3.2应力应变6.3.3应力平衡关系相似原型模型只考虑重力：6.3.3应力平衡关系相似原型模型只考虑重力：将应力相似常数和几何相似常数代入原型方程得：将应力相似常数和几何相似常数代入原型方程得：与模型平衡方程对比可得：6.3.4变形相似条件

由于应变是无量纲的量，根据相似第二定理，应变本身就是一个相似准则，故：假设原型和模型均满足：与模型平衡方程对比可得：6.3.4变形相似条件

由于泊松比也是一个无量纲的量，故：

则，不难得到：6.3.5破坏相似条件模型原型

原型强度曲线与模型完全相似，要满足：由于泊松比也是一个无量纲的量，故：

严格满足比较困难，可简化为：6.3.6时间相似条件

时间相似性比较复杂，取决于研究问题中时间因素所起的作用，需要根据具体问题采用因次分析法来确定其相似常数。运动学相似：一维导热相似：严格满足比较困难，可简化为：6.3.6时间相似6.4相似模拟试验设计6.4.1相似准则的选择和调整相似准则要独立；尽可能使相似准则具有明确物理意义；将原始准则尽量转换为常用准则形式；

如雷诺准则：

傅鲁德准则：

傅里叶准则：

牛顿准则：6.4相似模拟试验设计6.4.1相似准则的选择和调整每个相似准则中最好只安排一个待求量；选取准则要考虑变量易量测；准则较多时，以主要准则为主。6.4.2相似常数的选取

相似常数指原型参数与模型参数的比值。

相似常数包括：基本相似常数和导出相似常数，基本相似常数是基本量的相似常数，主要有长度、时间、质量、温度、电流；导出相似常数是导出量的相似常数。模型试验设计中只选择基本相似常数即可。每个相似准则中最好只安排一个待求量；6.4.2相似常数的研究领域基本相似常数几何尺寸时间质量温度电流几何学√运动学√√静力学√√动力学√√√热力学√√√热传导√√√√静电学√√√电动力学和电磁学√√√√磁流体动力学√√√√√

常见研究领域涉及的基本相似常数研究领域基本相似常数几何尺寸时间质量温度电流几何学√运动学√1几何相似常数

几何相似常数选取的原则：在保证试验参数量测精度的前提下，尽量使模型便于操作。需要根据原型尺寸、模型试验台架尺寸及研究问题的目的综合考虑确定。

对岩土工程、地下工程问题一般取10～

50；对于大坝模拟一般取80～120。2时间相似常数

时间相似常数选取主要应考虑完成一种现象所需的时间长短和相似指标的制约综合考虑确定。通常完成一种现象时间很长时，应选取大的时间常数，以缩短模型试验时间，但有时受相似指标的约束会出现矛盾，此时需要综合考虑确定合适的时间相似常数。1几何相似常数几何相似常数选取的原则：在3质量相似常数

质量相似常数通常用密度相似常数来表达。

对模拟由地心引力引起的应力场问题，存在以下相似指标

在进行模型设计时，一般要求，另外模型和原型同受地心引力作用，，则：

若几何相似常数为20，则意味着相似材料密度需是原型材料密度的20倍，这一般是做不到的。3质量相似常数质量相似常数通常