第三章和角动量教案

教学要求掌握运用动量守恒定律分析问理解质点的角动量力矩冲矩概念，质点系角动量定理理解角动量守恒定律及其适用能应用角动量守恒定律分析算有关问题教学内容（学时：4学时§3–1质点§3-2系的动量定§3-3守恒定§3-4角动量质点的角动§3-5量守§3-6系的角动量定教学重建立动量、角动量的概念；掌握力的冲量与动量的变化理解力矩的冲量矩与角动量掌握动量守恒定律以及适用理解角动量守恒定律及其适教学难建立角动量的概念3-01),3-03),3-3-09),3-3- 3- 3-3-18),§3 点的动量定质点动量定理的F表示：质点所受的合外力等于质力对时间的累积

称为Fdt

(3-恒力的冲量I变力在dtdI

变力在时间t1～t2程中的冲2t2I Fdt

(3-

I

(3-式中:P2为质点在t2时刻的动量，P1为质点在t1时刻的动量。2t2I Fdt

I 上式是质点动量定理的积分形说明合外力在一段时间内的冲量等于质点在同一段时间内动量的几何上即I、P1、P2构成闭合角形讨论冲量是矢量，其方向为Δp的平均冲力的定义动量定理常用于碰撞、冲击一类问题，物体所受力叫做冲力。冲很大时间则往往很短(图１实平均冲力的定义为Fdt F t2 F～t曲线图中冲力曲线与横轴间虚线下矩形面积等于曲线下的面则矩形面积的高就是平均FFtOFFtO冲力和平xyz轴就有:I

Fx

Iy

Fy

I

Fz

Pz

增量等于同方向上冲量的分量2t2I Fdt

FdttititI t

Fdt tt

3.1m1.0kg小球以初速v020.0m/s沿水平方向抛I此题可用动量定理求解1mv020kgm/s，沿水平一秒钟内小球所受重力冲I

9.8Ns

，方向竖直向下一秒钟后动P2的大小为

P2IP2I1(20)2

22.3kgv m

速度方向arctanP

例3.2如图，质量m=0.15kg的小球以v0=10m/s速度角

30，然后沿

60的反t

0.01s计算：小球对地面的平均冲力ymvmv1x解因为地面光滑地面对小球冲力水平方向小球不受作用力面对小球的平均冲力为F碰后小球速度为v，建立坐标图根据质点的动量定理有：Ix0

mvsin2

Iy

co由此v

sin2

t代入数3F 3

0.15

小球对地面的平均冲力就是的反作用力mg

0.15

1%，可忽略不计§3-2质点系的动量定质点系－－若干个质点组成的系外力――系统外的物体对质点系中各质点的作用力内力――质点系中各质点彼此之质点系的动量定理设有n个质点组成一质点系i

n个质点可列n个像上式一样的方程n求和：F外i

i

d (3-由于内力总是成对出现:内 i合外力

F外i质点系的

PiF (3-质点系的动量定理在一个过程t

F外

P2

(3-或I外(3-

-3.3木板B静止置于水平台面上，小木块AB板的一端上(如mA0.25kg，mB0.75kg，B间的摩擦因数

面间的摩擦因

2

0.1。现在给小木块A一向右的水平初速度过多A、B恰好具有相同的速B板足够长.)AAB根据质点系的动量定理F r

(mA以

2A (2Ar

mBv

得

2) mA 对小木A应用质点的动量定 r

以 r解得

代入有关v

t

§3-3动量守恒定质点系的动量将保持不变，即：Pmii

(3-讨论内各物体动量的矢量和不变，而不哪一个物体的动量mii

恒矢系内各质点的动量是可以变化的有时质点系所受合外力F外力（F内>>F外）或外力不太大而作用时间很短促，可以忽略外力动量守恒定律mii

常

0 则mii

Fy

0 则mii

若Fz

0 则二碰撞过程中的动量守恒现碰撞——强烈而短暂，内力作用暂

F，且作用因此动量守恒，碰撞可分为三类完全弹性碰撞（表现为系统的总动能前后相等完全例 质量为m1的小球A以速v0x与另一质量m2的静止小球B在水平面内碰撞，碰后沿y轴正方向运动，B的运动方向x轴成角v2；设碰撞的接触时间为受到的平均冲力

yAB解(1)A、B两球构成系统，yABx方

v0

y方联解v0

v0m2(2小A点x方

Fx

y方

所以F的大小

(x)(x)2(y)2(()2v20v2021

Fx轴的夹角为arctan

三动量守恒定律与运动定律运动定律导出——动量定理——动量守恒定律动量守恒定律远比定律更广 小到微观粒子。可得宇宙中动量总下面从动量守恒定律出发导出设有质1和质2构成一个封闭根据动量守恒定律系统总动量持不

P

但两质点通过彼此间相互作用交P1即1

2有

0，则1

(3-表明两物体相互作用彼此施加“力动量发生变因此定1对质2F21

(3-2对质1

(3-

得F21—考虑一质点，所受力都是外(3-11)或(3- 再考虑

P及低速时质量m是常量F外

d(mv)—*实律相悖的*动量守恒定律和动量定理都只上惯性力才能应用 量为m1的砂袋静止下垂，质量为m2的以速v0倾斜角射入砂袋中不再出来求：与砂袋一同开始运动时的OO解在射入过程中以和砂竖直方向受重力(忽略)和绳冲力(不可忽略)，动量竖直分量不守在水平方向上系统不受外力作设碰后与砂袋以共同速度开始运动

得vm2

例3.5小游船靠岸的时候速度起来船近岸端准备上岸，设游重m1=50kgL=5m，解该系统水平方向动量守恒。设游客速度v1，游船速度为v2积分

m2v2m1v1dtm2v2dt 即

m2x2 其中

x1

为游客和游船位移按相对运动的位移关

x12游客对游船的位故

L

L联立求解(1)、(2)两式，可得

L1游船对岸

m1 （负号表示游船对岸后退了1.67）§3- 角动量质点的角动量定vvLmrA0点为惯性参考系中的一定点。质mt时刻相对于0的矢径rp1对于0L(3-

LrP角动量等于质点O点的矢径与动量的矢积角动量的LrPsin(3-角动量的由矢积的右手定则确定注意：角动量必须针对某一O。二．力力对参考点0的力矩定义为（3-

MrMMOrdFA即，力的作用点0点的矢rF的矢力矩的大MrF力矩的方右手定则

力矩在dt时间内的微冲量为M外dt力矩在t1～t2过程中的冲量为t2M外dt点的角动量角动量定理的微设质量为m的质点对参考点的矢径F0的矢径。质点角动量对时间的变率dL

(rP)

Prv

rr（第一项V与动量同方向，二者矢积等于零由M

r

，得(3-

M 即质点受到的合外力矩等于质点角动量对时间的变化率。或

M外dt—角动量定理的微分形角动量定理的积t2M外

dL

(3-角动量定理的积分形冲量矩等于质点角动量增量。L

——到t2时间内质点角动量的增注意：力矩与角动量必须对同一-例3.7已知地球的质量m=6.01024kg，地球与的中心距离r=1.51011m，若近似认为地球绕作匀速率圆周运动，v=3104m/s，求：地球对中心的角动量LvLvOrm解作示意图如图，O心地球 中心的角动量为Lr因为r与v垂直， 2故角动量的大小L

sin2

1.510116.0102431042.71040kgm2/(在图示Lrv构成可见r与速v时时都彼此垂直，故质点O的角动量的大Lmrv。如3.8一质点以速度vl方作直线运动，求质点对直线外一的角动量已知质点质量m，O点到直线的直距离dOOdvlm解：设任一时刻质点到O点的矢径r(如图)质点角动量的大小根据(3-为Lrmv

mvd距离

dOlOvP)矢量延长线的垂直距离_因此角动量的大小LPd刻质点对O点角动量大小和方向恒§3- 角量守恒定 当作用在质点上的合外力矩等即

M外 则LrP 角动量守恒定律条件质点所受的合外力为零(合外力矩为零有两种实现的可质点所受的合外力为零，则合

0同一直线，力臂为零，力矩为零力场、点电荷的库仑场中常见）例3.9我国第一颗人造地球地球在椭圆的一个焦点上，在近地点和远地点时距地心分别为r1=6.82106m和r2=8.76106m，在近地点时的速度求：在远地点时的速度v2 解如图在轨道上任一处受地在近地点角动量等于在远地点角动设质量为

1L2

m2v21得

106106

8.311036.3103本例 受地球引力作用，力冲量改变动量，动量不守恒。但引力对地心力矩为零，对例3.10光滑水平台面上有一一端，轻绳的另一端穿台面上的小孔被一只手拉紧，并物体以初始角速0绳以匀速率v向下运动，使半径渐减小求半径减小为r时物体的角速；若以向下开始拉动时为计时起求：角速度与时间的关系(t)m解在水平方向上，物m绳拉力作用，拉力对小孔的力矩为物体对小孔的角动量守恒mrvm0v0考虑

v0

v

，应

02r 再按题意，代入上

vt 02 0(0 v例 用角动量守恒定律再例3.5（图示，一轻绳悬挂质量m1的砂袋静止下垂，质量为m2的以速度倾斜角射入砂袋中不再出来求：与砂袋一同开始运动时的O 解在射入砂袋的过程中，将于外力的重力及绳拉力对悬挂点都不形成故系统的角动量守恒

(1

所v

13.5的结果一致§3- 质点系的角动量定质点系的角动系统中各质点对同一参考点的角Li

i

质点系的角动量定理的微分形作用于质点系各质点的力分为外力和内作用于第i个质点的外力形成外力矩M外作用于第i个质点的内力形成内力矩M内作用于第i个质点的合力矩为外力矩和内力矩的矢量和(对同一参考

M外

M内对质点系中i应用质点Mi

M外

M内

分析质点系中每一质点，一共可n个这样方程n个方程求Mi

M外i

M内i

(3-对整个系

M内i

0M

M外iLL外i(3-

M —质点系角动量定理的微分形点系的角动量对时间的变化率。质点系的角动量定理的积分形式t2M外

dL

(3-即：合外力矩的冲量矩等于角如果作用于质点系的合外 M外 则Li

——质点系的角动量守例3.12a的轻质细杆可光滑水平面上绕过中心的竖直轴转动，细杆的端分别固定质量m1m2的小球，且静止不动。有一质量为m3的小粘性泥团以水平速度v0且与杆成角的方向射向m2，并且粘在m2上（图

m3求：杆开始旋转时的角速O解：将三个质点m1、m2和m3设想O轴O对系统有作用轴的作用力轴自身力矩为零以系统对O轴角碰前m1和m2系统角动

L0

三个质点都在运动并且有相同的角速度，系统角动量为：L

按角动量守恒

L0

22v2

1m1

2可解出,得

v1

v32

sn注m3m2碰撞过程中O上存在O轴的合外力矩为零O轴内容总冲量力对时间的累积称为力的冲量dItI t

合外力的冲量等于质点(系)动量的增量dI

外

(微分形I t2 dt 1t 1(积分形动量守恒定律若F外 则Pmivi

碰撞完全弹性碰撞动量守恒，机械能守恒，碰撞非完全弹性碰撞动量守恒*：力的平均冲力 F