2022高考冲刺数学题源探究-立体几何：空间向量及其运算

空间向量及其运算【考点梳理】1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量|a|＝0单位向量长度(模)为1的向量|a|＝1相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合a∥b共面向量平行于同一平面的向量a∥α，b∥α2.共线向量、共面向量定理和空间向量根本定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量根本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角：两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，那么∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，假设〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积：空间两个非零向量a，b，那么|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))【教材改编】1．(选修2－1P89练习T2改编)如图，E是正方体ABCD­A1B1C1D1上平面A1B1C1D1的中心，假设eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))＋zeq\o(BB1,\s\up6(→))，那么x＋y＋z等于()A．0 B．1C．2 \f(1,2)[答案]C[解析]eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))∴x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝1，应选C.2．(选修2－1P98A组T8改编)a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，那么|bA．3eq\r(2) B．4eq\r(2)C．2eq\r(5) D．2eq\r(6)[答案]D[解析]∵a⊥b，∴a·b＝0.即2×(－4)＋3×2＋x＝0，∴x＝2.∴|b|＝eq\r(－42＋22＋22)＝2eq\r(6).应选D.3．(选修2－1P92练习T3改编)如图，线段AB，BD在平面α内，BD⊥AB，AC⊥α.且AB＝BD＝1，CD＝eq\r(6)，那么CA的长为()A．1 \r(2)\r(3) D．2[答案]D[解析]由题意得eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，eq\o(CA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→)).∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))，即6＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋2，∴|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝2，即CA的长为2，应选D.4．(选修2－1P92练习T1改编)如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB1⊥BC1，那么eq\f(AB,BB1)的值为()\f(\r(2),2) B．1\r(2) \r(3)[答案]C[解析]设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，且eq\o(AA1,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝60°，又设AB＝1，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))＝a＋c.eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－a＋b＋c.∵AB1⊥BC1，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝0，即(a＋c)·(－a＋b＋c)＝0.∴－a2＋c2＋a·b＋c·b＝0，∴|c|2＋1×1×eq\f(1,2)－12＝0.∴|c|＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(AB,BB1)＝eq\f(1,\f(\r(2),2))＝eq\r(2)，应选C.5．(选修2－1P94练习T1改编)假设向量{a，b，c}是空间的一个基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，那么可以与m，n构成空间另一个基底的向量是()A．a B．bC．c D．2[答案]C[解析]∵a＋b，a－b分别与a，b,2a∴它们分别与a＋b，a－b均不能构成一组基底．6．(选修2－1P105例1改编)如下图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.那么AC1\r(2) \r(3)C．2 \r(6)[答案]D[解析]记eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，那么|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×(eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2))＝6，∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，即AC1的长为eq\r(6).7．(选修2－1P98A组T4改编)三棱锥S­ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC\f(\r(3),4)\f(\r(5),4)\f(\r(7),4)\f(3,4)[答案]D[解析]以A为原点，分别以AB，AS所在直线为x轴、z轴建立如下图的空间直角坐标系A­xyz，易知S(0,0,3)，B(2，0,0)，C(1，eq\r(3)，0)．设平面SBC的一个单位法向量为n＝(x，y，z)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BC,\s\up6(→))＝x，y，z·－1，\r(3)，0＝0，,n·\o(BS,\s\up6(→))＝x，y，z·－2，0，3＝0，))得n＝(eq\f(3,4)，eq\f(\r(3),4)，eq\f(1,2))，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,0,0)，∴当α为AB与平面SBC所成的角时，sinα＝|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|\o(AB,\s\up6(→))||n|)＝eq\f(\f(3,2),2×1)＝eq\f(3,4).8．(选修2－1P98A组T5改编)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC上的点，且A1E＝2EB，CF＝2AF，那么EF与平面A1B1[答案]平行[解析]取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c为基底，易得eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)(a－b＋c)，而eq\o(DB1,\s\up6(→))＝a－b＋c，即eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(DB1,\s\up6(→))，故EF∥DB1，且EF⊄平面A1B1CD，DB1⊂平面A1B1CD，所以EF∥平面A1B1CD.9．(选修2－1P97练习T3改编)如图，M、N分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB与BB1的中点．那么MC与D1N[答案]eq\f(2\r(5),15)[解析]建立如下图的空间直角坐标系D­xyz.设正方体棱长为2，那么M(2,1,0)，C(0,2,0)，N(2,2,1)，D1(0,0,2)，∴eq\o(MC,\s\up6(→))＝(－2,1,0)，eq\o(ND1,\s\up6(→))＝(－2，－2,1)．∴cos〈eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(ND1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(MC,\s\up6(→))·\o(ND1,\s\up6(→)),|\o(MC,\s\up6(→))|·|\o(ND1,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,\r(5)×3)＝eq\f(2\r(5),15)，即MC与D1N所成角的余弦值为eq\f(2\r(5),15).10．(选修2－1P88思考改编)A、B、C是不共线三点，且P是平面ABC上一点，对于空间任一点O，均有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(sinθ)eq\o(OB,\s\up6(→))＋(cosθ)eq\o(OC,\s\up6(→))，那么sin2θ＝________.[答案]－eq\f(5,9)[解析]由题意得A、B、C、P四点共面，那么eq\f(1,3)＋sinθ＋cosθ＝1，即sinθ＋cosθ＝eq\f(2,3)，∴(sinθ＋cosθ)2＝eq\f(4,9)，sin2θ＝－eq\f(5,9).11.(选修2－1P114B组T3改编)如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是CB与CD上的动点，满足D1E⊥B1①EF∥B1D1；②E、F分别是CB与CD的中点；③BE＝CF；④EFmin＝eq\r(2)；⑤三棱锥C1­CEF的体积的最大值为eq\f(1,3).判断上述结论的真假性．[解析]如下图，以eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))为正方向建立空间直角坐标系，设E(x,2,0)，F(0，y,0)，那么D1(0,0,2)，B1(2,2,2)，∴eq\o(B1F,\s\up6(→))＝(－2，y－2，－2)，eq\o(D1E,\s\up6(→))＝(x,2，－2)，又∵eq\o(B1F,\s\up6(→