福建省普通高中2021-2022学年高二1月学业水平合格性考试数学试题(含答案解析)

PAGE55页2021-20221试数学试题学: 姓名班级： 考号 一、单选题2,0,11．已知集合AB则B．2,0,1

BB（2,0,1,2 D．2,0,1,2某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）A．球 B．圆锥 C．圆台 D．圆3．直线y3x1的倾斜角是（ ）6

336函数ylog2的定义域是（ ）2A．,2

B．2,

C． D．R33 33 随机投掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为奇数的概率是（ ）16

13

12

23等差数列中，若a4，公差d2，则

（ ）n 1 5A．10 B．12 C．14 D．227．已知函数fxx22,x0,则ff（ ）A．4

2x,x0,B．2 C．1 D．12已知sin3，且为第一象限角，则cos（ ）545

45

34

34函数fx2x3x4的零点所在的区间是（ ）A． B．C． D．2,3函数ysin2x的最小正周期是（ ）2

B． C．2 D．ABCDABCDEF分别是棱BBBC的中点，以下说法1111 1 11正确的是（ ）AE 平面CCDD1 11AEBCCB1 11AE∥DF1 1AEDF1 1函数yx1的图象大致为（ ）A．A．B．C．D．为了得到函数ysinx1的图象，只需把函数ysinx的图象（ ） 3 3向右平移1个单位长度3向右平移1个单位长度3向左平移1个单位长度3向左平移1个单位长度3已知alog4,blog2,c

1测a,b,c的大小关系是（ ）3A．abcC．acb

3 2

B．cabD．cba下列各组向量中，可以用来表示向量a的是（ ）e1

,e2

1,2B．ee21C．e1

22,3，e2

4,6D．e1

e2

2,1二、填空题数列的前几项和为n

，且an 1

n1

2an

．3,ABC的内角B,C所对的边分别为a,b,c，且a A60,B45，则b3, ．已知向量a与b满足a5,b4，且ab10，则a与b的夹角等．一车间为了规定工时定额，需要确定加工某零件所需的时间，为此进行了多次验，收集了加工零件个数x与所用时间y（分钟）的相关数据，并利用最小二乘法求得回归方程y0.67x55．据此可预测加工200个零件所用的时间约分钟．某工厂要建造一个容积为9m3的长方体形无盖水池．如果该水池池底的一边长为1m，池底的造价为每平方米200元，池壁的造价为每平方米100元，那么要使水池总造价最低，水池的高应m．三、解答题在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重 合，终边交单位圆于P点3,4. 55 求sin的值；求tan的值． 4 41000100名学生进行测试，记录他们的成绩，并将数据分成6组：40,50,50,60, 若a0.002,b0.006，估计该校高三学生这项体育技能的平均成绩；100名学生中成绩分布在区间60,70860分的人数．如图，在三棱锥PABC中，平面PACABCACBCBC；PAPCBC2,BAC30，求三棱锥PABC.fxexexgxexex．2 2fx,gx中选择一个函数，判断其奇偶性，并证明你的结论；若函数hxfxagx有零点，求实数a的取值范围．已知圆CB，且圆心Cyx上．P是圆C外的点，过点P的直线l交圆C于M,N两点．求圆C的方程；若点P的坐标为0,3，求证：无论lPMPN恒为定值；对于（2）中的定值，使PMPN恒为该定值的点P是否唯一？若唯一，请给予证明；若不唯一，写出满足条件的点P的集合（不必证明．PAGE1111页参考答案：1．A【解析】【分析】根据集合交集的定义即可求解.【详解】解：因为集合AB所以A B故选：A.2．D【解析】【分析】由几何体的三视图可得该几何体为圆柱，从而即可得答案.【详解】解：由正视图和侧视图可知，该几何体不可能是球、圆锥、圆台，故选项A、B、C错误，因此该几何体为圆柱，即选项D正确，故选：D.3．B【解析】【分析】根据直线斜率等于倾斜角的正切值，从而求出倾斜角【详解】3因为：y3x1，所以：k=3由于：ktan，则tan3，即：=3【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系4．B【解析】【分析】根据真数大于零，即可解出．【详解】由3x20解得：x2．3故选：B．5．C【解析】【分析】分别求出点数向上的结果数和向上的点数为奇数的结果数，由古典概率可得答案.【详解】随机投掷一枚质地均匀的骰子，点数向上的结果有6种，其中向上的点数为奇数的有3种所以出现向上的点数为奇数的概率是316 2故选：C6．B【解析】【分析】根据等差数列的性质直接计算即可.【详解】a5

a4d44212；1故选：B.7．C【解析】【分析】根据分段函数的定义即可求解.【详解】解：因为fxx22,x0，所以f(1)1221，2x,x0所以ff1f1211，2故选：C.8．A【解析】【分析】根据三角函数值在各象限的符号以及平方关系即可解出．【详解】因为sin3，所以cos

1sin21sin25 5故选：A．9．B【解析】【分析】根据函数零点存在定理即可判断.【详解】fx2x3x4为Rf02030430，f12131410，所以函数fx2x3x4的零点所在的区间是0,1，故选：B.10．B【解析】【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式即可得出答案.【详解】解：由函数ysin2x，则最小正周期T2.2故选：B.11．A【解析】【分析】对A：由平面ABBA 平面CCDD，然后根据面面平行的性质定理即可判断；11 11对B：若AE平面BCCB，则AEBB，这与AE和BB不垂直相矛盾，从而即可判1 11 1 1 1 1断；对C、D：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，由AE与DF不是共线向量，且AEAEDFb20，从而即可判断.1 1【详解】解：对A：由长方体的性质有平面ABBA 平面CCDD，又AE平面ABBA，所以11 11 1 11AE 平面CCDD，故选项A正确；1 11BEBBABBBAEBB不垂直，1 11 1 1 1所以若AE平面BCCB，则AEBB，这与AE和BB不垂直相矛盾，故选项B错误；1 11 1 1 1 1对C、D：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，DAa,DCb,

c，则Aa,0,c，Ea,b,c，D0,0,c，Fa,b,c， 1 1 2

2 所以AE0,b,c，DFa,b,0， 1 2 1 2 因为AE与DF不是共线向量，且AEDFb20，1 1 1 1所以AE与DF不平行，且AE与DF不垂直，故选项C、D错误.1 1 1 1故选：A.12．A【解析】【分析】根据函数yx1的奇偶性以及值域即可解出．x【详解】因为yfxx1的定义域为x|x0，且fxfx，所以函数yx1为奇函x数，其图象关于原点对称，所以排除Cx0yx等号，所以排除B，D．故选：A．13．C【解析】【分析】由三角函数图象变换求解【详解】要得到函数ysinx1，

x2x1时取x3 3 需把函数ysinx的向左平移 个单位长度，再向上平移1个单位长度，3故选：C14．D【解析】【分析】运用对数的性质直接判断即可.【详解】alog3

41，0blog3

1 ，c

1log23

30，abc；故选：D.15．D【解析】【分析】在平面向量中能作为基底的充分必要条件是一组不平行的非零向量，按照这个条件逐项分析即可.【详解】对于A，e1

0,0是零向量，不可以；对于B，e1

e21

，是平行向量，不可以；对于C，e e1 22

，是平行向量，不可以；对于D，不存在实数使得ee

成立，是一组不平行的非零向量，可以；1 2故选：D.16．15【解析】【分析】按照等比数列写出通项公式和求和公式计算即可.【详解】an1

2an

，∴a是首项为1，公比为2的等比数列，nSa4 1

1q41124151q 122故答案为15.17．2【解析】【分析】直接运用正弦定理计算即可.【详解】由正弦定理得：a

22b ,basinB3sin4532 ；2故答案为：18．##3【解析】【分析】

sinA sinB sinA sin60322.2直接用数量积的定义求夹角即可.【详解】依题意，cos故答案为：.3

1，∴ 与

ab的夹角为 ；ab3a,baba,bab10ab542【解析】【分析】根据回归方程y0.67x55即可求解.【详解】解：因为回归方程y0.67x55，所以当x200时，y0.6720055189，200189故答案为：189.20．3【解析】【分析】写出底边长和高的关系式，运用基本不等式运算即可.【详解】由题意，设底面另一边长为x，高为y，则有xy9，总造价为S200x2100y2100xy200x200y18002200xy18003000x=y=3时等号成立，故答案为：3.21．(1)45(2)-7【解析】【分析】先求出sin和tan，在根据诱导公式和两角和正切公式计算即可.(1)4由题意，sin4,tan54，sinsin4；5 3 3 55(2) tantan 14tan4

4

37；4 1

tan 14 3综上，sinπ4,tan7.22．(1)80.4(2)20【解析】【分析】

45 4根据直方图所给出的数据求平均数即可；1a(1)由直方图可知：平均成绩x450.02550.02650.06750.4850.3950.280.4，即平均成绩为80.4；(2)由于在60,708人，b0.00860分的人数约为20.00110100020人；综上，平均成绩约为80.4分，低于60分的人数约为20人.23．(1)证明见解析(2)233【解析】【分析】根据面面垂直的性质定理可得BCPACBC；由三棱锥PABC的体积VPABC

13

BC即可求解.APCAPC证明：因为平面PAC平面ABC,ACBC，平面PAC 平面ABCAC，BC平面ABC，BCPACPAPACBC；(2)解：由（1）知BC平面PAC，所以BCAC，BC2,BAC30AC23

3 23PAPC2

cosAPC

22222222

1，21cos21cos2APC所以S 122

，32333，APC 2 2所以三棱锥PABC的体积VPABC

13

BC13223.APC3 3APC24．(1)fxfx为奇函数；若选gxgx.(2)1,1【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义即可求解；将原问题等价转化为方程a1

y1

2的值域即可得答案.(1)

e2x1

e2x1解：若选fx，则fx为奇函数，证明如下：因为fxexexfx且定义域为R，2所以fx为奇函数；若选gx，则gx为偶函数，证明如下：因为gxexexgx且定义域为R，所2以gx为偶函数；(2)解：因为函数hxfxagx有零点，所以方程exexaexex

0，即aexex

e2x11

2 有解，2 2 exex e2x1 e2x11 2因为e2x0，所以e2x11，0 1，所以11 1，e2x1 e2x1所以1a1，即实数a的取值范围1,1.25．(1)x2y25(2)4(3)Pa,ba,bR.【解析】【分析】ABy=-x，求得圆心和半径即可；PC方程联立，按照两点距离公式计算即可；PPC的方程联立，再用两点距离公式计算即可.(1)B两点的中点为33

，斜率为k

121，AB垂直平分线的斜率为1，22 垂直平分线的方程为：y=x，

AB2112225联立方程yx ，解得0圆心为0,，半径为r12225yx圆C的方程为：x2y25；(2)如图：55PN4MNPN355PN4

，PM3

，PM ；x2y2