《指数幂的拓展》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】

《指数幂的拓展》教学设计教学目标教学目标1．理解分数指数幂、实数指数幂的概念．2．经历从整数指数幂拓展到实数指数幂的过程，体会数学的发展过程．教学重难点教学重难点重点：理解分数指数幂的概念．难点：用有理数指数幂逼近无理数指数幂．教学过程教学过程新课导入同学们你们还记得初中我们学习过的整数指数幂的运算性质吗？整数指数幂及其运算性质：n个aan个aam∙an=am+n，其中，a，b是正数，m、n是正整数．二、新知探究问题1：薇甘菊的侵害面积S(单位：hm2)与年数t满足关系式S=S0∙1.057t，其中答案：经过15.5年后，根据关系式得到侵害面积S=设计意图：引导学生从实际背景中体会分数指数幂产生的必要性．追问：由刚才的S=答案：给定正数a和正整数m、n，（n>1，且m、n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn=am，则称b为a的mn次幂，记作b=例如：若b3=52，则b=523；若x5=2设计意图：帮助学生理解抽象的概念．问题2：类比负整数指数幂和正分数指数幂的定义，我们可以给出负分数指数幂的定义吗？答案：类似负整数指数幂的定义，可以定义负分数指数幂．给定正数a和正整数m、n（n>1，且m、n互素)定义a-至此，指数幂已经从整数指数幂拓展到有理数指数幂了．问题3：指数幂的范围还可以拓展到无理数指数幂吗?解：下面以102因为无理数2=1.414213⋯，所以1.4<1.41<1.414<1.4142<1.41421<⋯<上述不等式中，2左边的数称为2的不足近似值，2右边的数称为2的过剩近似值．把以10为底数、2的不足近似值为指数的各个幂，由小到大排成一列数101.4，101.41，101.414，101.4142同样，把以10为底数、2的过剩近似值为指数的各个幂，由大到小排成一列数101.5，101.42，101.415，101.4143借助计算器，可得下表从表可以看出，2的不足近似值和过剩近似值相同的位数越多，即2的近似值精确度越高，以其不足近似值和过剩近似值α为指数的幂10α会越来越趋近于同一个数，我们把这个数记为102，即102一般地，给定正数a，对于任意的正无理数α，可以用类似的方法定义一个实数aα．自然地，规定：a-α=1a应用举例例1：把下列各式中的正数b写成正分数指数幂的形式：（1）b5=20；（2）b4=25；（3）bn=3m(m、n∈N+)．（4）解：（1）b=2015；（2）b=25注意：①被开方式中字母取值为正数；②不是所有的根式形式都能改写成正分数指数幂的形式，例如，尽管有3-27=-3，但不可以写成-27③有时我们把正分数指数幂写成根式，即am例2计算：（1）432；（2）27-解：（1）设b=432，由定义，得b2=43（2）由负分数指数幂的定义，得27-13=12713，设b=（3）由负分数指数幂的定义，得116-32=111632，设b=1四、课堂练习1．把下列各式中的b(b>0)写成负分数指数幂的形式：（1）b-3=32；b-4=33；（3）2．计算：（1）8-13参考答案：1．（1）b=32-13；（2）b=2．(1)8（2）27五、课堂小结1.正分数指数幂：给定正数a和正整数m、n，（n>1，且m、n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn=am，则称b为a的mn次幂，记作b=2.负分数指数幂：给定正数a和正整