《不等式的性质》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】

《不等式的性质》教学设计教学目标教学目标1．掌握作差比较法比较实数的大小．2．掌握不等式的性质．3．能利用不等式的性质对不等式进行简单的变形．4．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较及证明不等式．5．体会数学抽象的过程，加强直观想象与数学运算能力素养的培养．教学重难点教学重难点重点：掌握作差比较法比较实数的大小；掌握不等式的性质．难点：能利用不等式的性质对不等式进行简单的变形．教学过程教学过程一、新课导入回顾：在现实世界和日常生活中，大量存在着不等关系．例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．请举例说明．答：图1该路段限速40km/h；图2该品种酸奶生牛乳含量超过80%；图3两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；图4斜边大于直角边．情境：民用住宅的窗户面积和地板面积，一般来讲，窗户面积比地板面积小,即有不等关系：窗户面积<地板面积．显然，窗户面积地板面积的值越大，住宅的采光条件越好．当同时增加相等的窗户面积m与地板面积m时，住宅的采光条件会得到改善，即有不等关系：答：理论上窗户面积地板面积的值越大，住宅的采光条件越好；当同时增加相等的窗户面积m与地板面积m时，住宅的采光条件会得到改善，说明二、新知探究探究一：实数大小比较的基本事实问题1：要证明情境中结论是否成立，需要用到不等式的性质．而要探究不等式的性质，先得用到关于两个实数大小的基本事实．数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系．结合数轴思考，可以得到什么样的结论呢？分析：当点𝐴在点𝐵的左边时当点𝐴在点𝐵的右边时实数大小比较的基本事实（1）基本事实：如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于0，那么a=b；如果a（2）这个基本事实可以表示为：a-比较𝑎，𝑏的大小等价于比较𝑎−𝑏与0的大小．问题2：除了两个实数大小关系的基本事实，实数里还有其它基本事实吗？分析：证明不等式性质，还要用到下面的基本事实正数大于0，也大于一切负数；负数小于0，也小于一切正数．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数．两个正数的和仍是正数，两个负数的和仍是负数．同号两数相乘，其积为正数；异号两数相乘，其积为负数．探究二：不等式性质问题3：我们得到关于两个实数大小的基本事实．还得到了实数的其它事实．应用这些事实，我们会得到哪些不等式的性质呢？性质1如果a>b，且b>c，那么a>c．分析要证a>c，只需证a-证明因为a>b，且b>c，所以a—b>0，b-从而a—c=a-b说明：性质1（即传递性），在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”．性质2如果a>b，那么a+c>b+c．分析要证a+c>b+c，只需证a+c-证明因为a>b，所以α—b>0，所以a+c-b+c=a—b>0，说明：性质2（即可加性）是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据．性质3（1）如果a>b，c>0，那么（2）如果a>b，c<0，那么分析（1）要证ac>bc，只需证证明（1）因为a>b，所以a-又因为c>0，所以(a-b)c>0，(2)因为𝑐<0，所以(𝑎−𝑏)𝑐<0，𝑎𝑐−𝑏𝑐<0，即𝑎𝑐<𝑏𝑐．说明：性质3（即可乘性）在使用中要特别注意研究“乘数的符号”．性质4如果a>b，c>d，那么a+c>证明因为a>b，所以a+又因为c>d，所以b+c>b+d．由不等式的性质l，得a+c>说明：性质4（即同向可加性），即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”．性质5（1）如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd；（2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac<bd证明（1）因为a>b，c>0，所以ac>bc．又因为c>d,b>由不等式的性质1，得ac>bd．（2）因为𝑎>𝑏，𝑐<0，所以𝑎𝑐<𝑏𝑐．又因为𝑐<𝑑，𝑏>0，所以𝑏𝑐<𝑏𝑑．由不等式的性质1，得𝑎𝑐<𝑏𝑑．特殊地，当a>b>0时，an>b性质6当a>b>0时，na>nb，其中证明假设na当na<nb时,可得(n当na=nb时,可得(n所以na⩽n说明：性质5和性质6（即同向同正可乘性，可乘方性）．即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式．三、应用举例例1试比较(x+1)(x+5)与（x+解因为(x+1)=所以x+1x+5例2试证明情境中的结论:窗户面积地板面积分析设窗户面积为𝑎，地板面积为𝑏，需证问题转化为：若0<𝑎<𝑏，𝑚>0，则a证明a+m因为a<b，所以又b>0，因此ab思考：生活中还有哪些实例可以用上面的不等式解释．答：加糖越多，糖水口感越甜；加消毒液越多，刺激性气味越浓烈.浓度模型的问题都可以用该不等式解释.方法技巧：作差法比较大小的步骤作差作差变形判号两个实数（或代数式）的大小，可以根据它们的差的符号进行判断（1）进行因式分解转化为多个因式相乘；（2）通过配方转化为几个非负实数之和.注意题目本身提供的字母的取值范围定论根据符号判断大小例3（1）已知a>b，ab>0，求证：1（2）已知a>b，c<d，求证：证明（1）因为ab>0，所以1ab又因为a>b，所以由不等式的性质3，得a·1ab>（2）因为c<d，所以又因为a>b，所以由不等式的性质4，得a+(-c)>b+(-四、课堂练习1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）若a>b，则ac（2）同向不等式相加与相乘的条件是一致的．（）（3）设a，b∈R，且a>b，则a（4）若a+c>b+d，则a>b，c>d．（）2．设P=2aa-3．下列命题中，正确的是（）A．若a>b，则ac2>bc2C．若a>|b|，则a3参考答案：1．（1）×（2）×（3）√（4）×解析：（1）由不等式的性质，ac2>bc2（2）相乘需要看是否a>（3）符合不等式的性质5推论．（4）取a=4，c=5，b=62．P⩾Q解析：因为P-Q=3．C解析：根据不等式的性质结合适当反例，注意判断即可．若a>b，则ac2>bc2，故A错误；若a=2，b=0，c=2，d=0，满足a>b，c>d但a五、课堂小结1．两个实数大小的基本事实如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于0，那么a=b；如果a-2．不等式的性质性质1如果a>b，且b>c，那么a>c性质2如果a>b，那么a+c>b+c．性质3（1）如果a>b，c>0，那么（2