高中数学高考09第二章 函数概念与基本初等函数 2 6　对数与对数函数

§2.6对数与对数函数最新考纲考情考向分析1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，eq\f(1,2)的对数函数的图象．3.体会对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为选择、填空题，中低档难度.1．对数的概念一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即eq\x(b＝logaNa>0，且a≠1.)2．对数logaN(a>0，a≠1)具有下列性质(1)N>0；(2)loga1＝0；(3)logaa＝.3．对数运算法则(1)loga(MN)＝.(2)logaeq\f(M,N)＝.(3)logaMα＝.4．对数的重要公式(1)对数恒等式：＝N.(2)换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab).5．对数函数的图象与性质y＝logaxa>10<a<1图象定义域值域(2)R性质(3)过定点，即x＝1时，y＝0(4)当x>1时，；当0<x<1时，(5)当x>1时，；当0<x<1时，(6)在(0，＋∞)上是(7)在(0，＋∞)上是6.反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线对称．概念方法微思考1．根据对数换底公式：①说出logab，logba的关系？②化简.2．如图给出4个对数函数的图象．比较a，b，c，d与1的大小关系．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.()(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．()(3)函数y＝lneq\f(1＋x,1－x)与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．()(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函数图象只在第一、四象限．()题组二教材改编2．log29·log34·log45·log52＝________.答案23．已知a＝，b＝log2eq\f(1,3)，c＝，则a，b，c的大小关系为________．4．函数y＝的定义域是______．题组三易错自纠5．已知b>0，log5b＝a，lgb＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是()A．d＝acB．a＝cdC．c＝adD．d＝a＋c6．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()A．a>1，c>1 B．a>1,0<c<1C．0<a<1，c>1 D．0<a<1,0<c<17．若logaeq\f(3,4)<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是____________________．题型一对数的运算1．设2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，则m等于()A.eq\r(10)B．10C．20D．1002．计算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,4)－lg25))÷＝________.3．计算：eq\f(1－log632＋log62·log618,log64)＝________.4．设函数f(x)＝3x＋9x，则f(log32)＝________.题型二对数函数的图象及应用例1(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的大致图象为()(2)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4(3)当0<x≤eq\f(1,2)时，4x<logax，则a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C．(1，eq\r(2)) D．(eq\r(2)，2)引申探究若本例(3)变为方程4x＝logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有解，则实数a的取值范围为__________．跟踪训练1(1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是()(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3x，x≤0，))且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是____________．题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数值的大小例2设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则()A．a>b>c B．b>c>aC．a>c>b D．c>b>a命题点2解对数方程、不等式例3(1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________．(2)已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，则实数x的取值范围是____________．命题点3对数函数性质的综合应用例4(1)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，4) B．(－4,4]C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞) D．[－4,4)(2)函数f(x)＝log2eq\r(x)·的最小值为______．(3)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1x＋4－2a，x<1，,1＋log2x，x≥1，))若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是____________．跟踪训练2(1)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则()A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0(2)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________．比较指数式、对数式的大小比较大小问题是每年高考的必考内容之一，基本思路是：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.例(1)已知a＝log23＋log2eq\r(3)，b＝log29－log2eq\r(3)，c＝log32，则a，b，c的大小关系是()A．a＝b<c B．a＝b>cC．a<b<c D．a>b>c(2)(2018·全国Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则()A．a＋b<ab<0 B．ab<a＋b<0C．a＋b<0<ab D．ab<0<a＋b(3)设a＝log3π，b＝log2eq\r(3)，c＝log3eq\r(2)，则a，b，c的大小关系是________．(4)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2，则下列关系中不可能成立的是________．(填序号)(5)已知函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|log2x|，若a＝f(－3)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系是________．1．log29·log34等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．2D．42．(2018·宁夏银川一中模拟)设a＝0.50.4，b＝log0.40.3，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<cB．c<b<aC．c<a<bD．b<c<a3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3－x＋1，x≤0，))则f(f(1))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))的值是()A．5B．3C．－1D.eq\f(7,2)4．函数f(x)＝eq\f(xloga|x|,|x|)(0<a<1)的大致图象是()5．已知函数f(x)＝lneq\f(ex,e－x)，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2019)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2e,2019)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2018e,2019)))＝1009(a＋b)，则a2＋b2的最小值为()A．1B．2C．3D．46．若函数f(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(3,2)x))(a>0，a≠1)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为()A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)C．(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))7．已知a>b>1.若logab＋logba＝eq\f(5,2)，ab＝ba，则a＝______，b＝________.8．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，,1－log2x，x>1，))则满足f(x)≤2的x的取值范围是__________．9．设实数a，b是关于x的方程|lgx|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是________．10．已知函数f(x)＝lneq\f(x,1－x)，若f(a)＋f(b)＝0，且0<a<b<1，则ab的取值范围是________．11．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2.(1)求实数a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))上的最大值．12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2.13．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与eq\f(M,N)最接近的是()(参考数据：lg3≈0.48)A．1033B．1053C．1073D．109314．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c