高中数学高考16第一部分 板块二 专题五 解析几何 第2讲　圆锥曲线的方程与性质(小题)

第2讲圆锥曲线的方程与性质(小题)板块二

专题五解析几何NEIRONGSUOYIN内容索引热点分类突破真题押题精练1PARTONE热点一圆锥曲线的定义与标准方程热点二圆锥曲线的几何性质热点三圆锥曲线与圆、直线的综合问题热点一圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|).(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.例1

(1)(2019·梅州质检)已知双曲线C：

＝1(a>0，b>0)一个焦点为F(2,0)，且F到双曲线C的渐近线的距离为1，则双曲线C的方程为__________.解析

根据题意，双曲线C的中心为原点，点F(2,0)是双曲线C的一个焦点，即双曲线的焦点在x轴上，且c＝2，解得b＝1，则a2＝c2－b2＝3，(2)(2019·南充模拟)P是双曲线

＝1的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为√设内切圆与x轴的切点是点H，与PF1，PF2的切点分别为M，N，由圆的切线长定理知，|PM|＝|PN|，|F1M|＝|F1H|，|F2N|＝|F2H|，设内切圆的圆心横坐标为x，即点H的横坐标为x，跟踪演练1

(1)(2019·银川质检)已知P是抛物线y2＝4x上一动点，定点A(0,2)，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则|PA|＋|PQ|的最小值是____.2解析

由抛物线y2＝4x可知，其焦点坐标为F(1,0)，准线x＝－1，设点P到其准线的距离为d，根据抛物线的定义，可得d＝|PF|，则点P到y轴的距离为|PQ|＝|PF|－1，则|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|－1≥|FA|－1＝2(当且仅当A，P，F三点共线时取等号)，所以|PA|＋|PQ|的最小值为2.(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为A.y2＝9x

B.y2＝6xC.y2＝3x

D.y2＝√解析

如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设准线交x轴于点G.设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义，得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，|AC|＝2|AE|，∴3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3.热点二圆锥曲线的几何性质1.椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系√解析

设|F1B|＝k(k>0)，依题意可得|AF1|＝3k，|AB|＝4k，∴|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a－3k＝0，a＝3k，∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，∴|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形.√√√解析

设双曲线的左焦点F(－c,0)，则过F点且斜率为1的直线方程为y＝x＋c，热点三圆锥曲线与圆、直线的综合问题圆锥曲线与圆、直线的综合问题的注意点：(1)注意使用圆锥曲线的定义；(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组；(3)注意用好平面几何性质；(4)涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解.√解析由题意可得|OA|＝a，|AF2|＝c－a，又因点P在双曲线的右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，因为|PF1|＝2|PF2|，所以|PF2|＝2a；√(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)>0，化为a2＋b2>1.∵OP⊥OQ，化为a2＋b2＝2a2b2.√解析因为点P在以线段F1A为直径的圆上，所以AP⊥PF1，又因为F2B∥AP，所以F2B⊥BF1，又因为|F2B|＝|BF1|，所以△F1F2B是等腰直角三角形，因为|OB|＝b，|OF2|＝c，所以b＝c，|F2B|2＝c2＋b2＝a2＝2c2，(2)(2019·内江、眉山等六市模拟)设点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，Q是C的准线上的动点，直线l过Q且与OQ(O为坐标原点)垂直，则点P到l的距离的最小值的取值范围是A.(0,1) B.(0,1]C.[0,1]

D.(0,2]√解析抛物线C的准线方程是x＝－1，若点Q的坐标为(－1,0)，此时直线l的方程为x＝－1，显然点P到直线l的距离的最小值是1，若点Q的坐标为(－1，t)，其中t≠0，设与直线l平行且与抛物线C相切的直线方程为x－ty＋m＝0，代入抛物线方程，得y2－4ty＋4m＝0，所以Δ＝16t2－16m＝0，解得m＝t2，所以与直线l平行且与抛物线C相切的直线方程为x－ty＋t2＝0，所以点P到直线l的距离的最小值为直线x－ty＋t2＋1＝0与直线x－ty＋t2＝0的距离，因为t2>0，所以0<d<1，综合两种情况可知点P到直线l的距离的最小值的取值范围是(0,1].2PARTTWO押题预测真题体验真题体验√√2.(2018·全国Ⅱ，文，11)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为解析在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，√将x2＋y2＝a2记为②式，押题预测√解析由双曲线的渐近线与直线x－2y＋1＝0平行，2.已知抛物线C：y2＝2x，过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点(A，B均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F到直线AB距离的最大值为A.2 B.3C. D.4√当直线AB的斜率不存在时，2t1＋2t2＝0，此时t1＝－t2，即x－(t1＋t2)y－2