2018-2019学年人教A版数学选修4-4同步指导学案：第二讲 参数方程 一 第一课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精一曲线的参数方程第1课时参数方程的概念及圆的参数方程学习目标1.理解曲线参数方程的有关概念。2。掌握圆的参数方程。3。能够根据圆的参数方程解决最值问题．知识点一参数方程的概念思考在生活中，两个陌生的人通过第三方建立联系，那么对于曲线上点的坐标（x，y)，直接描述它们之间的关系比较困难时,可以怎么办呢?答案可以引入参数,作为x,y联系的桥梁．梳理参数方程的概念(1）参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t(θ,φ，…）的函数eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt,））①并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y）都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,t叫做参数，相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫普通方程．（2)参数的意义参数是联系变数x，y的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．特别提醒：普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式，参数方程可以与普通方程进行互化．知识点二圆的参数方程思考如图，角θ的终边与单位圆交于一点P，P的坐标如何表示？答案P(cosθ，sinθ)，由任意角的三角函数的定义即x＝cosθ，y＝sinθ.梳理圆的参数方程圆心和半径圆的普通方程圆的参数方程圆心O（0,0），半径rx2＋y2＝r2eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝rcosθ,，y＝rsinθ））(θ为参数）圆心C（a,b),半径r（x－a）2＋(y－b)2＝r2eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝rcosθ＋a，,y＝rsinθ＋b））(θ为参数）类型一参数方程及应用例1已知曲线C的参数方程是eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝3t,,y＝2t2＋1）)（t为参数）．（1）判断点M1(0，1），M2（5,4）与曲线C的位置关系；（2）已知点M3(6,a)在曲线C上，求a的值．解(1)把点M1的坐标（0，1）代入方程组，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(0＝3t，，1＝2t2＋1.)）解得t＝0。∴点M1在曲线C上．同理可知，点M2不在曲线C上．(2）∵点M3（6，a)在曲线C上,∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（6＝3t，,a＝2t2＋1，））解得t＝2,a＝9.∴a＝9。反思与感悟参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断,与平面直角坐标普通方程下的判断方法是一致的．跟踪训练1在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程是eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝－2＋2sinθ)）(θ为参数)．(1）求曲线C上的点Q(－eq\r(3)，－3)对应的参数θ的值；(2）若点P(m,－1）在曲线C上，求m的值．解（1)把点Q的坐标（－eq\r(3)，－3)代入参数方程，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－\r（3)＝2cosθ，，－3＝－2＋2sinθ，)）即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(cosθ＝－\f（\r(3)，2)，,sinθ＝－\f(1，2)，)）解得θ＝eq\f(7π,6）＋2kπ(k∈Z），故曲线上的点Q对应的参数θ的值是eq\f(7π，6）＋2kπ（k∈Z)．（2)把点P的坐标（m，－1）代入参数方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2cosθ，,－1＝－2＋2sinθ，）)解得sinθ＝eq\f(1,2），故cosθ＝±eq\f(\r（3）,2），即m＝±eq\r（3),即所求m的值是±eq\r（3)。类型二求曲线的参数方程例2如图，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰长为a，顶点B，A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程．解方法一设点P（x,y)，过P点作x轴的垂线交x轴于点Q.如图所示，则Rt△OAB≌Rt△QBP.取OB＝t，t为参数(0<t〈a）．∵|OA｜＝eq\r(a2－t2），∴｜BQ｜＝eq\r（a2－t2)。又∵|PQ｜＝｜OB｜＝t，∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋\r(a2－t2），，y＝t))（0<t〈a)．方法二设点P（x，y)，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，如图所示．取∠QBP＝θ,θ为参数eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0〈θ〈\f（π，2））)，则∠ABO＝eq\f(π,2）－θ,在Rt△OAB中，|OB|＝acoseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，2)－θ）)＝asinθ。在Rt△QBP中，|BQ｜＝acosθ，｜PQ｜＝asinθ。∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝asinθ＋cosθ,，y＝asinθ）)（θ为参数,0〈θ〈eq\f（π,2))．反思与感悟求曲线参数方程的主要步骤（1）画出轨迹草图，设M（x，y)是轨迹上任意一点的坐标．（2)选择适当的参数,参数的选择要考虑以下两点①曲线上每一点的坐标x,y与参数的关系比较明显，容易列出方程；②x，y的值可以由参数惟一确定．(3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．跟踪训练2长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动，eq\o（AB,\s\up6(→）)＝3eq\o（AP，\s\up6(→）)，点P的轨迹为曲线C。（1)以直线AB的倾斜角α为参数，求曲线C的参数方程；(2)求点P到点D（0，－2)距离的最大值．解(1）设P（x，y），由题意,得x＝eq\f(2,3）|AB｜cos(π－α)＝－2cosα，y＝eq\f(1，3）|AB|sin（π－α）＝sinα。所以曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－2cosα，，y＝sinα.)）(α为参数,eq\f（π，2）〈α<π）（2)由(1）得|PD｜2＝(－2cosα)2＋(sinα＋2）2＝4cos2α＋sin2α＋4sinα＋4＝－3sin2α＋4sinα＋8＝－3eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(sinα－\f（2,3)）)2＋eq\f(28，3)。当sinα＝eq\f（2,3）时，｜PD|取得最大值eq\f（2\r（21)，3）。类型三圆的参数方程及应用例3如图,圆O的半径为2，P是圆O上的动点,Q(4,0）在x轴上．M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，（1)求点M的轨迹的参数方程，并判断轨迹所表示的图形；（2）若(x，y)是M轨迹上的点，求x＋2y的取值范围．解（1)设点M(x，y)，令∠xOP＝θ，则圆O的参数方程为eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，，y＝2sinθ）)（θ为参数），∴点P的坐标为（2cosθ，2sinθ)．又Q（4，0),∴x＝eq\f（2cosθ＋4，2）＝cosθ＋2，y＝eq\f(2sinθ＋0,2）＝sinθ.∴点M的轨迹的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝cosθ＋2，,y＝sinθ））（θ为参数)．由参数方程知，点M的轨迹是以（2,0）为圆心,1为半径的圆．(2)x＋2y＝cosθ＋2＋2sinθ＝eq\r(5)sin(θ＋φ)＋2，tanφ＝eq\f(1，2）。∵－1≤sin（θ＋φ）≤1，∴－eq\r（5）＋2≤x＋2y≤eq\r（5）＋2。即x＋2y的取值范围是［－eq\r(5)＋2,eq\r（5)＋2］．反思与感悟(1）圆的参数方程中的参数是角，所以圆上的点的坐标是三角函数．(2）运用圆的参数方程，可以将相关问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．跟踪训练3已知实数x,y满足(x－1)2＋（y－1）2＝9,求x2＋y2的最大值和最小值．解由已知，可把点（x，y）视为圆（x－1)2＋(y－1)2＝9上的点，设eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1＋3cosθ，,y＝1＋3sinθ))(θ为参数）．则x2＋y2＝(1＋3cosθ）2＋（1＋3sinθ）2＝11＋6（sinθ＋cosθ）＝11＋6eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)）).∵－1≤sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))）≤1，∴11－6eq\r（2）≤x2＋y2≤11＋6eq\r(2).∴x2＋y2的最大值为11＋6eq\r（2），最小值为11－6eq\r(2).1．下列方程：①eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝m，，y＝m)）（m为参数)；②eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝m，，y＝n)）（m，n为参数）；③eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1，，y＝2；)）④x＋y＝0中，参数方程的个数为（）A．1B．2C．3D．4答案A2．曲线eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－1＋2cosθ，,y＝3＋2sinθ）)（θ为参数）围成图形的面积等于(）A．πB．2πC．3πD．4π答案D3．圆C：eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝3＋4cosθ，，y＝－2＋4sinθ))(θ为参数）的圆心坐标为________,和圆C关于直线x－y＝0对称的圆C′的普通方程是________________________________________________________．答案(3，－2）（x＋2)2＋（y－3）2＝16（或x2＋y2＋4x－6y－3＝0)解析将参数方程化为标准方程，得（x－3）2＋（y＋2）2＝16，故圆心坐标为(3,－2）．点P(3，－2）关于直线y＝x的对称点为P′(－2,3)，则圆C关于直线y＝x对称的圆C′的普通方程为(x＋2）2＋（y－3）2＝16（或x2＋y2＋4x－6y－3＝0)．4．已知eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝t＋1,,y＝t2)）（t为参数），若y＝1,则x＝________。答案0或2解析∵y＝t2＝1，∴t＝±1.∴x＝1＋1＝2或x＝－1＋1＝0。5．若P（2，－1)为圆O′：eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1＋5cosθ,，y＝5sinθ)）(0≤θ〈2π)的弦的中点，则该弦所在直线l的方程为________．答案x－y－3＝0解析圆心O′（1，0），∴kO′P＝－1，即直线l的斜率为1。∴直线l的方程为x－y－3＝0.1．参数方程(1）参数的作用:参数是间接地建立横、纵坐标x，y之间的关系的中间变量,起到了桥梁的作用．（2）参数方程是通过变数反映坐标变量x与y之间的间接联系．2．求曲线参数方程的步骤第一步,建系，设M（x，y)是轨迹上任意一点；第二步，选参数，比如选参数t；第三步,建立x，y与参数间的关系，即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝ft,,y＝gt。））一、选择题1．若点P(4，a）在曲线eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\f（t，2），,y＝2\r（t）)）（t为参数)上,则a等于(）A．4B．4eq\r(2)C．8D．1答案B解析根据题意，将点P的坐标代入曲线方程中，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝\f（t，2），，a＝2\r（t）））⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（t＝8,，a＝4\r(2）。))2．下列的点在曲线eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝sin2θ,，y＝cosθ＋sinθ))（θ为参数）上的是(）A.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2），－\r（2）)） B.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（3，4），\f（1,2）)）C．(－2,eq\r（3)) D．（1，eq\r（3）)答案B解析由参数方程eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝sin2θ＝2sinθcosθ，,y＝cosθ＋sinθ)）得y2＝1＋x，只有B项中的点符合上式．3．已知O为原点,参数方程eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ)）（θ为参数)上的任意一点为A，则|OA｜等于()A．1B．2C．3D．4答案A解析｜OA｜＝eq\r（x2＋y2)＝eq\r（cos2θ＋sin2θ）＝1，故选A.4．参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝t＋\f(1，t），，y＝2））（t为参数）表示的曲线是（）A．两条直线 B．一条射线C．两条射线 D．双曲线答案C解析当t＞0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2，，y＝2））是一条射线；当t＜0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－2，，y＝2)）也是一条射线,故选C。5．圆心为点（－1，2)，半径为5的圆的参数方程为()A.eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝5－cosθ，,y＝5＋2sinθ)）(0≤θ〈2π)B.eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2＋5cosθ，，y＝－1＋5sinθ））（0≤θ<2π）C。eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－1＋5cosθ，，y＝2＋5sinθ））（0≤θ〈π)D。eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－1＋5cosθ，,y＝2＋5sinθ)）（0≤θ〈2π）答案D解析圆心为点C(a，b),半径为r的圆的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosθ，,y＝b＋rsinθ))(θ∈［0，2π)）．故圆心为点（－1,2），半径为5的圆的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－1＋5cosθ,，y＝2＋5sinθ）)（0≤θ〈2π）．6．设曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2＋3cosθ,，y＝－1＋3sinθ）)（θ为参数),直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l的距离为eq\f（7\r（10）,10）的点的个数为（）A．1 B．2C．3 D．4答案B解析由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2＋3cosθ，,y＝－1＋3sinθ,）)得(x－2）2＋（y＋1)2＝9.曲线C表示以点（2，－1)为圆心,以3为半径的圆，则圆心C（2，－1）到直线l的距离d＝eq\f(7，\r（10））＝eq\f(7\r(10),10)〈3，所以直线与圆相交,所以过圆心（2,－1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d<eq\f（7\r(10),10)，故满足题意的点有2个．二、填空题7．若点（－3,－3eq\r（3)）在曲线eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝6cosθ，，y＝6sinθ）)（θ为参数)上，则θ＝________________。答案eq\f（4π，3）＋2kπ，k∈Z解析将点（－3，－3eq\r（3））代入参数方程eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6cosθ，,y＝6sinθ））（θ为参数)，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（cosθ＝－\f(1，2），，sinθ＝－\f(\r(3),2)，)）解得θ＝eq\f（4π，3)＋2kπ，k∈Z。8．已知圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝cosα，，y＝1＋sinα）)(α为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＝1,则直线l与圆C的交点的直角坐标为________．答案（－1,1）,(1,1)解析由圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝cosα，,y＝1＋sinα，））可求得其在直角坐标系下的方程为x2＋（y－1）2＝1，由直线l的极坐标方程ρsinθ＝1，可求得其在直角坐标系下的方程为y＝1，由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝1,,x2＋y－12＝1，）)可解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝±1,，y＝1.）)所以直线l与圆C的交点的直角坐标为（－1，1)，(1,1）．9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5cosθ－1,,y＝5sinθ＋2））（θ为参数)和直线l:3x＋4y－10＝0，则直线l与圆C相交所得的弦长等于________．答案4eq\r(6）解析由圆C的参数方程eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝5cosθ－1，,y＝5sinθ＋2)）（θ为参数），可得圆C的圆心为(－1，2），半径为5，又直线l的方程为3x＋4y－10＝0,∴圆心到直线l的距离d＝eq\f（|－3＋8－10|,5)＝1,∴直线l与圆C相交所得的弦长为2eq\r（52－1)＝4eq\r(6)。10．若x,y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，则2x＋y的最小值为________．答案－2eq\r（5）解析令x－1＝2cosθ，y＋2＝2sinθ，则有x＝2cosθ＋1，y＝2sinθ－2，故2x＋y＝4cosθ＋2＋2sinθ－2＝4cosθ＋2sinθ＝2eq\r(5)sin(θ＋φ）,tanφ＝2。∴－2eq\r（5）≤2x＋y≤2eq\r(5）.即2x＋y的最小值为－2eq\r（5）。三、解答题11．已知直线y＝x与曲线eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1＋2cosα，,y＝2＋2sinα)）(α为参数）相交于两点A和B，求弦长|AB｜。解由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1＋2cosα，,y＝2＋2sinα，）)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝2cosα，，y－2＝2sinα，）)∴(x－1)2＋(y－2）2＝4，其圆心为(1，2),半径r＝2,则圆心(1,2）到直线y＝x的距离d＝eq\f(｜1－2｜,\r（12＋－12）)＝eq\f(\r（2),2）.∴｜AB|＝2eq\r(r2－d2）＝2eq\r（22－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r(2),2）))2）＝eq\r(14)。12．已知曲线C：eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，，y＝－1＋sinθ））（θ为参数）,如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点,求实数a的取值范围．解∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝cosθ，，y＝－1＋sinθ，))∴x2＋（y＋1）2＝1.∵圆与直线有公共点，则d＝eq\f(｜0－1＋a|,\r(2））≤1,解得1－eq\r(2)≤a≤1＋eq\r（2）。即实数a的取值范围是[1－eq\r（2)，1＋eq\r(2)]．13。如图所示，OA是圆C的直径，且|OA|＝2a,射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA,PB∥OA,试求P点的轨迹方程．解设点P（x,y)是轨迹上任意一点,取∠DOQ＝θ，由PQ⊥OA,PB∥OA,得x＝OD＝｜OQ｜cosθ＝|OA|cos2θ＝2acos2θ，y＝AB＝｜OA｜tanθ＝2atanθ。所以P点的轨迹的参数方程为eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2acos2θ,，y＝2a