2018-2019学年人教B版数学选修1-2同步学案：第二章 2.1.2 演绎推理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.1.2演绎推理学习目标1.理解演绎推理的意义。2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．知识点一演绎推理的含义思考分析下面几个推理,找出它们的共同点．（1)所有的金属都能导电,铀是金属，所以铀能够导电；（2）一切奇数都不能被2整除，(2100＋1）是奇数,所以（2100＋1)不能被2整除．答案都是由真命题，按照一定的逻辑规则推出正确的结论．梳理演绎推理的含义(1）定义：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做演绎推理．(2）特征：当前提为真时，结论必然为真．知识点二演绎推理规则思考所有的金属都能导电,铜是金属，所以铜能导电,这个推理可以分为几段？每一段分别是什么?答案分为三段．大前提：所有的金属都能导电；小前提：铜是金属;结论：铜能导电．梳理演绎推理的规则一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断所以，S是P1．演绎推理的结论一定正确．(×）2．在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理,小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况做出的判断．(√）3．大前提和小前提都正确,推理形式也正确，则所得结论是正确的．(√)类型一三种演绎推理的形式例1选择合适的演绎推理规则写出下列推理过程．(1)函数y＝sinx（x∈R)是周期函数；（2)当k〉1时，eq\r（k）－eq\r(k－1）>eq\r(k＋1)－eq\r(k)；(3)若n∈Z，求证n2－n为偶数．解(1)三段论推理:三角函数是周期函数,大前提y＝sinx(x∈R）是三角函数，小前提∴y＝sinx(x∈R）是周期函数．结论（2）传递性关系推理：当k〉1时，eq\r（k)－eq\r(k－1）＝eq\f(1，\r（k）＋\r（k－1))〉eq\f(1，2\r(k)）>eq\f(1，\r(k）＋\r(k＋1）)＝eq\r（k＋1)－eq\r(k）.(3）完全归纳推理:∵n2－n＝n（n－1)，∴当n为偶数时，n2－n为偶数，当n为奇数时，n－1为偶数，n2－n为偶数,∴当n∈Z时，n2－n为偶数．反思与感悟对于某一问题的证明中选择哪一种推理规则有时是不唯一的，在证明等量关系、不等关系(放缩法）或立体几何中的平行关系时，常选用传递性关系推理;在涉及含参变量的证明题，需要分类讨论时，常选用完全归纳推理；根据定理证题,往往用三段论推理．跟踪训练1选择合适的推理规则写出下列推理过程．（1)75是奇数；(2）平面α，β,已知直线l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m。解(1)三段论推理：一切奇数都不能被2整除．大前提75不能被2整除．小前提75是奇数．结论(2)传递性关系推理：如图,在平面α内任取一点P(P∉m)，∵l∥α,∴P∉l,则l与点P确定一平面与α相交，设交线为a,则a∥l，同理,在β内任取一点Q(Q∉m），l与点Q确定一平面与β交于b，则l∥b，从而a∥b。由P∈a，P∉m，∴a⊄β，而b⊂β，∴a∥β.又a⊂α,α∩β＝m，∴a∥m,∴l∥m。类型二三段论的应用eq\x(命题角度1用三段论证明几何问题）例2如图，D,E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证:ED＝AF,写出三段论形式的演绎推理．证明因为同位角相等，两直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A,小前提所以FD∥AE。结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA,且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF。结论反思与感悟(1）用“三段论”证明命题的格式××××××大前提××××××小前提××××××结论(2）用“三段论”证明命题的步骤①理清证明命题的一般思路．②找出每一个结论得出的原因．③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．跟踪训练2已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示,求证：EF∥平面BCD。证明因为三角形的中位线平行于底边，大前提点E,F分别是AB，AD的中点，小前提所以EF∥BD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线,则直线与此平面平行,大前提EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，小前提所以EF∥平面BCD。结论eq\x（命题角度2用三段论解决代数问题)例3设函数f(x）＝eq\f(ex，x2＋ax＋a)，其中a为实数，若f(x）的定义域为R，求实数a的取值范围．解若函数的定义域为R，则函数对任意实数恒有意义,大前提因为f（x）的定义域为R，小前提所以x2＋ax＋a≠0恒成立，结论所以Δ＝a2－4a〈0,所以0〈a<4.即当0〈a<4时,f（x）的定义域为R。引申探究若本例的条件不变，求f(x)的单调增区间．解∵f′(x）＝eq\f（xx＋a－2ex,x2＋ax＋a2),由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2－a。∵0〈a<4，∴当0〈a〈2时,2－a〉0。∴在（－∞，0）和(2－a，＋∞)上,f′（x)〉0。∴f(x)的单调增区间为（－∞，0)，（2－a，＋∞）．当a＝2时，f′(x）≥0恒成立，∴f(x）的单调增区间为（－∞，＋∞)．当2〈a<4时，2－a〈0，∴在（－∞，2－a)和(0，＋∞）上，f′(x）>0,∴f（x)的单调增区间为(－∞,2－a），(0，＋∞)．综上所述，当0〈a〈2时，f（x）的单调增区间为(－∞，0),(2－a，＋∞);当a＝2时，f（x)的单调增区间为（－∞，＋∞）；当2<a〈4时，f（x）的单调增区间为（－∞，2－a)，（0，＋∞）．反思与感悟（1）很多代数问题不论是解答题，还是证明题都蕴含着演绎推理．(2)在解题过程中常省略大前提．跟踪训练3已知函数f(x)＝ax＋eq\f(x－2，x＋1）(a>1），证明：函数f（x)在（－1，＋∞）上为增函数．证明f（x）＝ax＋eq\f（x＋1－3,x＋1）＝ax＋1－eq\f（3,x＋1).所以f′（x）＝axlna＋eq\f（3,x＋12）。因为x>－1，所以（x＋1）2>0，所以eq\f（3，x＋12）〉0.又a>1，所以lna>0，ax〉0，所以axlna>0，所以f′（x)>0.于是，f（x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)在(－1，＋∞）上是增函数。1．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．两条直线平行，同旁内角互补,如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D．在数列｛an}中，a1＝1,an＝eq\f（1,2)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)））（n≥2），由此归纳出｛an}的通项公式答案A解析A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理．2．指数函数y＝ax(a>1）是R上的增函数，y＝2|x|是指数函数,所以y＝2｜x|是R上的增函数．以上推理(）A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．正确考点“三段论”及其应用题点小前提或推理形式错误导致结论错误答案B解析此推理形式正确,但是,函数y＝2｜x｜不是指数函数，所以小前提错误,故选B。3．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的"，其中的“小前提”是()A．①B．②C．①②D．③答案D4．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论,则大前提:___________；小前提：______________________________________；结论：__________________________________________。答案二次函数的图象是一条抛物线函数y＝x2＋x＋1是二次函数函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线5．设m为实数，利用三段论证明方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．证明因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac〉0,那么方程有两个相异实根，大前提方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式Δ＝（－2m)2－4(m－1）＝4m2－4m＋4＝（2m－1）2＋3〉0，小前提所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．结论1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．2．合情推理是由部分到整体,由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．3．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.一、选择题1．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中,则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是(）A．类比推理 B．归纳推理C．演绎推理 D．一次三段论答案C2．下列表述正确的是()①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③ B．②③④C．②④⑤ D．①③⑤答案D解析根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（)A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但推理形式错误D．使用了“三段论”，但小前提错误答案C解析由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．4．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P）,某奇数（S）是9的倍数（M)，故某奇数(S）是3的倍数(P）．”上述推理是()A．小前提错 B．结论错C．正确的 D．大前提错答案C解析由三段论推理概念知推理正确．5．在证明f(x）＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x）＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x）＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是(）A．①④ B．②④C．①③ D．②③考点“三段论"及其应用题点三段论的结构答案A解析根据三段论特点,过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x）＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x）＝2x＋1为增函数，故①④正确．6．下面几种推理中是演绎推理的是(）A．因为y＝2x是指数函数,所以函数y＝2x经过定点（0，1）B．猜想数列eq\f（1，1×2)，eq\f（1，2×3)，eq\f(1，3×4),…的通项公式为an＝eq\f（1,nn＋1）（n∈N＋)C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2,猜想出椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2，b2）＝1的面积为πabD．由平面直角坐标系中圆的方程为（x－a）2＋(y－b）2＝r2，推测空间直角坐标系中，球的方程为（x－a)2＋（y－b）2＋(z－c)2＝r2答案A7．自主招生联盟成形于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟,“卓越"联盟和“京派”联盟．在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况时,得到如下结果：a．报考“北约”联盟的学生都没报考“华约”联盟;b．报考“华约”联盟的学生也报考了“京派”联盟；c．报考“卓越”联盟的学生都没报考“京派”联盟；d．不报考“卓越”联盟的学生就报考“华约"联盟．根据上述调查结果，下列结论错误的是（）A．没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生B．报考“华约”和“京派”联盟的学生一样多C．报考“北约”联盟的学生也报考了“卓越"联盟D．报考“京派”联盟的学生也报考了“北约”联盟答案D解析令集合U表示调查的全体学生．集合E表示报考“北约”联盟的学生，集合F表示报考“华约”联盟的学生，集合G表示报考“京派”联盟的学生，集合H表示报考“卓越"联盟的学生,由题意得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(E∩F＝∅，,F⊆G，，H∩G＝∅，,∁UH＝F。))A中，F∩H＝∅，结论正确；B中,F＝G，结论正确;C中,E⊆H，结论正确．8．在R上定义运算⊗:x⊗y＝x(1－y)．若不等式（x－a）⊗（x＋a）〈1对任意实数x都成立，则（)A．－1〈a<1 B．0〈a〈2C．－eq\f(1，2)〈a〈eq\f(3,2) D．－eq\f（3，2）〈a<eq\f(1,2)答案C解析由题意知，（x－a）⊗（x＋a）＝(x－a）[1－(x＋a）]＝－x2＋x＋a2－a，∴－x2＋x＋a2－a<1,即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x都成立，则Δ＝1－4(－a2＋a＋1）<0，∴4a2－4a－3<0，解得－eq\f(1,2)〈a<eq\f（3，2）。二、填空题9．在求函数y＝eq\r(log2x－2)的定义域时，第一步推理中大前提是当eq\r(a）有意义时，a≥0；小前提是eq\r（log2x－2）有意义；结论是________________________________________．答案y＝eq\r(log2x－2）的定义域是[4，＋∞)解析由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4。10．有一段演绎推理:大前提：整数是自然数;小前提：－3是整数；结论：－3是自然数．这个推理显然错误，则错误的原因是__________错误．(填“大前提”“小前提”“结论”)答案大前提11．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半，所以所有三角形的面积都等于底乘高的一半，以上推理运用的推理规则是________．答案完全归纳推理解析“钝角三角形、直角三角形、锐角三角形”这一分类方法包含了所有的三角形，若这三类三角形的面积都等于底乘高的一半，就是所有的三角形的面积都等于底乘高的一半，故其推理规则为完全归纳推理．12．若f(a＋b)＝f（a）f(b）(a，b∈N＋),且f（1)＝2，则eq\f（f2,f1）＋eq\f(f4,f3)＋…＋eq\f(f2018,f2017）＝________。答案2018解析利用三段论．∵f(a＋b)＝f(a）f（b）（a，b∈N＋），大前提令b＝1，则eq\f(fa＋1，fa）＝f（1)＝2，小前提∴eq\f(f2，f1)＝eq\f(f4，f3）＝…＝eq\f(f2018,f2017)＝2,结论∴原式＝＝2018。

三、解答题13．如图所示，在锐角三角形ABC中,AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足,用三段论形式证明AB的中点M到D,E的距离相等．证明有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提在△ABD中,AD⊥BD,即∠ADB＝90°，小前提所以△ABD是直角三角形．结论同理，△AEB也是直角三角形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，大前提因为DM是Rt△ABD斜边上的中线，小前提所以DM＝eq\f(1，2）AB.结论同理，EM＝eq\f（1，2）AB。等于同一个量的两个量相等，大前提DM和EM都等于eq\f（1，2)AB,小前提所以DM＝EM，即AB的中点M到D,E的距离相等．结论四、探究与拓展14．对于平面上的点集Ω,如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上