2023届高考数学压轴小题23 概率中的应用问题含答案

42/422023届高考数学压轴小题23概率中的应用问题概率中的应用问题概率中的应用问题【方法综述】概率与统计的问题在高考中的地位相对稳定，而由于概率与统计具有较强的现实应用背景，在近几年的高考中，概率与统计问题在高考中所占的地位有向压轴题变化的趋势。概率与统计的热点问题主要表现在一是：以数学文化和时代发展为背景设置概率统计问题，二是概率统计与函数、方程、不等式及数列等相结合的问题。此类问题的解决，需要考生由较强的阅读理解能力，体现考生的数学建模、数据分析、数学运算及逻辑推理等核心素养。先就此类问题进行分析、归类，以帮助考生提升应试能力。【解答策略】类型一以数学文化和时代发展为背景的概率问题【例1】5．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A． B． C． D．【来源】湖南省衡阳市第一中学2019-2020学年高三上学期7月第一次月考理科数学试题【答案】D【解析】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为,分4步进行解析：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域有种选择，则不同的涂色方案有种，其中，区域涂色不相同的情况有：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有2种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有1种颜色可选，则区域有种选择，不同的涂色方案有种，区域涂色不相同的概率为,故选D．【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用，考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.【例2】（2020全国模拟）冠状病毒是一个大型病毒家族，己知可引起感冒以及中东呼吸综合征（）和严重急性呼吸综合征（）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n次.方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.（1）若，试求p关于k的函数关系式；（2）若p与干扰素计量相关，其中（）是不同的正实数，满足且（）都有成立.（i）求证：数列等比数列；（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值【答案】（1），（，且）.（2）（i）见解析（ii）最大值为4.【解析】（1）解：由已知，，，得，的所有可能取值为1，，∴，.∴.若，则，，∴，∴.∴p关于k的函数关系式为，（，且）.（2）（i）∵证明：当时，，∴，令，则，∵，∴下面证明对任意的正整数n，.①当，2时，显然成立；②假设对任意的时，，下面证明时，；由题意，得，∴，∴，，∴，.∴或（负值舍去）.∴成立.∴由①②可知，为等比数列，.（ii）解：由（i）知，，，∴，得，∴.设（），，∴当时，，即在上单调减.又，，∴；，.∴.∴k的最大值为4.【举一反三】1．（2020·宁夏高考模拟（理））根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家基本事件总数：甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：，本题正确选项：2.（2020·河北高三期末（理））我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节有六个节气，如夏季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的六幅彩绘，在制签及抽签公平的前提下，甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务的概率为_________.【答案】【解析】将“甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务”这一事件可以分为两类：第一类：甲抽到夏季六幅彩绘任务的事件数为：，第二类：甲抽不到夏季六幅彩绘任务的事件数为：,总的事件数为：，故所求概率为：.故答案为：.3．（2020•湖北模拟）据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公，共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个（m为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是【答案】【解析】【分析】根据等差数列前n项和公式得出首项与公差m的关系，列举得出所有的分配方案，从而得出结论．解：由题意可知等级从低到高的5个诸侯所分的橘子个数组成等差为m的等差数列，设“男”分的橘子个数为a1，其前n项和为Sn，则S5＝5a1+＝80，即a1+2m＝16，且a1，m均为正整数，若a1＝2，则m＝7，此时a5＝30，若a1＝4，m＝6，此时a5＝28，若a1＝6，m＝5，此时a5＝26，若a1＝8，m＝4，此时a5＝24，若a1＝10，m＝3，此时a5＝22，若a1＝12，m＝2，此时a5＝20，若a1＝14，m＝1，此时a5＝18，∴“公”恰好分得30个橘子的概率为．类型二概率与函数、方程、不等式及数列等相结合的问题【例3】（2020•浙江模拟）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p，随机变量X表示最终的比赛局数，若0＜p＜，则（）A．E（X）＝ B．E（X）＞ C．D（X）＞ D．D（X）＜【答案】【解析】X的可能取值为2，3，P（X＝2）＝p2+（1﹣p）2＝2p2﹣2p+1，P（X＝3）＝＝2p﹣2p2，E（X）＝2×（2p2﹣2p+1）+3（2p﹣2p2）＝﹣2p2+2p+2，E（X2）＝4×（2P2﹣2p+1）+9×（2p﹣2p2）＝﹣10p2+10p+4，D（X）＝E（X2）﹣E2（X）＝﹣10p2+10p+4﹣（﹣2p2+2p+2）2＝﹣4p4+8p3﹣6p2+2p，因为E（X）以p＝为对称轴，开口向下，所以E（X）在p∈（0，）时，E（X）单调递增，所以E（X）≤＝，排除A，B．D′（X）＝﹣16p3+24p2﹣12p+2，D″（X）＝﹣12（2p﹣1）2≤0，所以D′（X）在p∈（0，1）上单调递减，又当p＝时，D′（X）＝＞0，所以当p∈（0，1）时，D′（X）＞0，所以p∈（0，1）时D（X）单调递增，所以D（X）＜﹣4×＝．故选：D．【例4】（2020•开福区模拟）设一个正三棱柱ABC﹣DEF，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为P10，则P10为（）A． B． C． D．【答案】【解析】设蚂蚁爬n次仍在上底面的概率为Pn，那么它前一步只有两种情况：A：如果本来就在上底面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率是Pn﹣1；B：如果是上一步在下底面，则第n﹣1步不再上底面的概率是1﹣Pn﹣1，如果爬上来，其概率应是（1﹣Pn﹣1）．A，B事件互斥，因此，Pn＝Pn﹣1+（1﹣Pn﹣1）；整理得，Pn＝Pn﹣1+；即Pn﹣＝（Pn﹣1﹣）；构造等比数列{Pn﹣}，公比为，首项为P1﹣＝﹣＝，可得Pn＝（）n+．因此第10次仍然在上底面的概率P10＝（）10+．故选：D．【举一反三】1．（2020•越城区模拟）随机变量ξ有四个不同的取值，且其分布列如下：ξ2sinαsinβ3cosαsinβ3sinαcosβcosαcosβPt则E（ξ）的最大值为（）A．﹣1 B．﹣ C． D．1【答案】C【解析】【分析】依题意，t＝1﹣×＝，所以E（ξ）＝（2sinαsinβ+3cosαsinβ+3sinαcosβ）+cosαcosβ＝（cosαsinβ+sinαcosβ）+（sinαsinβ+cosαcosβ）＝sin（α+β）+cos（α﹣β），根据α，β的情况讨论即可得到E（ξ）的最大值．解：依题意，t＝1﹣×＝，所以E（ξ）＝（2sinαsinβ+3cosαsinβ+3sinαcosβ）+cosαcosβ＝（cosαsinβ+sinαcosβ）+（sinαsinβ+cosαcosβ）＝sin（α+β）+cos（α﹣β），所以当α+β＝，α﹣β＝2kπ，（k∈z）时，即（k∈Z）时，E（ξ）取得最大值＝1．故选：D．2．（2020•天心区模拟）已知函数f（x）＝，若，则方程[f（x）]2﹣af（x）+b＝0有五个不同根的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】画出函数f（x）的图象，结合图象求得由方程[f（x）]2﹣af（x）+b＝0有五个不同的实数根时f（x）的取值范围；再构造函数，利用二次函数的图象与性质求出关于a、b的不等式组表示的平面区域，计算平面区域面积比即可．解：画出函数f（x）＝的图象，如图1所示；令f（x）＝t，由方程[f（x）]2﹣af（x）+b＝0有五个不同的实数根，即方程t2﹣at+b＝0有两个不同的实数根t1、t2，由f（x）的图象知，t1＜0，且0＜t2＜1；设g（t）＝t2﹣at+b，由二次函数g（t）的图象与性质可得，又不等式组表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，且满足条件的区域如阴影部分，其面积2﹣＝，如图2所示；则所求的概率值为P＝＝．故选：B．【强化训练】1．（2020·安徽高考模拟（理））2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”.现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】名同学去旅游的所有情况有：种恰有一个地方未被选中共有：种情况恰有一个地方未被选中的概率：本题正确选项：2.设函数，若是从三个数中任取一个，是从五个数中任取一个，那么恒成立的概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设事件为“从所给数中任取一个”，则，所求事件为事件，要计算所包含的基本事件个数，则需要确定的关系，从恒成立的不等式入手，恒成立，只需，而，当时，，所以当时，，所以，得到关系后即可选出符合条件的：共8个，当时，，所以符合条件，综上可得，所以3．（2020·湖北高考模拟（理））生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种情况，由间接法得到满足条件的情况有当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种，由间接法得到满足条件的情况有共有：种情况，不考虑限制因素，总数有种，故满足条件的事件的概率为：，故答案为：C.4．（2020•富阳区模拟）已知数列{an}满足a1＝0，且对任意n∈N*，an+1等概率地取an+1或an﹣1，设an的值为随机变量ξn，则（）A．P（ξ3＝2）＝ B．E（ξ3）＝1 C．P（ξ5＝0）＜P（ξ5＝2） D．P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0）【答案】D【解析】依题意a2＝1或a2＝﹣1，且P（a2＝1）＝P（a2＝﹣1）＝，ξ3＝a3的可能取值为a2+1＝2，a2﹣1＝0，a2+1＝0，a2﹣1＝﹣2，P（ξ3＝2）＝×＝，P（ξ3＝0）＝2×＝，P（ξ3＝﹣2）＝＝，E（ξ3）＝2×+0×+（﹣2）×＝0，由此排除A和B；ξ4＝a4的可能取值为a3+1＝3，a3﹣1＝1，a3+1＝﹣1，a3﹣1＝﹣3，P（ξ4＝3）＝P（ξ3＝2）＝，P（ξ4＝1）＝＝，P（ξ4＝﹣1）＝＝，P（ξ4＝﹣3）＝P（ξ3＝﹣2）＝．．ξ5＝a5的可能取值为4，2，0，﹣2，﹣4．P（ξ5＝0）＝＝，P（ξ5＝2）＝＝，所以P（ξ5＝0）＞P（ξ5＝2），排除C．因为P（ξ5＝0）＝，P（ξ3＝0）＝，所以P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0），故选：D．5．（2019·四川成都七中高考模拟（理））如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列.已知数列的项数为4，记事件：集合，事件：为“局部等差”数列，则条件概率（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，事件共有=120个基本事件，事件“局部等差”数列共有以下24个基本事件，（1）其中含1，2，3的局部等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个，含3，2，1的局部等差数列的同理也有3个，共6个.含3，4，5的和含5，4，3的与上述（1）相同，也有6个.含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2个，含4，3，2的同理也有2个.含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个，含5，3，1的也有上述4个，共24个，=.故选C.6．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中为测速仪测得被测物体的横向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁处，发出的激光波长为（），某次检验中可测频移范围为（）至（），该高铁以运行速度（至）经过时，可测量的概率为（）A． B． C． D．【来源】江苏省南京市2020-2021学年高三上学期1月供题数学试题【答案】A【解析】根据题意及图形可得：当时，，当时，，该高铁以运行速度（至）经过时频移范围为至，其区间长度为，因为某次检验中可测频移范围为（）至（）其区间长度为，所以可测量的概率为.故选：A.7．新冠疫情期间，网上购物成为主流．因保管不善，五个快递ABCDE上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率是（）A． B． C． D．【来源】浙江省2020届高三下学期6月新高考进阶数学试题【答案】C【解析】5个快递送到5个地方有种方法，全送错的方法数：先分步：第一步快递送错有4种方法，第二步考虑所送位置对应的快递，假设送到丙地，第二步考虑快递，对分类，第一类送到甲地，则剩下要均送错有2种可能（丁戊乙，戊乙丁），第二类送到乙丁戊中的一个地方，有3种可能，如送到丁地，剩下的只有甲乙戊三地可送，全送错有3种可能（甲戊乙，戊甲乙，戊乙甲），∴总的方法数为，所求概率为．故选：C．8．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为，口香糖为，进行四次取物，基本事件总数为：种事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：烟、糖、糖、糖：种糖、烟、糖、糖：种糖、糖、烟、糖：种包含的基本事件个数为：54，所以，其概率为故选：D9．某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是A． B． C． D．【答案】C【详解】因为三辆车皆不相邻的情况有，所以三辆车皆不相邻的概率为,因此至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是选C.10．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________.【答案】【解析】根据“钟型验证码”中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是.当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.所以该验证码的中间数字是7的概率为.11．我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节有六个节气，如夏季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的六幅彩绘，在制签及抽签公平的前提下，甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务的概率为_________.【来源】2020届河北省张家口市高三上学期期末教学质量监测数学（理）试题【答案】【解析】将“甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务”这一事件可以分为两类：第一类：甲抽到夏季六幅彩绘任务的事件数为：，第二类：甲抽不到夏季六幅彩绘任务的事件数为：,总的事件数为：，故所求概率为：.故答案为：.12．欧阳修《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌滴沥之，自钱孔入，而钱不湿．已知铜钱是直径为4cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴整体落在铜钱内)，则油滴整体(油滴是直径为0.2cm的球)正好落入孔中的概率是_____．(不作近似计算)【来源】云南省峨山彝族自治县第一中学2021届高三三模数学（文）试题【答案】【解析】随机向铜钱上滴一滴油，且油滴整体落在铜钱内，则油滴球心在以圆面圆心为圆心，半径为2－0.1＝1.9的圆内，即若油滴整体正好落入孔中，则油滴在与正方形孔边沿距离为0.1的正方形内，即，所以概率是.13．甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为，则的取值范围是____．【答案】【解析】由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况：当，其出现的概率为，当，其出现的概率为，当，其出现的概率为，当其出现的概率为，∵甲获胜的概率为，即的概率为，则满足整理得.14．某动漫推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该的款经典动漫角色玩偶中的一个.小明购买了个盲盒，则他能集齐个不同动漫角色的概率是______________.【来源】安徽省马鞍山市2021届高三下学期第三次教学质量监测理科数学试题【答案】【解析】个盲盒中，每个盲盒中放入的动漫角色有种选择，共有种不同的情况，当集齐个不同动漫角色时，其中有一种动漫角色有个，另外两种动漫角色各个，共有种，因此，所求概率为.15．某根据上年度业绩筛选出业绩出色的，，，四人，欲从此4人中选择1人晋升该某部门经理一职，现进入最后一个环节：，，，四人每人有1票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何一人的概率相同，则最终仅一人获得最高得票的概率为___________.【来源】江苏省南通市如皋市2021届高三下学期4月第二次适应性考试数学试题【答案】【解析】由题意可知，每个人投给其他任何一人的概率相同，则最终仅一人获得最高得票有如下两种情况：①若得3票，其概率为；②若得2票，其概率为，所以最终仅一人获得最高得票的概率为..16．2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”(“三药”是指金花清感颗粒､连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤､化湿败毒方和宜肺败毒方)发挥了重要的作用.甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲､乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是___________.【来源】黑龙江省大庆铁人中学2021届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试试题【答案】【解析】将三药分别记为，，，三方分别记为，，，选择一药一方的基本事件如表所示，共有9个组合，则两名患者选择药方完全不同的情况有(种)，两名患者可选择的药方共有(种)，所以.故答案为：.17．某校甲、乙、丙三名教师每天使用1号录播教室上课的概率分别是0.6，0.6，0.8，这三名教师是否使用1号录播教室相互独立，则某天这三名教师中至少有一人使用1号录播教室上课的概率是______．【来源】2021年全国高中名校名师原创预测卷理科数学（第二模拟）【答案】0.968【解析】设甲、乙、丙三名教师某天使用1号录播教室上课分别为事件，，，则，，，则所求事件的概率．故答案为：．18．（2020雁塔区校级模拟）为了解某次测验成绩，在全年级随机地抽查了100名学生的成绩，得到频率分布直方图（如图），由于某种原因使部分数据丢失，但知道后5组的学生人数成等比数列，设90分以下人数为38，最大频率为b，则b的值为．【答案】0.32【解析】由抽查了100名学生的成绩，90分以下人数为38，则90分以上人数为100﹣38＝62人，为后五组的累积频数由于后5组的学生人数成等比数列，设第四组的频数为a，公比为q（0＜q＜1），则S5＝＝a（q4+q3+q2+q+1）由各组人数均为整数，故＜62，故q＝，a＝32，则b＝＝0.32，故答案为：0.3219．（2020•宁波校级模拟）某保险新开设了一项保险业务，规定该份保单在一年内如果事件E发生，则该要赔偿a元，假若在一年内E发生的概率为p，为使受益的期望值不低于a的，应要求该份保单的顾客缴纳的保险金最少为元．【答案】（p+0.1）a【解析】用随机变量ξ表示此项业务的收益额，x表求顾客缴纳的保险金，则ξ的所有可能取值为x，x﹣a，且P（ξ＝x）＝1﹣p，P（ξ＝x﹣a）＝p，∴Eξ＝x（1﹣p）+（x﹣a）p＝x﹣ap，∵受益的期望值不低于a的，∴x﹣ap≥，∴x≥（p+0.1）a（元）．故答案为：（p+0.1）a．20．（2020·江苏高三（理））乒乓球比赛,三局二胜制.任一局甲胜的概率是,甲赢得比赛的概率是,则的最大值为_____.【答案】【解析】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：（甲净胜二局），（前二局甲一胜一负，第三局甲胜）．因为与互斥，所以甲胜概率为则设即答案为.，注意到，则函数在和单调递减，在上单调递增，故函数在处取得极大值，也是最大值，最大值为即答案为.统计中的应用问题统计中的应用问题【方法综述】概率与统计的问题在高考中的地位相对稳定，而由于概率与统计具有较强的现实应用背景，在近几年的高考中，概率与统计问题在高考中所占的地位有向压轴题变化的趋势。概率与统计的热点问题主要表现在一是：以数学文化和时代发展为背景设置概率统计问题，二是概率统计与函数、方程、不等式及数列等相结合的问题。此类问题的解决，需要考生由较强的阅读理解能力，体现考生的数学建模、数据分析、数学运算及逻辑推理等核心素养。先就此类问题进行分析、归类，以帮助考生提升应试能力。【解答策略】 类型一以时代发展为背景的统计问题【例1】高三模拟考试常常划定的总分各批次分数线，通过一定的数学模型，确定不同学科在一本、二本等各批次“学科上线有双分”的分数线．考生总成绩达到总分各批次分数线的称为总分上线；考生某一单科成绩达到及学科上线有双分的称为单科上线．学科对总分的贡献或匹配程度评价有很大的意义．利用“学科对总分上线贡献率”和“学科有效分上线命中率”这两项评价指标，来反映各学科的单科成绩对考生总分上线的贡献与匹配程度，这对有效安排备考复习计划具有十分重要的意义．某州一诊考试划定总分一本线为465分，数学一本线为104分，某班一小组的总分和数学成绩如表，则该小组“数学学科对总分上线贡献率、有效分上线命中率”分别是（）（结果保留到小数点后一位有效数字）学生编号1234567891011121314151617181920数学成绩120117122101100112991111021008998928494113971048585总分成绩495494493485483483482480479475471470463457454453448448441440A．41.7%，71.4% B．60%，71.4%C．41.7%，35% D．60%，35%【来源】四川省凉山州2021届高三二模数学（文科）试题【答案】A【解析】由图表知双过线人数为5人，单过线人数为7人，总分过线人数为12人；“学科对总分上线贡献率”为，“学科有效分上线命中率”为，故选：A．【举一反三】上饶市婺源县被誉为“茶乡”，婺源茶业千年不衰，新时代更是方兴未艾，其中由农业部监制的婺源大山顶特供茶“擂鼓峰茶尤为出名，为了解每壶“擂鼓峰”茶中所放茶叶量克与食客的满意率的关系，抽样得一组数据如下表：(克)24568(%)30507060根据表中的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的值为（）A．39.5 B．40 C．43.5 D．45【来源】押第9题概率统计小题-备战2021年高考数学临考题号押题（浙江专用）【答案】B【解析】由表中数据，计算可得，，因为回归直线方程过样本中心点，所以有，解得，故选：B.类型二统计图表问题【例2】为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平.某市抽调三所中学进行中学生体育达标测试，现简称为校、校、校.现对本次测试进行调查统计，得到测试成绩排在前200名学生层次分布的饼状图、校前200名学生的分布条形图，则下列结论不一定正确的是（）A．测试成绩前200名学生中校人数超过校人数的2倍B．测试成绩前100名学生中校人数超过一半以上C．测试成绩前151—200名学生中校人数最多33人D．测试成绩前51—100名学生中校人数多于校人数【来源】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三6月复课线下考查数学（理）试题【答案】D【解析】前200名学生中校人数人，校人数人，,故A一定正确；前100名学生中校人数约为人，超过半数的50人，故B一定正确；成绩前150名以内的学生中校人数约为人，校人数最多全在这个范围，有人,所以校至少有人，又∵成绩前200名学生中校人数为40人，所以校至多有=33人测试成绩前151—200名之间，故C一定正确；测试成绩前51—100名学生中校人数约为25人，这200名学生中校学生总数为人，有可能也有25人在51—100名之间，故D不一定正确，故选：D.【例3】空气质量指数是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表:指数值空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在校内测得10月1日—20日指数的数据并绘成折线图如下:下列叙述正确的是（）A．这天中指数值的中位数略大于B．这天中的空气质量为优的天数占C．10月4日到10月11日，空气质量越来越好D．总体来说，10月中旬的空气质量比上旬的空气质量好【来源】押第3题概率与统计-备战2021年高考数学（文）临考题号押题（全国卷2）【答案】B【解析】由折线图知以上有个，以下有个，中位数是两边两个数的均值，观察比的数离远点，因此两者均值大于但小于150,A错;空气质量为优的有天，占，B正确;10月4日到10月11日，空气质量越来越差，C错;10月上旬的空气质量指数值在以下的多，中旬的空气质量指数值在以上的多，上旬的空气质量比中旬的空气质量好，D错.故选：B.【举一反三】1．2020年，面对新冠肺炎疫情的严重冲击，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，我国能源领域深入贯彻“四个革命､一个合作”能源安全新战略，全面落实中央“六保”工作部署，战疫情促生产､增供应保安全，能源生产稳中有增，进口较快增长，能源供应能力和水平不断巩固提升，为统筹推进疫情防控和经济社会发展提供了有力保障.下图是2020年1~12月分品种能源生产当月同比增长率情况变化图.下列说法错误的是（）A．4~7月，原煤及天然气当月同比增长率呈下降趋势B．9~12月，原煤及天然气当月同比增长率总体呈上升趋势C．7月份品种能源生产当月同比增长率最高的是原油加工量同比增长率D．2020年分品种能源生产当月同比增长率波动最小的是发电量同比增长率【来源】押第3题统计图表-备战2021年高考数学（文）临考题号押题（全国卷1）【答案】D【解析】观察题中所给的折线图，可知：4~7月，原煤及天然气当月同比增长率是下降的，呈下降趋势，所以A项正确；9~12月，虽然天然气11月比10月偏低，但总体趋势仍为上升的，所以原煤及天然气当月同比增长率总体呈上升趋势，所以B正确；图中7月份，只有原煤加工上升，其他品种能源均比6月份低，所以C项正确；由图易知，相比发电量，原油的曲线波动幅度更小，所以D项错误；故选：D.2．如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，若由直方图得到的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）分别为，则（）A． B． C． D．【来源】文科数学-2021年高三3月大联考考后强化卷（新课标Ⅱ卷）【答案】B【解析】由频率分布直方图可知：众数；中位数应落在70-80区间内，则有：，解得：；平均数=4.5+8.25+9.75+22.5+21.25+4.75=71所以故选：B【点睛】从频率分布直方图可以估计出的几个数据：(1)众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标；(2)平均数：频率分布直方图每组数值的中间值乘以频率后相加；(3)中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．【强化训练】1．采购经理指数（），是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用.如图为国家统计局所做的我国2018年月份的采购经理指数（）的折线图，若指数为，则说明与上月比较无变化，根据此图，下列结论正确的个数为（）①2018年1至12月的指数逐月减少；②2018年1至12月的指数的最大值出现在2018年5月份；③2018年1至12月的指数的中位数为；④2018年1月至3月的月指数相对6月至8月，波动性更大.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】1月到5月PMI指数有增有减，所以①错误；2018年5月的指数的最大，所以②正确；根据折线图，，所以③正确；1月至3月的月指数极差为，6月至8月的月指数极差为，故1月至3月的月指数波动性更大，所以④正确；故选：C2．汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶的速度.设d表示停车距离，表示反应距离，表示制动距离，则，如图是根据美国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图.由图中数据得到如表的表格，根据表格中的数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型.可选择模型①：模型②：，模型③：，模型④：（其中v为汽车速度，a，b为待定系数）进行拟合，如果根据序号3和序号7两组数据分别求出四个函数模型的解析式，并通过计算时的停车距离和实验数据比较，则拟合效果最好的函数模型是（）A． B．C． D．【来源】黑龙江省大庆市第四中学2020届高三上学期第二次检测数学（文）试题【答案】B【解析】若选择模型①，则，解得，，故，当时，停车距离d的预测值为，若选择模型②，则，解得，，故，当时，停车距离d的预测值为，若选择模型③，则，解得，，故，当时，停车距离d的预测值为，若选择模型④，则，解得，，故，当时，停车距离d的预测值为，由实验数据可知当时，停车距离为，故模型②的预测值更接近，故模型②拟合效果最好.故选：B.3．一组数据的平均数为，现定义这组数据的平均差.下图是甲、乙两组数据的频率分布折线图根据折线图，判断甲、乙两组数据的平均差的大小关系是（）A． B． C． D．无法确定【来源】百强名校2021届高三5月模拟联考文科数学试题（A卷）【答案】C【解析】由给定的平均差公式可知：数据越集中于平均值附近，平均差越小.甲乙两图的纵坐标表示的为频率/组距，即指数据落在此处的概率，甲图中，不同组距区间的概率相差不大，即指数据较为均匀的分布在各区间，而乙图数据较为集中的分布在乙图最高处指代的区间，其他区间分布的比较少，故乙图平均差比较小.故选：C4．如图是2020年2月15日至3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图.则下列说法不正确的是（）A．武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低B．2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数C．2020年2月15日到3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天比最少的一天多1549人D．2020年2月19日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天【答案】C【解析】由折线图数据解析得知ABD正确，1690-111=1579故C不正确;故选：C5．给出下列说法：①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位.其中说法正确的是（）A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．②④【答案】B【解析】对于①中，回归直线恒过样本点的中心，但不一定过一个样本点，所以不正确；对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1，所以是正确的；对于③中，根据方差的计算公式，可得将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差是不变的，所以是正确的；对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，所以是正确的.故选：B.6．下图是从2020年2月14日至2020年4月19日共66天的新冠肺炎中国/海外新增确诊趋势图，根据该图，下列结论中错误的是（）A．从2020年2月14日起中国已经基本控制住国内的新冠肺炎疫情B．从2020年3月13日至2020年4月3日海外新冠肺炎疫情快速恶化C．这66天海外每天新增新冠肺炎确诊病例数的中位数在区间内D．海外新增新冠肺炎确诊病例数最多的一天突破10万例【来源】福建省漳州市2020届高三高考数学（文科）三模试题【答案】C【解析】A.根据折线图从2020年2月14日起，中国新增确诊人数几乎为0，所以A正确.B．根据折线图可以看出从2020年3月13日至2020年4月3日海外新增确诊人数在小范围内有增有减，但总体上新增确诊人数在快速的增加，所以B正确.C.由折线图可得这66天海外每天新增新冠肺炎确诊病例数的中位数大约出现在3月18日左右，其值小于，故C不正确.D.由折线图可得在4月3日到4日和4月15日到16日海外新增新冠肺炎确诊病例数都超过10万例，所以D正确.故选：C7．某班男女生各10名同学最近一周平均每天的锻炼时间（单位：分钟）用茎叶图记录如下：假设每名同学最近一周平均每天的锻炼时间是互相独立的.①男生每天锻炼的时间差别小，女生每天锻炼的时间差别大；②从平均值解析，男生每天锻炼的时间比女生多；③男生平均每天锻炼时间的标准差大于女生平均每天锻炼时间的标准差；④从10个男生中任选一人，平均每天的锻炼时间超过65分钟的概率比同样条件下女生锻炼时间超过65分钟的概率大.其中符合茎叶图所给数据的结论是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】C【解析】由茎叶图知，男生每天锻炼时间差别小，女生差别大，①正确.男生平均每天锻炼时间超过65分钟的概率，女生平均每天锻炼时间超过65分钟的概率，，因此④正确.设男生、女生两组数据的平均数分别为，，标准差分别为，.，知，②正确.又根据茎叶图，男生锻炼时间较集中，女生锻炼时间较分散，∴，③错误，因此符合茎叶图所给数据的结论是①②④.故答案为：①②④8．下面两个图是2020年6月25日由国家卫健委发布的全国疫情累计趋势图，每图下面横向标注日期，纵向标注累计数量.现存确诊为存量数据，计算方法为：累计确诊数-累计死亡数-累计治愈数.则下列对新冠肺炎叙述错误的是（）A．自1月20日以来一个月内，全国累计确诊病例属于快速增长时期B．自4月份以来，全国累计确诊病例增速缓慢，疫情扩散势头基本控制C．自6月16日至24日以来，全国每日现存确诊病例平缓增加D．自6月16日至24日以来，全国每日现存确诊病例逐步减少【来源】内蒙古自治区赤峰市赤峰二中2020-2021学年高三上学期第四次月考数学（文）数学试题【答案】D【解析】由图一可知A，B均正确.由图二数据计算得16的现存确诊病例为，同理可计算18、20、22、24日现存确诊分别为346，383，441，473，故选：D9．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现重庆市某家庭2019年的总收入与2015年的总收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构也随之发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下的折线图，则下列结论中正确的是（）A．该家庭2019年食品消费额是2015年食品消费额的一半.B．该家庭2019年教育医疗消费额与2015年教育医疗消费额相当.C．该家庭2019年休闲娱乐消费额是2015年休闲娱乐消费额的六倍D．该家庭2019年生活用品消费额与2015年生活用品消费额相当.【来源】2020届重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学（理）试题【答案】C【解析】因为某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，设2015年全年的收入为，2019年全年的收入为．由图可知，该家庭2019年食品的消费额，2015年食品的消费额为，相等，错；由图可知，该家庭2019年教育医疗的消费额，2015年食品的消费额为，，错；由图可知，该家庭2019年休闲旅游的消费额，2015年休闲旅游的消费额为，，对；由图可知，该家庭2019年生活用品的消费额，2015年生活用品的消费额为，不相等，错；故选：C10．由于受疫情的影响，学校停课，同学们通过三种方式在家自主学习，现学校想了解同学们对假期学习方式的满意程度，收集如图1所示的数据；教务处通过分层抽样的方法抽取4%的同学进行满意度调查，得到的数据如图2.下列说法错误的是（）A．样本容量为240B．若，则本次自主学习学生的满意度不低于四成C．总体中对方式二满意的学生约为300人D．样本中对方式一满意的学生为24人【答案】B【解析】选项A，样本容量为，该选项正确；选项B，根据题意得自主学习的满意率，错误；选项C，样本可以估计总体，但会有一定的误差，总体中对方式二满意人数约为，该选项正确；选项D，样本中对方式一满意人数为，该选项正确.故选：B11．恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，其数值越小说明生活富裕程度越高．统计改革开放40年来我国历年城镇和农村居民家庭恩格尔系数，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．城镇居民家庭生活富裕程度不低于农村居民家庭B．随着改革开放的不断深入，城镇和农村居民家庭生活富裕程度越来越高C．1996年开始城镇和农村居民家庭恩格尔系数都低于50%D．随着城乡一体化进程的推进，城镇和农村居民家庭生活富裕程度差别越来越小【答案】C【解析】从图中可知城镇居民家庭恩格尔系数不高于农村居民家庭的恩格尔系数，所以A选项正确；从图中可知城镇居民家庭和农村居民家庭的恩格尔系数都在降低，所以B选项正确；从图中可知农村居民家庭的恩格尔系数从2001年开始低于50%，所以C选项错误；从图中可知随着城乡一体化进程的推进，城镇和农村居民家庭的恩格尔系数越来越接近，所以D选项正确.故选：C