《抛物线的简单几何性质(1)》示范公开课教案【高中数学北师大】

《抛物线的简单几何性质(1)》教案教学目标教学目标1.掌握抛物线的简单几何性质．2.了解抛物线几何性质的简单应用．3.归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同．教学重难点教学重难点重点：抛物线的简单几何性质．难点：抛物线几何性质的简单应用．教学过程教学过程一、新课导入前面我们由椭圆和双曲线的方程，讨论了它们的几何性质，下面我们继续通过抛物线的方程来研究抛物线具有的几何性质．新知探究问题1回顾一下我们对椭圆和双曲线的研究，想一想我们可以从哪几个方面来研究抛物线的几何性质呢?答案：我们可以从抛物线的范围，对称性，顶点，离心率及准线等方面来研究抛物线的性质．追问1：类比椭圆和双曲线的几何性质的探索过程，写出抛物线的几何性质．答案：根据抛物线的标准方程y2=2px(p>0)1.范围由方程①可知，对于抛物线①上的任意一点Mx，y，都有x⩾0，y∈R，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口向右；当x的值增大时2.对称性根据方程①的结构特点，可以发现：若x0，y0满足方程①，则x0，-y0也满足方程①3.顶点抛物线和它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点．在方程①中，当y=0时，x=0，因此，抛物线的顶点就是坐标原点．4.离心率抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知e=1．在平面直角坐标系中，顶点在原点、焦点在坐标轴上的抛物线有四种位置情况，因此抛物线的方程相应地也有四种形式，它们都叫作抛物线的标准方程，设焦点到准线的距离为p(p>0)，则抛物线标准方程的四种形式分别为：y2=-2px(p>0)，y2=2px(p>0)，x2=2py注意：只有焦点在坐标轴上．顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程．问题2类比研究标准方程为y2=2px(p答案：抛物线标准方程的四种形式如表．追问：对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析找出它们的相同和不同点．答案：其相同点(1)顶点都为原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别关于原点对称．它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的14(4)焦点到准线的距离均为p．其不同点(1)对称轴为x轴时方程的右端为±2px；左端为y2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，左端为x(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同．焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上方程的右端取负号．三、应用举例例1求顶点在原点，经过点(3，-6)，解因为点(3，所以若x轴是抛物线的对称轴，则设抛物线的标准方程为y2=2px(p因为点(3，-6)在抛物线上，所以解得2p=123，所求抛物线的标准方程为y2=12若y轴是抛物线的对称轴，同理可得抛物线的标准方程为x2=-1例2以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为．解由题意，设抛物线方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(依题意得x=p2，代入y得|y|=p，所以2|y|=2p=8，解得故所求抛物线方程为y2=8x或例3.设抛物线y=mx2m≠0的准线与直线y=1的距离为3解y=mx2m≠0可化为x2=根据题意，若抛物线开口向下则，准线14m=4，解得m=1若抛物线开口向上则，准线14m=-2，解得m=-1故所求抛物线的标准方程为x2=-16y或四、课堂练习1．根据下列条件，求抛物线的标准方程、顶点坐标和准线方程：(1)焦点为F(0，1)；(2)焦点为F(-1，0)；(3)焦点为F(0，-3)．2．根据下列条件，求抛物线的标准方程、顶点坐标和焦点坐标：(1)准线方程为x=34；(2)准线方程为y=-2；(3)准线方程为x=23.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2=-4x；(2)x2(4)x+y2=0；(5)参考答案1.（1）焦点F(0，1)在y轴正半轴，则p2=1，p=2，抛物线方程为x2（2）焦点F(-1，0)在x轴负半轴，则-p2=-1，p=2，抛物线方程为y（3）焦点F(0，-3)在y轴负半轴，则-p2=-3，p=6，抛物线方程为x2.（1）准线方程为x=34=p2，则p=3（2）准线方程为y=-2=-p2，则p=4，抛物线方程为x2（3）准线方程为x=2=p2，则p=4，抛物线方程为y23.（1）依题意，-2p=-4，p=2焦点坐标为-1，0，准线方程为x=1（2）依题意，2p=3，p=32焦点坐标为0，34（3）依题意，-2p=-2，p=1，焦点坐标为0，-12，准线方程为y（4）y2=-x，-2p=-1，p=12，焦点坐标为（5）x2=y2，2p=12，p=14（6）y2=x4，-2p=