2021-2022学年山西省晋中市太谷县第三中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021-2022学年山西省晋中市太谷县第三中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.4名学生从3个体育项目中每人选择1个项目参加，而每个项目都有学生参加的概率为（） A． B． C． D． 参考答案：C2.若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B． C．4 D．参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．3.下列命题正确的个数是

①命题“”的否定是“”：

②函数的最小正周期为“”是“a=1”的必要不充分条件；

③在上恒成立在上恒成立；

④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”

A．1

B.2

C.3

D．4参考答案：B4.已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：C考点： 抛物线的应用．

专题： 计算题；压轴题．分析： 先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．解答： 解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2=1的圆心为C（0，4），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：，故选C．点评： 本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．5.参考答案：C略6.已知向量，且，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为(

)A． B． C．或 D．或参考答案：D【考点】圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和b，则c可求得，继而求得离心率．当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可．【解答】解：依题意可知m=±=±4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选D【点评】本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度．8.已知向量，，若与共线.则等于（

）A．

B．

C．

D．4参考答案：A略9.在ΔABC中，“”是“cosA<cosB的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

参考答案：C略10.复数的=

A．

B．

C．2—4i

D．2+4i参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数f(x)＝ax＋sinx＋cosx．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为

．参考答案：12.设是函数的两个极值点，若，则实数a的取值范围是________．参考答案：(2,6)13.如图，一不规则区域内，有一边长为米的正方形，向区域内随机地撒颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为375颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为

平方米.（用分数作答）参考答案：14.计算极限：=

．参考答案：2.15.正方体的棱长为，是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的最大值是

．参考答案：2因为是它的内切球的一条弦，所以当弦经过球心时，弦的长度最大，此时.以为原点建立空间直角坐标系如图.根据直径的任意性，不妨设分别是上下底面的中心，则两点的空间坐标为，设坐标为，则,,所以，即.因为点为正方体表面上的动点，，所以根据的对称性可知，的取值范围与点在哪个面上无关，不妨设，点在底面内，此时有，所以此时，,所以当时，，此时最小，当但位于正方形的四个顶点时，最大，此时有，所以的最大值为2.16.设x，y满足约束条件的取值范围是

．参考答案：[，11]【考点】简单线性规划．【专题】数形结合．【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与（﹣1，﹣1）构成的直线的斜率问题，求出斜率的取值范围，从而求出目标函数的取值范围．【解答】解：由z==1+2×=1+2×，考虑到斜率以及由x，y满足约束条件所确定的可行域．而z表示可行域内的点与（﹣1，﹣1）连线的斜率的2倍加1．数形结合可得，在可行域内取点A（0，4）时，z有最大值11，在可行域内取点B（3，0）时，z有最小值，所以≤z≤11．故答案为：[，11]．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与（﹣1，﹣1）的斜率，属于线性规划中的延伸题，解题的关键是对目标函数的几何意义的理解．17.已知,.若或,则实数的取值范围是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.（I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（II）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数，求的分布列和数学期望.参考答案：（I）（II）X的所有可能的取值为：0,1,2,3，∴X的分布列为：X0123P∴略19.已知矩阵，，若矩阵，求矩阵的逆矩阵．参考答案：因为，

………5分所以．

………10分20.已知函数

（Ⅰ）时，求在处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，设函数，若，求证：参考答案：解（Ⅰ）（Ⅱ）,，即在上恒成立设,，时，单调减，单调增，所以时，有最大值.，所以.（Ⅲ）当时，,,所以在上是增函数，上是减函数.因为，所以即,同理.所以又因为当且仅当“”时，取等号.又，,所以,所以，所以：.略21.在直角坐标系xOy中，点p是单位圆上位于第一象限的动点，过p作x轴的垂线与射线y=xtanθ（x≥0，0＜θ＜）交于点Q，与x轴交于点M，射线与单位圆交于N，设∠MOP=α，且α∈（0，θ）（1）若θ=，sinα=，求cos∠POQ；（2）若θ=，求四边形OMPN面积的最大值，（3）并求取最大值时的α值．参考答案：考点：三角函数中的恒等变换应用；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：（1）由题意求出sinα和cosα的值，再根据cos∠POQ=cos（﹣α）．利用两角差的余弦公式计算求得结果．（2）根据SOMPN=S△OMP+S△OPN=cosαsinα+（sinα﹣cosα）．令sinα﹣cosα=t，根据SOMPN=﹣+，利用二次函数的性质求得四边形OMPN面积的最大值．（3）由（2）可得t=时，SOMPN有最大值，此时，cos（α+）=，根据α+的范围，可得α的值．解答： 解：（1）由题意，∠MOQ=，∠POQ=∠MOQ﹣∠MOP=﹣α，∵sinα=，，∴cosα=．所以cos∠POQ=cos（﹣α）=coscosα+sinsinα=．（2）∵SOMPN=S△OMP+S△OPN=cosαsinα+sin（﹣α）=cosαsinα+（cosα﹣sinα）．令cosα﹣sinα=t，∵α∈（0，），则t∈（0，1），∴SOMPN=（1﹣t2）﹣=﹣+，当t=时，SOMPN有最大值．（3）当SOMPN有最大值时，cosα﹣sinα=，有cos（α+）=，由于α+∈（，），所以α=为所求．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，二次函数的性质，属于中档题．22.(本题满分15分)如图四边形PABC中，，，现把沿AC折起，使PA与平面ABC成，设此时P在平面ABC上的投影为O点（O与B在AC的同侧），（1）求证：OB∥平面PAC；（2）求二面角P－BC－A大小的正切值。

参考答案：解：（1）连AO，因为平面ABC，得。又因为，得平面PAO，。………3分因为是PA与平面ABC的