高中数学高考58第九章 平面解析几何 9 5 椭圆 第1课时 椭圆及其性质

§9.5椭圆最新考纲考情考向分析1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做．这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若，则集合P为椭圆；(2)若，则集合P为线段；(3)若，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为；短轴B1B2的长为焦距|F1F2|＝离心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a，b，c的关系概念方法微思考1．在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，动点P的轨迹如何？2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？3．点和椭圆的位置关系有几种？如何判断．4．直线与椭圆的位置关系有几种？如何判断？题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()(3)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．()(4)eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相等．()题组二教材改编2．[P49T4]椭圆eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1的焦距为4，则m等于()A．4B．8C．4或8D．123．[P80T3]过点A(3，－2)且与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆的方程为()A.eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1 D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,15)＝14．[P49T6]已知点P是椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________．题组三易错自纠5．若方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m＋3)＝1表示椭圆，则m的取值范围是()A．(－3,5) B．(－5,3)C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)6．椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4＋k)＝1的离心率为eq\f(4,5)，则k的值为()A．－21 B．21C．－eq\f(19,25)或21 D.eq\f(19,25)或217．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4eq\r(3)，则C的方程为()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1第1课时椭圆及其性质题型一椭圆的定义及应用1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．圆2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．2eq\r(3)B．6C．4eq\r(3)D．123．椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于()A.eq\f(7,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3) D．44．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．题型二椭圆的标准方程命题点1定义法例1(1)已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为()A.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,11)＝1 B.eq\f(x2,36)－eq\f(y2,35)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1(2)在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) B.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)命题点2待定系数法例2(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq\r(3)，eq\r(5))，则椭圆方程为__________．(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F1，F2在x轴上，P(2，eq\r(3))是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为________________．跟踪训练1(1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为eq\f(\r(3),2)，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,36)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1(2)设若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为__________．题型三椭圆的几何性质命题点1求离心率的值(或范围)例3(1)(2018·深圳模拟)设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A.eq\f(\r(3),6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),3)(2)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，|OP|＝eq\f(\r(2),4)a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(2),4)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(6),3)D.eq\f(\r(6),4)(3)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上是__________．命题点2求参数的值(或范围)例4(2017则m的取值范围是()A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，eq\r(3)]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，eq\r(3)]∪[4，＋∞)跟踪训练2(1)已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________．(2)在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝eq\f(b,2)与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．(3)(2018·阜阳模拟)已知F1，F2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，1))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),5)))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))1．(2018·开封模拟)曲线C1：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1与曲线C2：eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1(k<9)的()A．长轴长相等 B．短轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等2．若椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(2),4)3．(2018·重庆检测)椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为()A．60°B．120°C．150°D．30°4．设F1，F2分别为椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，则∠F1PF2等于()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)5．设椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝9，则|PF1|·|PF2|的值为()A．8 B．10C．12 D．156．(2018·昆明调研)2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③eq\f(c1,a1)<eq\f(c2,a2)；④c1a2>a1c2.其中正确式子的序号是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④7．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________________．8．设F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4eq\r(3)的等边三角形，则椭圆C的方程为__________．9．已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与椭圆C2：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B，C，D四点，若椭圆C1的一个焦点F(－eq\r(2)，0)，且四边形ABCD的面积为eq\f(16,3)，则椭圆C1的离心率e为________．10．已知A，B，F分别是椭圆x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<1)的右顶点、上顶点、左焦点，设△ABF的外接圆的圆心坐标为(p，q)．若p＋q>0，则椭圆的离心率的取值范围为______________．11．已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点．求点M的轨迹C的方程．12．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝eq\f(\r(3),2)，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．13．已知F1，F2分别是椭圆