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文档简介

§1

第一型曲线积分

本节将研究定义在平面或空间曲线段上的第一型曲线积分.此类积分的典型物理背景是求非均匀分布的曲线状物体的质量.二、第一型曲线积分的计算一、第一型曲线积分的定义返回一．第一型曲线积分的定义上的连续函

是定义在设某物体的密度函数数当是直线段时,应用定积分就能计算得该物体

的质量.现在研究当是平面或空间中某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题.(2)近似求和：在每一个上任取一点由于

(1)分割：把分成个可求长度的小曲线段

上的连续函数,

故当的弧长都很小时,

每一小段的质量可近似地等于其中

为小曲线段的长度.于是在整个上的质量就近似地等于和式(3)当对的分割越来越细密(即)

时,上述和式的极限就应是该物体的质量.由上面看到,求物质曲线段的质量,与求直线段的质量一样,也是通过“分割、近似求和、取极限”来得到的.下面给出这类积分的定义.个可求长度的小曲线段的弧长,它把定义在上的函数.

对曲线做分割分成记为分割的细度为在上任取一点若有极限为平面上可求长度的曲线段,定义1设为且的值与分割的取法无关,

则称此极限为上的第一型曲线积分,

记作为空间可求长曲线段,

若为定义在上

的函数,

则可类似地定义在空间曲线上

的第一型曲线积分,并且记作于是前面讲到的质量分布在曲线段上的物体的质

量可由第一型曲线积分(1)或(2)求得.1.

若在为

常数,

则也存在,且2.

若曲线段由曲线首尾相接而成,

都存在,则

也存在,且3．都存在,且在

则4．也存在,

且5．存在,的弧长为则存在常数

使得二．第一型曲线积分的计算定理20.1

设有光滑曲线为定义在上的连续函数,则上有连续的导函数时,(3)式成为

1.曲线由方程表示,且在上有连续导函数时,(3)式成为例1

设是半圆周试计算第一型曲线积分解2.曲线L由方程表示,且在例2

一段(图20-2),试计算第一型曲线积分解

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