模糊系统模型的模糊控制

CHAPTER21模糊系統模型的模糊控制121.1Takagi-Sugeno-Kang模糊系統Takagi-Sugeno-Kang(TSK)模糊系統被提出為另一種模糊系統並且我們在本書中大部分的地方採用。TSK模糊系統由下列規則來建構：(21.1)其中

為模糊集合，

為常數並且l=1,2,…,M。221.1Takagi-Sugeno-Kang模糊系統給予TSK模糊系統輸入

，輸出

可由

(21.1)式中yl的加權平均算出，也就是(21.2)

其中加權wl可被計算(21.3)321.1Takagi-Sugeno-Kang模糊系統如果TSK模糊系統的輸出出現它的輸入中的一個，我們得到也被稱為動態TSK模糊系統。特別是動態TSK模糊系統由下列規則所建構：(21.4)421.1Takagi-Sugeno-Kang模糊系統其中Aip與Bp為模糊集合，aip與Bp為常數，p=1,2,…,N，u(k)為系統的輸入，以及

為系統的狀態輸入。動態TSK模糊系統的輸出可計算為(21.5)其中xp(k+1)給予在

(21.4)以及(21.6)我們特別利用這個動態TSK模糊系統以模型化控制中的程序。5定理21.1圖21.1中閉迴路模糊控制系統等效於由下列規則所建構的動態TSK模糊系統：(21.7)6定理21.1其中u(k)為控制器的輸出，

l=1,2,…,M,p=1,2,…,N並且模糊集合（Cil與Aip）由歸屬函數

來特性化。這個動態TSK模糊系統的輸出可計算為(21.8)其中(21.9)(21.10)

7定理21.1證明(21.11)

(21.12)

821.2具模糊控制器的模糊模型

閉迴路動態921.1

模糊系統模型的模糊控制範例21.1假設圖21.1中的程序被模型化為二階動態TSK模糊系統且由下列二個規則建構：(21.13)(21.14)10範例21.1並且圖21.1中控制器是由下列二個規則來建構的TSK模糊系統：(21.15)(21.16)11範例21.1則由定理21.1，我們得到閉迴路系統為動態TSK模糊系統且由下列四個規則建構：(21.17)(21.18)(21.19)(21.20)動態方程式可根據

(21.8)～(21.10)來取得。1221.3動態TSK模糊系統的穩定性分析考慮動態TSK模糊系統

(21.5)，其中

(21.4)中的bp

等於零。我們假設bp=0是因為在比較

(21.4)與

(21.7)式後我們看到在

(21.7)式中沒有bpu(k)的項。定義狀態向量x(k)=(x(k),x(k－1),…,x(k－n+1))T以及(21.21)則動態TSK模糊系統

(21.5)可重寫為(21.22)其中vp定義於

(21.6)。1321.3動態TSK模糊系統的穩定性分析Lyapunov穩定性定理考慮離散時間系統且描述為(21.23)其中

與f(0)=0。1421.3動態TSK模糊系統的穩定性分析矩陣不等式引理如果p為正定矩陣便得(21.24)其中

，則(21.25)15定理21.2動態模糊系統

(21.22)的平衡點0為全域漸近穩定是如果存在共同正定矩陣P便得(21.26)對所有p=1,2,…,N。16定理21.2證明(21.27)(21.28)(21.29)17範例21.2考慮由下列二個規則所建構的動態TSK模糊系統：(21.30)(21.31)其中模糊集合F1與F2的歸屬函數顯示於圖21.2。對這個系統，我們得到(21.32)18範例21.2A1與

A2的特徵值分別為與，而這些全部都在單位圓內，所以二個區域近似的線性系統x(k+1)=A1x(k)與x(k+1)=A2x(k)為穩定。然而，動態TSK模糊系統是由二個規則(21.30)與(21.31)所建構(21.33)如圖21.3所示為不穩定，而其顯示

(21.33)在具有初始條件x(1)=(x(1),x(0))T=(－1.7,1.9)T所產生的x(k)。1921.3動態TSK模糊系統的穩定性分析2021.2

模糊集合規則

(21.30)～(21.31)的歸屬函數21.3動態TSK模糊系統的穩定性分析2121.3

具有初始條件的動態TSK模糊系統(21.33)(x(k))的響應引理21.1假設Ap(p=1,2,…,N)為穩定且非奇異矩陣。如果存在共同正定矩陣P便得

當p=1,2,…,N，則ApAq為穩定矩陣，對所有的p,q=1,2,…,N。2221.3動態TSK模糊系統的穩定性分析這個引理的證明將保留當成習題。引理21.2顯示如果任意ApAq為不穩定矩陣，則共同P將不存在並且因此動態TSK模糊系統可能為不穩定。對範例21.2，我們得到(21.34)而其特徵值為

並且其中一個在單位圓的外面。2321.4對模糊模型的穩定模糊控制器設計對模糊模型的穩定模糊控制器設計步驟1利用定理20.1將閉迴路模糊控制系統表示為動態TSK模糊系統。對於程序，參數aip與bp以及歸屬函數μAip為已知，並且對控制器中的參數（也就是cil與μCil）必須被設計。通常，固定μCil並且根據定理21.2來設計cil。2421.4對模糊模型的穩定模糊控制器設計步驟2選取參數cil使得所有的區域近似線性系統為穩定，其中根據

(21.7)，區域近似線性系統為x(k+1)=Alpx(k)具有(21.35)

其中l=1,2,…,M以及p=1,2,…,N。2521.4對模糊模型的穩定模糊控制器設計步驟3求出正定矩陣Plp便得(21.36)

對l=1,2,…,M與p=1,2,…,N，如果存在Pl*p*對一些固定

與

便得(21.37)對所有的l=1,2,…,M與p=1,2,…,N，則選取這個Pl*p*為共同P；否則回到步驟2重新設計參數cil直到共同P=Pl*p*被找到。26範例21.3假設程序被模型化為動態TSK模糊系統具有下列二個規則：(21.38)(21.39)並且控制器為TSK模糊系統且由下列二個規則來建構：(21.40)(21.41)其中G1與G2歸屬函數顯示於圖21.4，並且控制器參數c11,c21,c12與c22被設計使得閉迴路系統為穩定。27範例21.32821.4

範例21.3模糊集合的歸屬函數範例21.3步驟1從定理21.1我們得到閉迴路系統為動態TSK模糊系統且由下列四個規則所建構：(21.42)(21.43)(21.44)(21.45)29範例21.3步驟2對四個線性子系統

(21.42)～(21.45)的四個矩陣Alp為(21.46)(21.47)(21.48)(21.49)30範例21.3在多次試誤法後，如果我們選取(21.50)可找到，則所有四個線性子系統為穩定。步驟3針對

(21.50)式中的參數我們可找到共