36 125完全平方公式

完全平方公式复习提问：

1、多项式的乘法法则是什么？

用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

算一算：2(a+b)

=(a+b)(a+b)22=a+ab+ab+b22=a+2ab+b

2(a-b)

=(a-b)(a-b)22=a

-ab-ab+b22=a

-2ab+b

§完全平方公式

完全平方公式的数学表达式：

222222

(a+b)=a+2ab+b(a+b)=a+b+2ab222222(a-2ab+b

(a--b)b)=a=a

+b-2ab完全平方公式的文字叙述：

两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

完全平方公式

的图形理解

完全平方和公式：

babab2

abb2(a+b)2

a2

a2(a?b)?a+2ab+b2完全平方公式

的图形理解

完全平方差公式：

babb2

a(a-b)2

a2

abaa?b)2?a2b?ab?ab?a2?2ab?b2?b2(222(a+b)=a+2ab+b公式特点：

222(a-b)=a

-2ab+b

1、积为二次三项式；

2、积中两项为两数的平方和；

3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中

首平方，尾平方，

间的符号相同。

首尾两倍中间放

4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和

多项式。

例1运用完全平方公式计算：

2(1)(x+2y)

2

2解：(x+2y)=x2+2?x?2y

+(2y)222(a+b)=a+2ab+b2

=x+4xy2+4y例1运用完全平方公式计算：

2(2)(x-2y)

2

解：(x-2y)=2x-2?x?2y

2+(2y)222(a-b)=a-2ab+b2

=x-4xy2+4y(2)(x–2y2)222解：(x–2y)=22(x)2–2?(x)?(2y2)+(2y)

222(a-b)=a

-2ab+b224=x

–2xy+4y

下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？

222(1)(x+y)=x+y错

222(x+y)=x+2xy+y(2)(x-y)2=x2-y2错

(x-y)2=x2-2xy+y2222(3)(x-y)=x+2xy+y222(4)(x+y)=x+xy+y

错

222(x-y)=x-2xy+y错

(x+y)2=x2+2xy+y2对

22(5)(-m+n)=m-2mn+n2

(6)(x-1)(y-1)=xy-x-y+1对

算一算

2（1）(x+2y)=

（2）

（3）

(4-y)2=(2m-n)2=例2、运用完全平方公式计算：

分析：

222(a-b)=a-2ab+b222(1)(4m-n)222解：

（4m－n）4224=16m－8mn+n首

尾

24m2n222222=()－2()·n4m()+()4mn解题过程分3步：

记清公式、代准数式、准确计算。

算一算

221.(3x-7y)=

2322.(2a+3b)=

二．下面计算是否正确？

如有错误请改正．

2

（４）(3-2x)2

解：错误．(3-2x)=9-12x+4x2

222

（５）(a+b)=a+ab+b

222解：错误．（a+b)=a+2ab+b

22（６）(a-1)=a-2a-1

22解：错误．（a-1)=a-2a+12=9-12x+2x

三、在下列多项式乘法中，

能用完全平方公式计算的请填Y,不能用的请填N.2()

2-b)(a+b2)()(7)(-ab-c)2

YNY

NNNY

)(1)(-a+2b)(2)(b+2a)(b-2a)()(3)(1+a)(a+1)()(4)(-3ac-b)(3ac+b)()(5)(a(6)(100-1)(100+1)()

(1、比较下列各式之间的关系：

(2)(a(3)(-b+a)-b)2

与(a+b)2相等

-b)2

与(b-a)2

相等

2

与(-a+b)2相等

(1)(-a

例

1：计算：

(1)(－2m－3n)2；

完全平方公式(重点)?2a.(2)?1??2?????

2ab＋b2.思路导引：运用公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

和(a－b)2＝a2－

解：(1)原式＝[－(2m＋3n)]2＝(2m＋3n)2＝(2m)2

＋2·2m·3n

＋(3n)2＝4m2＋12mn＋9n2.2aa2?a(2)原式＝?－2··1＋1＝－a＋1.

?24?2?2???议一议

2如何计算(a+b+c)2解:(a+b+c)2=[(a+b)+c]22=(a+b)+2·(a+b)·c+c

=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2222

=a+b+c+2ab+2ac+2bc运用完全平方公式进行简便计算：

(1)1042

解：1042

=(100+4)(2)99.92解：99.922

=(100–0.1)=9998.012利用完全平方公式计算：

2101=28.9=2

199=

例3计算：

?2233?(1)????a?b?2??3232??32解：原式=?b?a?3??2964423???b?2ab?a4922(-a+b)=(b-a)2（2）（??-32x2y?124)解：原式=??(32x2y?124)???942324xy?4xy?(-a-b)2=(a+b)2116你会了吗

2=2+b)2=1.(-x-y)

2.(-2a

例题:1.计算：(1)(x?2y)2?x2?4xy?4y2(3)(?2s?t)2?4s2?4st?t2(2)(2a?5)2?4a2?20a?254)(?3x?4y)2?9x2?24xy?16y2(小结：

1、完全平方公式：

222(a+b)=a+2ab+b222(a-b)=a

-2ab+b

2、注意：项数、符号、字母及

其指数；

课堂检测

22（1）(6a+5b)(3)(-2m-1)

22（2）(4x-3y)(4)(2m-1)

解：

2

(3)(-2m-1)

2

(1)(6a+5b)

22

=36a+60ab+25b2

=4m+4m+12(2)(4x-3y)

2

(4)(2m-1)

22

=16x-24xy+9y2

=4m-4m+11．下列计算正确的是(C)

A．(a＋m)2＝a2＋m2

B．(s－t)2＝s2－t2??1C.?2x??2??21＝4x－2x＋4

2D．(m＋n)2＝m2＋mn＋n24a2－20ab＋25b2；

2．计算：(1)(2a－5b)2＝_______________(2)(－2a＋3b)2＝________________.4a2－12ab＋9b2知识延伸

四、选择:小兵计算一个二项整式的平方式时,得到

22正确结果是4x++25y,但中间一项

不慎被污染了,这一项应是()DA10xyB20xyC±10xyD±20xy发散练习,勇于创新

1.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是()(A)11(B)9(C)-11(D)-92.已知(a+b)2=11,ab=1,求(a-b)2的值.B【规律总结】在计算时要弄清结果中

2ab这一项的符号，

还要防止漏掉乘积项中的因数

2.乘法公式的综合应用

例

2：运用乘法公式计算：

(1)(x＋y－z＋1)(x－y＋z＋1)；

(2)(a－b－c)2.

－z”看作另一个整体，即可运用平方差公式．(2)可将原式中的

任意两项看成一个整体．

思路导引：(1)适当变形，把“x＋1”看作一个整体，把“y解：(1)原式＝[(x＋1)＋(y－z)][(x＋1)－(y－z)]＝(x＋1)2－(y－z)2＝x2＋2x＋1－y2＋2yz－z2.(2)原式＝[(a－b)－c]2＝(a－b)2－2(a－b)·c＋c2＝a2＋b2＋c2－2ab＋2bc－2ac.【规律总结】综合运用公式计算时，一般要同时应用平方

差公式和完全平方公式，有的则需要经过适当变形才能运用公

式计算．

222a－b＋2bc－c3．计算：(a－b＋c)(a＋b－c)＝______________.

－c)2＝a2－b2＋2bc－c2.2点拨：(a－b＋c)(a＋b－c)＝[a－(b－c)][a＋(b－c)]＝a2－(b92214????81a－ab＋b11??3a?b?＝_______________