复变函数与积分变换第七章z

严格的证明是数学的标志,这是数学对于文化修养所提供的不可缺少的营养,一个学生若对数学证明从未留下印象,那他就缺少了一种基本的思维经历.---波利亚(Polya,G.)

数学的主要目标是大众的利益和对自然现象的解释.---傅里叶(Fourier,J.B.J.)第七章Fourier变换§7.1

Fourier变换的概念§7.2单位脉冲函数及其Fourier变换§7.3Fourier变换的性质

在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的．例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算．在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一．积分变换的理论方法不仅在数学的诸多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中，例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用．所谓积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数，经过某种可逆的积分方法（即为通过含参变量的积分）变为另一函数类B中的函数这里是一个确定的二元函数，通常称为该积分变换的核．称为的像函数或简称为像，称为的原函数．

在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在像函数类B中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要在A中所求的解，而且是显式解．

另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时，就得到不同名称的积分变换:（1）特别当核函数（注意已将积分参变量改写为变量），当，则称函数为函数的傅里叶（Fourier）变换，简称为函数的傅氏变换．同时我们称为的傅里叶逆变换．（2）特别当核函数（注意已将积分参变量改写为变量），当，则称函数为函数的拉普拉斯(Laplace)变换，简称为函数的拉氏变换．同时我们称为的拉氏逆变换．

Fourier

变换是积分变换中常见的一种变换，是一种分方程、化卷积为乘积等等

)，又具有非常特殊的物理意义(从频谱的角度来描述函数的特征)。

的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。展起来的。在微积分课程中已经学习了Fourier

级数的有关内容，因此本节将先简单地回顾一下

Fourier

级数展开。因此，Fourier变换不仅在数学的许多分支中具有重要Fourier变换是在周期函数的Fourier级数的基础上发主要内容对连续时间函数的积分变换。它既能够简化运算(如求解微离散和快速Fourier变换在计算机时代更是特别重要．傅里叶变换发展历史1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础.泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用.19世纪末，人们制作出用于工程实际的电容器；进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景.在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点.“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力.傅立叶变换的作用

（1）可以得出信号在各个频率点上的强度.（2）可以将卷积运算化为乘积运算.（3）傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复和重构的重要手段.（4）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两个不同的角度来看待图像的问题，有时在空间域无法解决的问题在频域却是显而易见的.展起来的。在微积分课程中已经学习了Fourier

级数的有关内容，因此本节将先简单地回顾一下

Fourier

级数展开。§7.1Fourier

变换的概念Fourier变换是在周期函数的Fourier级数的基础上发然后再学习非周期函数的Fourier变换。一、周期函数的

Fourier

级数1.简谐波的基本概念简谐波为基本周期；为频率。A

称为振幅，其中，称为角频率，称为相位，(

称为零相位)。(单位：秒)(单位：赫兹

Hz)补

一、周期函数的

Fourier

级数2.正交函数系函数系补

2.正交函数系特点

由组合叠加可以生成周期为

T

的复杂波。(1)周期性(2)正交性一、周期函数的

Fourier

级数一、周期函数的

Fourier

级数2.正交函数系问题对于任何一个周期为

T

的(复杂)函数

，?能否：区间上满足如下条件(称为

Dirichlet

条件)：则在的连续点处有(1)连续或只有有限个第一类间断点；(2)只有有限个极值点

.(

Dirichlet

定理)设是以

T

为周期的实值函数，且在定理3.Fourier

级数的三角形式一、周期函数的

Fourier

级数P120定理

7.1

在的间断处，上式左端为称之为基频。(

Dirichlet

定理)定理3.Fourier

级数的三角形式其中,(A)称

(A)

式为

Fourier

级数的三角形式。定义一、周期函数的

Fourier

级数(

Fourier级数的历史回顾)4.Fourier

级数的物理含义令则

(A)

式变为O(A)改写一、周期函数的

Fourier

级数这些简谐波的(角)频率分别为一个基频的倍数。频率成份，其频率是以基频为间隔离散取值的。”

这是周期信号的一个非常重要的特点。4.Fourier

级数的物理含义

“

一个周期为

T

的周期信号并不包含所有的意义周期信号可以分解为一系列固定频率的简谐波之和，表明一、周期函数的

Fourier

级数相位反映了在信号中频率为的简谐波这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。4.Fourier

级数的物理含义反映了频率为的简谐波在信号中振幅所占有的份额；沿时间轴移动的大小。一、周期函数的

Fourier

级数5.Fourier

级数的指数形式代入

(A)

式并整理得根据Euler公式可得推导(A)已知一、周期函数的

Fourier

级数P120

5.Fourier

级数的指数形式推导则有令其中,(B)称

(B)

式为

Fourier

级数的指数形式。定义一、周期函数的

Fourier

级数(1)分解式是惟一的。注意(2)计算系数时,其中的积分可以在任意一个长度为T

的区间上进行。(3)采用周期延拓技术，可以将结论应用到仅仅定义在某个有限区间上的函数。5.Fourier

级数的指数形式一、周期函数的

Fourier

级数6.

离散频谱与频谱图得O分析由即的模与辐角正好是振幅和相位。称为频谱，记为称为振幅谱，称为相位谱；定义一、周期函数的

Fourier

级数6.

离散频谱与频谱图将振幅、相位与频率的关系画成图形。频谱图OO一、周期函数的

Fourier

级数(1)当n

=

0时，解基频O解(2)

当时,O(3)的Fourier级数为解(4)振幅谱为相位谱为O(5)频谱图如下图所示。

解1-22-1O……1-22-1O……O借助

Fourier

级数展开，使得人们能够完全了解一个信号的频率特性，从而认清了一个信号的本质，这种对信号的分析手段也称为频谱分析(或者谐波分析)。但是，Fourier级数要求被展开的函数必须是周期函数，

而在工程实际问题中，

大量遇到的是非周期函数，那么，对一个非周期函数是否也能进行频谱分析呢?二、非周期函数的傅立叶变换二、非周期函数的傅立叶变换(1)非周期函数可以看成是一个周期为无穷大的“周期函数”。1.简单分析当T越来越大时，取值间隔越来越小；当T趋于无穷时，取值间隔趋向于零，因此，一个非周期函数将包含所有的频率成份。其频谱是以为间隔离散取值的。即频谱将连续取值。(2)当时，频率特性发生了什么变化？二、非周期函数的傅立叶变换1.简单分析Fourier

级数表明周期函数仅包含离散的频率成份，分析(3)

当时，级数求和发生了什么变化？二、非周期函数的傅立叶变换1.简单分析记为节点将间隔记为得并由分析(C)分析则按照积分定义，在一定条件下，(C)

式可写为记(3)

当时，级数求和发生了什么变化？二、非周期函数的傅立叶变换1.简单分析(2)绝对可积，即上的任一有限区间内满足

Dirichlet

条件；(1)在二、非周期函数的傅立叶变换定理设函数满足的间断处，公式的左端应为在2.Fourier

积分公式称

(D)

式为

Fourier

积分公式。定义则在的连续点处，有(D)P121定理

7.2

(2)Fourier

逆变换(简称傅氏逆变换)称为傅氏变换对，记为与二、非周期函数的傅立叶变换-1(1)Fourier

正变换(简称傅氏变换)定义其中，称为象原函数．称为象函数，3.Fourier

变换的定义注

上述变换中的广义积分为柯西主值。

P124定义

7.2

二、非周期函数的傅立叶变换4.Fourier

变换的物理意义与

Fourier

级数的物理意义一样，Fourier

变换同样称为振幅谱；称为相位谱。刻画了一个非周期函数的频谱特性，不同的是，非周期函数的频谱是连续取值的。一般为复值函数，故可表示为称为频谱密度函数(简称为连续频谱或者频谱)；定义反映的是中各频率分量的分布密度，它解(1)a-

a1Ot(2)振幅谱为相位谱为解2aOO主瓣旁瓣(3)求

Fourier

逆变换，即可得到

Fourier

积分表达式。解-1可得重要积分公式:在上式中令注可得重要积分公式:在上式中令一般地，有特别地，有注1Ot解(1)P124例4改

解振幅谱为(2)相位谱为OO解-11O(?)(关于抽样信号)解-1-11记为

§7.2单位脉冲函数及其傅里叶变换二、单位脉冲函数的概念及性质三、单位脉冲函数的

Fourier

变换一、为什么要引入单位脉冲函数一、为什么要引入单位脉冲函数理由(1)在数学、物理学以及工程技术中，一些常用的重要函数，如常数函数、线性函数、符号函数以及单位阶跃函数等等，都不能进行

Fourier

变换。

(2)周期函数的

Fourier

级数与非周期函数的

Fourier

变换都是用来对信号进行频谱分析的，它们之间能否统一起来。(3)在工程实际问题中，有许多瞬时物理量不能用通常的函数形式来描述，如冲击力、脉冲电压、质点的质量等等。一、为什么要引入单位脉冲函数细杆取的结果。长度为

a

，质量为

m

的均匀细杆放在

x

轴的

[

0

,a

]

区间引例上，则它的线密度函数为质量为

m的质点放置在坐标原点，则可认为它相当于

显然

,

该密度函数并没有反映出质点的任何质量信息

,

相应地，质点的密度函数为P126定义7.3

二、单位脉冲函数的概念及性质1.单位脉冲函数的概念(1)当时，(2)显然，借助单位脉冲函数，前面引例中质点的密度函数定义单位脉冲函数

满足：单位脉冲函数又称为

Dirac

函数或者

函数。就可表示为当时，二、单位脉冲函数的概念及性质1.单位脉冲函数的概念(1)单位脉冲函数并不是经典意义下的函数，而是一个广义函数(或者奇异函数)，它不能用通常意义下的“值的对应关系”来理解和使用，而总是通过它的性质注来使用它。(2)单位脉冲函数有多种定义方式，前面给出的定义方式是由Dirac(狄拉克)给出的。单位脉冲函数其它定义方式二、单位脉冲函数的概念及性质2.单位脉冲函数的性质(2)对称性质

函数为偶函数，即(1)

筛选性质

性质设函数是定义在上的有界函数，且在处连续，则一般地，若在点连续，则P127性质

1

P127性质

3

函数的图形表示方式非常特别，通常采用一个从原点出发长度为

1

的有向线段来表示，同样有，函数的脉冲强度为

A。代表函数的积分值，称为脉冲强度。

二、单位脉冲函数的概念及性质3.单位脉冲函数的图形表示t1t1tA

其中有向线段的长度三、单位脉冲函数的

Fourier

变换

由此可见，单位脉冲函数包含所有频率成份，且它们具有利用筛选性质，可得出函数的

Fourier

变换：

[]即与1构成Fourier变换对

相等的幅度，称此为均匀频谱或白色频谱。t1w

1[]P128

重要公式

称这种方式的

Fourier

变换是一种广义的Fourier变换。在函数的

Fourier

变换中，其广义积分是根据函数的注性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的，三、单位脉冲函数的

Fourier

变换按照

Fourier

逆变换公式有解[](1)(2)将等式的两边对

求导，有[]即得解[](1)(2)由，[]有[]+[]w

二、卷积与卷积定理

三、傅里叶变换的应用

一、傅里叶变换的基本性质

§7.3Fourier变换的性质四、利用

Matlab

实现

Fourier

变换*一、傅里叶变换的基本性质且所涉及到的函数的Fourier在下面给出的基本性质中，变换均存在，1.线性性质设

a

,b

为常数，则性质对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等)的次序交换问题，均不另作说明。直接进入基本性质汇总？证明(略)

2.位移性质设

为实常数，则性质(时移性质)

(频移性质)

(2)同理，可得到频移性质。(1)(2)证明(1)令一、傅里叶变换的基本性质

时移性质表明：当一个信号沿时间轴移动后，各频率成份

频移性质则被用来进行频谱搬移，这一技术在通信系统中的大小不发生改变，但相位发生变化；得到了广泛应用。一、傅里叶变换的基本性质2.位移性质设

为实常数，则性质(时移性质)

(频移性质)

(1)(2)令证明(1)当时，(2)当时，同理可得性质3.相似性质一、傅里叶变换的基本性质

相似性质表明，事实上，在对矩形脉冲函数的频谱分析中(§7.1)已知，脉冲越窄，则其频谱(主瓣)越宽;脉冲越宽，则其频谱(主瓣)越窄。相似性质正好体现了脉冲宽度与频带宽度之间的反比关系。若信号被压缩则其频谱被扩展；若信号被扩展

则其频谱被压缩。性质3.相似性质一、傅里叶变换的基本性质相似性质表明这两者是矛盾的，因为同时压缩脉冲宽度和在电信通讯中，为了有效地利用信道，希望信号的频带宽度要窄。为了迅速地传递信号，希望信号的脉冲宽度要小；频带宽度是不可能的。性质3.相似性质一、傅里叶变换的基本性质4.微分性质若

则性质证明

由有一、傅里叶变换的基本性质一般地，若则记忆由4.微分性质若

则性质一、傅里叶变换的基本性质记忆由上式可用来求的

Fourier

变换．4.微分性质

同理，可得到像函数的导数公式

一、傅里叶变换的基本性质证明令则由微分性质有又有即得性质5.积分性质一、傅里叶变换的基本性质6.帕塞瓦尔(Parseval)等式证明由有右边=

左边

.一、傅里叶变换的基本性质一、傅里叶变换的基本性质(汇总)线性性质相似性质位移性质(时移性质)

(频移性质)

Parseval

等式积分性质微分性质(

直接进入

Parseval

等式举例?)一、傅里叶变换的基本性质(汇总)例设求解已知根据线性性质和频移性质有又设

求例根据微分性质有解令则又已知解设矩形脉冲函数由于被积函数为偶函数，已知的频谱为由

Parserval

等式有故有P133

例4

练习

设求令于是由可知所以

实际上,只要记住下面五个傅里叶变换,则所有的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的性质导出.即二、卷积与卷积定理广义积分对任何实数t都收敛，函数为与的卷积，记为1.卷积的概念与运算性质设函数与在区间上有定义，定义如果它在

上定义了一个自变量为t的函数，则称此P133定义

7.4

二、卷积与卷积定理1.卷积的概念与运算性质性质(1)交换律(2)结合律

(3)分配律P134

解(1)当时，t(2)当时，将函数反褶并平移到

t

，得到

从上面的例子可以看出(2)卷积由反褶、平移、相乘、积分四个部分组成。因此，卷积又称为褶积或卷乘。(1)在计算一些分段函数的卷积时，如何确定积分限是解题另外，利用卷积满足交换律这一性质，适当地选择两个函数的关键。再与函数相乘后求积分，得到卷积的卷积次序，还可以使积分限的确定更直观一些。如果采用图形方式则比较容易确定积分限。即首先(1)当时，解由卷积的定义及性质有221t221221t(2)当时，解由卷积的定义及性质有221221t(3)当时，解由卷积的定义及性质有221综合得解由卷积的定义及性质有221证明同理可证

(B)

式。二、卷积与卷积定理2.卷积定理P134定理

7.3

二、卷积与卷积定理3.卷积的物理意义*设有某信号为问题试将该信号的低频成份完全保留，而高频成份完全去掉，即对其进行理想低通滤波。(1)如何从收到的实际信号中分离出“想要”的某个频带背景内的信号。(2)如何从收到的实际信号中消除在传输过程中加入的高频干扰噪声。(跳过?)二、卷积与卷积定理3.卷积的物理意义方法*(1)求出信号频谱函数显然，新的信号中完全保留了原信号中频率低于

a

的频率成份，而去掉了频率高于

a

的频率成份。方法一

在频率域中实现

(2)令(理想低通滤波器)

(3)将与相乘，得到(4)对作

Fourier

逆变换，得到二、卷积与卷积定理3.卷积的物理意义方法*由卷积定理，信号

与方法一中信号

是一样的，方法二

在时间域中实现

(1)令(理想低通滤波器)

(2)求(理想低通滤波因子)

(3)计算卷积与

分别又称为频率响应函数与冲激响应函数。

注这正是卷积的意义和价值。令则解方法一利用卷积定理求解P135

例7变(跳过?)解令则方法二利用频移性质求解又根据频移性质有前面已经通过一些例子介绍了Fourier变换在频谱分析中的应用.下面再给出一个讨论在信息传输中不失真问题的例子.例

任何信息的传输,不论电话、电视或无线电通信,一个基本问题是要求不失真地传输信号,所谓信号不失真是指输出信号与输入信号相比,只是大小和出现时间不同，而没有波形上的变化.三、傅里叶变换的应用设输入信号为f(t),输出信号为g(t),信号不失真的条件就是其中K为常数，t0是滞后时间.从频率响应来看,为了使信号不失真.应该对电路的传输函数H(w)提出一定的条件.传输函数H(w)f(t)g(t)设F(w)和G(w)分别是输入信号f(t)和输出信号

g(t)的Fourier变换.传输函数H(w)G(w)g(t)f(t)F(w)由Fourier变换的可得这说明,如果要求信号通过线性电路时不产生任何失真,在信号的全部通频带内电路的频率响应必须具有故要求传输函数恒定的幅度特性和线性的位相特性.最后介绍应用Fourier变换求解某些数学物理方程(偏微分方程)的方法.在应用Fourier变换求解偏微分方程时,首先将未知函数看做某个自变量的一元函数,对方程两端取Fourier变换,把偏微分方程转化成未知函数为像函数的常微分方程,再利用所给的条件求常微分方程,得到像函数后,再求Fourier逆变换,即得到偏微分方程的解.Fourier变换的应用(微分、积分方程的Fourier变换解法)微分、积分方程取Fourier变换象函数的代数方程解代数方程象函数取Fourier逆变换象原函数(方程的解)在数学软件

Matlab

的符号演算工具箱中，提供了专用函数来进行

Fourier

变换与

Fourier

逆变换。(1)F

=

fourier

(

f

)对函数

f(

x

)

进行Fourier变换，四、利用

Matlab

实现

Fourier

变换*对并返回结果

F

(

w

)。

(2)f

=

ifourier

(

F

)对函数

F

(

w

)

进行Fourier逆变换，对并返回结果

f

(

x

)。

补

(跳过?)求函数的

Fourier

变换。例解Matlab

程序clear;symsareal;symsx;f=cos(a*x);F=fourier

(

f

)；其中，Dirac

为函数，pi

代表F

=

pi

*

Dirac

(w

-

a)+pi

*

Dirac

(w

+

a)输出即解Matlab

程序求函数的

Fourier

变换。例clear;symsareal;symsx;F=fourier

(

f

)；f=a*sin(a*x)/(pi*a*x);输出F=1/pi*(1/2*pi*(Heaviside(-w+a)-Heaviside(w-a))-1/2*pi*(Heaviside(-w-a)-Heaviside(w+a)))其中，pi

代表Heaviside

为单位阶跃函数，求函数的

Fourier

变换。例其中，pi

代表输出F=1/pi*(1/2*pi*(Heaviside(-w+a)-Heaviside(w-a))-1/2*pi*(Heaviside(-w-a)-Heaviside(w+a)))Heaviside

为单位阶跃函数，即解解Matlab

程序例已知函数频谱为求clear;symsareal;symsw;f=ifourier

(

F

)；F=1/(a+j*w);输出f=exp(-a*x)*Heaviside

(x)其中，exp

为指数函数。Heaviside

为单位阶跃函数，即求解数学物理方程本章内容总结线性性质对称性质相似性质翻转性质时移性质频移性质时域微分频域微分积分性质卷积性质Fourier变换d函数的Fourier变换基本性质时移性质频移性质微分性质反演公式本章的重点2.会求简单的Fourier变换1.Fourier

变换的定义及其性质第七章完历史回顾——Fourier级数

附：

1807年12月12日，在法国科学院举行的一次会议上，Fourier

宣读了他的一篇关于热传导的论文，