河北中考数学复习 第7讲　一元二次方程

8/8第7讲一元二次方程1.(2019,河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式时,对于b2－4ac>0的情况,她是这样做的：由于a≠0,方程ax2＋bx＋c＝0变形为：x2＋eq\f(b,a)x＝－eq\f(c,a),…第一步x2＋eq\f(b,a)x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2a)))eq\s\up12(2)＝－eq\f(c,a)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2a)))eq\s\up12(2),…第二步eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))eq\s\up12(2)＝eq\f(b2－4ac,4a2),…第三步x＋eq\f(b,2a)＝eq\f(\r(b2－4ac),4a)(b2－4ac>0),…第四步x＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a).…第五步(1)嘉淇的解法从第四步开始出现错误；事实上,当b2－4ac>0时,方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是〔x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)〕；(2)用配方法解方程：x2－2x－24＝0.【思路分析】此题考查了用配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：(1)形如x2＋px＋q＝0型．第一步,移项,把常数项移到方程右边；第二步,配方,左、右两边加上一次项系数一半的平方；第三步,左边写成完全平方式；第四步,直接开方即可．(2)形如ax2＋bx＋c＝0型．方程两边同时除以二次项系数,即化成x2＋px＋q＝0型,然后配方．解：(1)四x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)(2)移项,得x2－2x＝24.配方,得x2－2x＋1＝24＋1,即(x－1)2＝25.开方,得x－1＝±5.∴x1＝6,x2＝－4.2.(2019,河北)假设关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根,那么a的取值范围是(B)A.a＜1 B.a＞1 C.a≤1 D.a≥1【解析】∵关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根,∴b2－4ac＝22－4×1×a＜0.解得a＞1.3.(2019,河北)a,b,c为常数,且(a－c)2>a2＋c2,那么关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是(B)A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根C.无实数根 D.有一根为0【解析】由(a－c)2>a2＋c2得出－2ac＞0,∴Δ＝b2－4ac＞0.∴方程有两个不相等的实数根．一元二次方程的概念及解法例1解以下方程：(1)x2－2x－1＝0；(2)x2－1＝2(x＋1)；(3)x2＋3x＝－eq\f(1,4).【思路分析】根据所给方程的形式,选择适宜的方法解方程．解：(1)a＝1,b＝－2,c＝－1.Δ＝b2－4ac＝4＋4＝8＞0.∴方程有两个不相等的实数根．∴x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq\f(2±2\r(2),2)＝1±eq\r(2),即x1＝1＋eq\r(2),x2＝1－eq\r(2).(2)移项,得x2－1－2(x＋1)＝0,(x＋1)(x－1)－2(x＋1)＝0,因式分解,得(x＋1)(x－1－2)＝0,于是,得x＋1＝0或x－3＝0.∴x1＝－1,x2＝3.(3)配方,得x2＋3x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝－eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝2.由此可得x＋eq\f(3,2)＝±eq\r(2).∴x1＝－eq\f(3,2)＋eq\r(2),x2＝－eq\f(3,2)－eq\r(2).针对训练1(2019,邯郸一模)用配方法解一元二次方程2x2－4x－2＝1的过程中,变形正确的选项是(C)A.2(x－1)2＝1 B.2(x－2)2＝5C.(x－1)2＝eq\f(5,2) D.(x－2)2＝eq\f(5,2)【解析】2x2－4x－2＝1,2x2－4x＝3,x2－2x＝eq\f(3,2),x2－2x＋1＝eq\f(3,2)＋1,(x－1)2＝eq\f(5,2).也可以把各选项中的方程展开化为一般形式,和题干中的方程做比照.一元二次方程根的判别式例2(2019,扬州)如果关于x的方程mx2－2x＋3＝0有两个不相等的实数根,那么m的取值范围是〔m＜eq\f(1,3)且m≠0〕.【解析】∵方程有两个不相等的实数根,∴4－12m>0.解得m<eq\f(1,3).但当m＝0时,原方程不是一元二次方程,所以m≠0.针对训练2(2019,石家庄桥西区一模)常数a,b,c在数轴上的位置如下图,那么关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是(B)训练2题图A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根C.无实数根 D.无法确定【解析】从数轴上可知,a,c异号,那么b2－4ac>0,所以方程有两个不相等的实数根.针对训练3(2019,张家口桥东区模拟)假设关于x的一元二次方程eq\f(\r(3),4)x2＋eq\r(3)x＋tanα＝0有两个相等的实数根,那么锐角α等于(D)A.15° B.30° C.45° D.60°【解析】∵方程有两个相等的实数根,∴Δ＝(eq\r(3))2－4×eq\f(\r(3),4)×tanα＝0.解得tanα＝eq\r(3).∴α＝60°.一元二次方程的实际应用例3(2019,宜昌,导学号5892921)某市创立“绿色开展模范城市〞,针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放,分别用“生活污水集中处理〞(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级〞(下称乙方案)进行治理．假设江水污染指数记为Q,沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工),从当年开始,所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算,第一年有40家工厂用乙方案治理,共使Q值降低了12.经过三年治理,境内长江水质明显改善．(1)求n的值；(2)从第二年起,每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家,求m的值,并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；(3)该市生活污水用甲方案治理,从第二年起,每年因此降低的Q值比上一年都增加一个相同的数值a.在(2)的情况下,第二年,用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年用甲方案治理降低的Q值相等．第三年,用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．【思路分析】(1)平均数×数量＝总数．(2)按相同增长率,第一年40家,第二年40(1＋m)家,第三年40(1＋m)2家,三年总和等于190家列方程求解即可．(3)先求出第二年用甲方案治理降低的Q值,再根据第三年用甲方案使Q值降低了39.5,列方程组求解即可．解：(1)∵40n＝12,∴n＝0.3.(2)根据题意,得40＋40(1＋m)＋40(1＋m)2＝190.解得m1＝eq\f(1,2),m2＝－eq\f(7,2)(舍去)．∴m＝50%.∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为40(1＋m)＝40×(1＋50%)＝60(家)．(3)设第一年用甲方案治理降低的Q值为x.第二年Q值用乙方案治理降低了100n＝100×0.3＝30.根据题意,得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋a＝30,,x＋2a＝39.5.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20.5,,a＝9.5.))针对训练4(2019,白银)如图,某小区方案在一块长为32m、宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570m2.假设设道路的宽为xm,那么下面所列方程正确的选项是(A)训练4题图A.(32－2x)(20－x)＝570 B.32x＋2×20x＝32×20－570C.(32－x)(20－x)＝32×20－570 D.32x＋2×20x－2x2＝570【解析】设道路的宽为xm．根据题意,得(32－2x)(20－x)＝570.针对训练5(2019,眉山)某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品生产76件,每件利润10元．调查说明：生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元．(1)假设生产的某批次蛋糕产品每件利润为14元,此批次蛋糕产品属第几档次产品？(2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件．假设生产的某档次产品一天的总利润为1080元,该烘焙店生产的是第几档次的产品？【思路分析】(1)利润增加的量除以2即为档次提高的量．(2)设生产的是第x档次产品,那么相应的产量是76－4(x－1),每件利润是10＋2(x－1)；等量关系是：每件利润×产量＝总利润．解：(1)(14－10)÷2＋1＝3(档次)．答：此批次蛋糕产品属第三档次产品．(2)设该烘焙店生产的是第x档次的产品．根据题意,得[76－4(x－1)][10＋2(x－1)]＝1080.整理,得x2－16x＋55＝0.解得x1＝5,x2＝11(不合题意,舍去)．答：该烘焙店生产的是第五档次的产品．一、选择题1.关于x的方程x2－mx＋3＝0的一个解为x＝－1,那么m的值为(A)A.－4 B.4 C.－2 D.2【解析】把x＝－1代入原方程,得m＝－4.2.(2019,石家庄28中质检)假设x2＋4x－4＝0,那么3(x－2)2－6(x＋1)(x－1)的值为(B)A.－6 B.6 C.18 D.30【解析】条件转化为x2＋4x＝4,原式＝－3x2－12x＋18＝－3(x2＋4x)＋18＝6.3.(2019,石家庄40中二模)用配方法解方程x2＋x－1＝0,配方后所得方程是(C)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,4) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,4)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,4) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,4)【解析】配方过程x2＋x＝1,x2＋x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＝eq\f(5,4).4.(2019,唐山路南区一模)关于x的方程x2＋mx－1＝0的根的判别式的值为5,那么m的值为(D)A.±3 B.3 C.1 D.±1【解析】根据题意,得Δ＝m2＋4＝5.解得m＝±1.5.(2019,唐山丰南区一模)现定义运算“★〞,对于任意实数a,b,都有a★b＝a2－a·b＋b.如：3★5＝32－3×5＋5.假设x★2＝10,那么实数x的值为(C)A.－4或－1 B.4或－1 C.4或－2 D.－4或2【解析】根据题意,得x★2＝x2－2x＋2.∴x2－2x＋2＝10.解得x1＝4,x2＝－2.6.(2019,唐山路南区二模)以下方程中,没有实数根的是(D)A.x2－2x＝0 B.x2－2x－1＝0C.x2－2x＋1＝0 D.x2－2x＋2＝0【解析】选项A,Δ＝4>0；选项B,Δ＝8>0；选项C,Δ＝0；选项D,Δ＝－4<0.7.(2019,娄底)关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是(A)A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.无实数根 D.不能确定【解析】∵Δ＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－〔k＋3〕))2－4k＝k2＋2k＋9＝(k＋1)2＋8>0,∴方程有两个不相等的实数根．8.(2019,定西)关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根,那么k的取值范围是(C)A.k≤－4 B.k＜－4C.k≤4 D.k＜4【解析】因为方程有实数根,所以Δ＝16－4k≥0.解得k≤4.9.(2019,桂林)关于x的一元二次方程2x2－kx＋3＝0有两个相等的实数根,那么k的值为(A)A.±2eq\r(6) B.±eq\r(6)C.2或3 D.eq\r(2)或eq\r(3)【解析】因为方程有两个相等的实数根,所以Δ＝k2－24＝0.解得k＝±2eq\r(6).10.(2019,秦皇岛海港区模拟)某城市2019年底已有绿化面积300hm2,经过两年绿化,绿化面积逐年增加,到2019年底已到达363hm2.设绿化面积的年平均增长率为x.根据题意,所列方程正确的选项是(B)A.300(1＋x)＝363 B.300(1＋x)2＝363C.300(1＋2x)＝363 D.363(1－x)2＝300【解析】2019年底的绿化面积是300(1＋x)hm2,2019年底的绿化面积是300(1＋x)2hm2,可得方程．11.(2019,绵阳)在一次酒会上,每两人都只碰一次杯．假设一共碰杯55次,那么参加酒会的有(C)A.9人 B.10人 C.11人 D.12人【解析】设参加酒会的有x人,那么每人碰杯(x－1)次．因为每两人都只碰一次杯,所以共碰杯eq\f(x〔x－1〕,2)次,得方程eq\f(x〔x－1〕,2)＝55,取正根x＝11.二、填空题12.(2019,淮安)一元二次方程x2－x＝0的根是x1＝0,x2＝1.【解析】x(x－1)＝0,得x1＝0,x2＝1.13.(2019,秦皇岛海港区模拟)x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根,那么m2＋2mn＋n2的值为1.【解析】把x＝1代入方程,得m＋n＝－1,那么m2＋2mn＋n2＝(m＋n)2＝1.14.(2019,南充)假设2n(n≠0)是关于x的方程x2－2mx＋2n＝0的根,那么m－n的值为〔eq\f(1,2)〕.【解析】把x＝2n代入方程,得(2n)2－2m·2n＋2n＝0,变形为2n(2n－2m＋1)＝0,∵2n≠0,∴2n－2m＋1＝0.∴m－n＝eq\f(1,2).15.(2019,邵阳)关于x的方程x2＋3x－m＝0的一个解为x＝－3,那么它的另一个解是x＝0.【解析】把x＝－3代入方程解得m＝0,那么原方程为x2＋3x＝0,可求出另一个解是x＝0.16.(2019,唐山丰南区一模)假设关于x的方程x2－6x＋c＝0有两个相等的实数根,那么c的值为9.【解析】因为方程有两个相等的实数根,所以Δ＝36－4c＝0.解得c＝9.17.(2019,威海)关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实数根,那么m的最大整数值是4.【解析】因为方程有实数根,所以Δ＝4－8(m－5)≥0.解得m≤eq\f(11,2).又因为m≠5,所以m的最大整数值是4.三、解答题18.解以下方程：(1)x2－3x＋1＝0；(2)x2－2x＝6－3x；(3)(2x＋3)2＝8.【思路分析】针对各个方程的特点,选择适当的解法．(1)用公式法．(2)用因式分解法．(3)用直接开平方法．解：(1)这里a＝1,b＝－3,c＝1.∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×1＝5＞0,∴x＝eq\f(3±\r(5),2),即x1＝eq\f(3＋\r(5),2),x2＝eq\f(3－\r(5),2).(2)原方程可化为x(x－2)＝－3(x－2)．移项,因式分解,得(x－2)(x＋3)＝0.于是,得x－2＝0或x＋3＝0.x1＝2,x2＝－3.(3)2x＋3＝±2eq\r(2),2x＝±2eq\r(2)－3,x1＝eq\f(－3＋2\r(2),2),x2＝eq\f(－3－2\r(2),2).19.(2019,北京)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0.(1)当b＝a＋2时,利用根的判别式判断方程根的情况；(2)假设方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根．【思路分析】(1)把b＝a＋2代入根的判别式,判断出正负即可．(2)由Δ＝0得出a,b之间的关系,任取一组符合条件的值,再解方程．解：(1)Δ＝b2－4a＝(a＋2)2－4a＝a2＋4＞0,所以方程有两个不相等的实数根．(2)∵方程有两个相等的实数根,∴Δ＝b2－4a＝0.令b＝2,a＝1,此时方程为x2＋2x＋1＝0,∴x1＝x2＝－1.20.【发现思考】等腰三角形ABC的两边长分别是方程x2－7x＋10＝0的两个根,求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？如下图的是涵涵的作业,老师说他的做法有错误,请你找出错误之处并说明错误原因．【探究应用】请解答以下问题：等腰三角形ABC的两边长是关于x的方程x2－mx＋eq\f(m,2)－eq\f(1,4)＝0的两个实数根．(1)当m＝2时,求等腰三角形ABC的周长；(2)当△ABC为等边三角形时,求m的值．涵涵的作业解：x2－7x＋10＝0.a＝1,b＝－7,c＝10.∵b2－4ac＝9＞0,∴x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq\f(7±3,2).∴x1＝5,x2＝2.∴当腰为5,底为2时,等腰三角形的三条边长分别为5,5,2.当腰为2,底为5时,等腰三角形的三条边长分别为2,2,5.第20题图【思路分析】一要检查解方程的过程和结果,二要考虑方程的解是三角形的边,需满足任意两边之和大于第三边．解：【发现思考】错误之处：当腰为2,底为5时,等腰三角形的三条边长分别为2,2,5.错误原因：此时不能构成三角形(或不符合三角形的三边关系)．【探究应用】(1)当m＝2时,方程为x2－2x＋eq\f(3,4)＝0.解得x1＝eq\f(1,2),x2＝eq\f(3,2).当eq\f(1,2)为腰时,因为eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)<eq\f(3,2),所以不能构成三角形．当eq\f(3,2)为腰时,等腰三角形的三边长分别为eq\f(3,2),eq\f(3,2),eq\f(1,2).此时周长为eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,2).(2)假设△ABC为等边三角形,那么方程有两个相等的实数根．∴Δ＝m2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)－\f(1,4)))＝m2－2m＋1＝0.∴m1＝m2＝1,即m的值为1.21.(2019,盐城)一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件赢利40元．为了扩大销售、增加赢利,该店采取了降价措施,在每件赢利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件．(1)假设降价3元,那么平均每天可售出26件；(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天的销售利润为1200元？【思路分析】(1)20＋3×2＝26.(2)设降价x元,那么销量为(20＋2x)件,每件赢利(40－x)元．等量关系是每件赢利×销量＝总赢利．最后要选择符合条件的解．解：(1)26(2)设每件商品降价x元时,该商店每天的销售利润为1200元,那么平均每天售出(20＋2x)件,每件赢利(40－x)元,且40－x≥25,即x≤15.根据题意,得(40－x)(20＋2x)＝1200.整理,得x2－30x＋200＝0.解得x1＝10,x2＝20(舍去)．答：当每件商品降价10元时,该商店每天的销售利润为1200元．22.(2019,德州)为积极响应新旧动能转换,提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备,每台设备的本钱价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台；每台售价为45万元时,年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系．(1)求年销售量y与销售单价x之间的函数关系式；(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元．如果该公司想获得10000万元的年利润,那么该设备的销售单价应定为多少万元？【思路分析】(1)用待定系数法求一次函数关系式．(2)等量关系是：每台利润×销量＝总利润．根据条件决定方程的根的取舍．解：(1)设年销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．将(40,600),(45,550)代入y＝kx＋b,得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40k＋b＝600,,45k＋b＝550.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－10,,b＝1000.))∴年销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝－10x＋1000.(2)设该设备的销售单价应定为x万元,那么每台设备的利润为(x－30)万元,销售量为(－10x＋1000)台．根据题意,得(x－30)(－10x＋1000)＝10000.整理,得x2－130x＋4000＝0.解得x1＝50,x2＝80.∵此设备的销售单价不得高于70万元,∴x＝50.答：该设备的销售单价应定为50万元．1.(2019,福建A,导学号5892921)一元二次方程(a＋1)x2＋2bx＋(a＋1)＝0有两个相等的实