微观经济学生产(下)

第5章生产（下）1/12/20231目录三、利润最大化

四、成本最小化五、有效率的生产六、企业目标七、单一产出情况下成本与供给的几何描述1/12/20232利润最大化假设：1.存在一个涉及L种商品的价格向量，用p=(p1,…,pL)»0表示。

2.价格既定，单个厂商的产量/销售量变动不影响价格。3.再重复一次，厂商目标是利润最大化。4.生产集满足非空的、闭的和自由处置的性质。

1/12/20233利润最大化（续）在给定价格向量p»0和以生产集Y表示的技术约束，厂商的利润最大化问题（PMP）可以表述为：

p·y

s.t.y∈Y用转换函数F(·)来描述，利润最大化问题可等价表述为

p·y

s.t.F(y)≤01/12/20234利润最大化（续二）给定生产集Y后，对应于价格向量p，厂商试图找出利润函数π(p)最大值π(p)=Max{p·y:y∈Y}，这就是利润最大化问题的解。相应地，我们定义厂商在价格向量p上的供给对应（用y(p)表示）为利润最大化向量的集合y(p)={y∈Y:p·y=π(p)}。

1/12/20235图5.C.1利润最大化问题

1/12/20236利润最大化（续三）图5.C.1描述了一个严格凸的利润最大化供给。前面在介绍这类用生产集和转换边界来分析问题的图（图5.B.1）时，我们说过，图中横轴和纵轴各代表一种产出。。原点并非位于横轴和纵轴的交点，而在交点左下方。整个图表示给定投入品种类（不止一种）及数量条件下的可行生产集。在这里，我们作进一步说明：1/12/20237利润最大化（续四）第一，总利润=总收益-总成本。第二，由于在转换边界上，所有的投入都得到充分利用，因此，在投入品价格为既定的条件下，转换边界就代表了等（总）成本线。

1/12/20238利润最大化（续五）第三，如图所示，图上两条直线的斜率绝对值等于横轴和纵轴所代表产出的价格比。这意味着在这两条直线上，产出1每增加一个单位，厂商总收益增加p1；同时产出2减少p1/p2单位，厂商总收益相应减少(p1/p2)·p2=p1。两者相等。可见，对厂商来说，这两条直线是等（总）收益线。1/12/20239利润最大化（续六）第四，两条等收益线中，实线位于虚线右上方。这意味着前者代表的总收益水平比后者高。为了增加利润，厂商应该选择与转换边界相交或相切的等收益线中最右上方的一条。图5.C.1中的最优向量y(p)就是位于生产集边界即转换边界与等收益线的切点上。

1/12/202310利润最大化（续七）利润最大化的生产向量未必只有一个，因此供给对应中可能包含多个元素。

在厂商是价格接受者的假设下，不存在利润函数最大化的生产向量也是可能的，比如产品价格总大于投入价格，那么多生产一单位产品就会增加利润，从而使π(p)=+∞。

1/12/202311利润最大化（续八）如果转换函数F(·)是可微的，那么可以用一阶条件来刻画利润最大化问题的解。如果y*∈y(p)，那么，对于某一λ≥0，y*必须满足一阶条件

，其中l=1,…,L

或者，等价地写成矩阵形式p=λ▽F(y*)(5.C.1)

1/12/202312利润最大化（续九）换句话说，价格向量p与梯度▽F(y*)是成比例的。根据5.C.1式，可以得出以下比率等式：对于所有的l和k，有pl/pk=MRTlk(y*)。1/12/202313图5.C.1利润最大化问题

1/12/202314利润最大化（续十）当L=2时，按照教材的说法，它的含义是转换边界在代表利润最大化的点处的斜率必须等于价格比率的负值。我认为，转换边界代表的是总成本，其斜率则代表边际成本；斜率绝对值为两轴所代表产出价格之比的直线代表的是总收益，其斜率则代表边际收益。在初级经济学与中级微观经济学中，边际成本等于边际收益被称为利润最大化条件。

1/12/202315利润最大化（续十一）利润最大化时，总成本等于总收益，并不意味着厂商没有利润。正常利润作为生产要素之一的管理带来的报酬。它以机会成本的形式，包括在成本当中。解释，如果老板聘用经理，至少要得到聘用同样经理人（不会创新，但会正常管理）可以得到的利润。经理人的收入则由人才市场供求决定。因此，0利润意味着厂商得到了正常利润。1/12/202316利润最大化（续十二）如果Y对应的是某一具有可微生产函数f(z)的单一产出技术，那么，可以把厂商决策看成对投入水平z的选择。在此特殊情况下，用标量p＞0代表产出品的价格，用向量w»0代表投入品的价格，给定(p,w)，如果投入品向量z*是以下问题的解：则可以说该向量z*使得利润最大化。

1/12/202317利润最大化（续十三）如果z*是最优的，那么对于l=1,…,L-1，如下一阶条件必须得到满足：

，当zl*＞0时，等号成立。或者，写成矩阵形式，p▽f(z*)≤w

且[p▽f(z*)-w]·z*=0(5.C.2)1/12/202318利润最大化（续十四）zl*＞0，意味着投入品l被实际使用。此时，投入一单位l的边际产量，必须等于投入品与产品的相对价格wl/p。例如，投入品的价格为6，产出品的价格为2，则投入品的使用量必须维持在其边际产品为3的水平。

1/12/202319利润最大化（续十五）对于任意两种投入l和k，若(zl*,

zk*)»0，那么，5.C.2式暗含着MRTSlk=

wl/wk，即两种投入的边际技术替代率等于它们的价格比率。

如果生产集Y是凸的，则5.C.1式和5.C.2式所表示的一阶条件就是求解利润最大化问题的充要条件。

1/12/202320利润最大化（续十六）以下的命题5.C.1给出了利润函数和供给对应的性质。命题5.C.1

假设π(·)是生产集Y的利润函数，y(·)是相应的供给对应。假设Y是闭的，同时满足自由处置的性质。那么1.π(·)是一次齐次的。

2.π(·)是凸的。1/12/202321利润最大化（续十七）3.如果Y是凸的，那么Y={y∈RL:p·y≤π(p)，对于所有p»0}。4.y(·)是零次齐次的。

5.如果Y是凸的，那么对于所有的p，y(p)是一个凸集。进而，如果Y是严格凸的，那么y(p)是单值的。

1/12/202322利润最大化（续十八）6.（霍特林/豪泰林引理）(Hotelling'slemma)如果y()由一个单点组成，那么π(·)在处是可微的，且▽π()=y()。7.如果函数y(·)在处可微，那么Dy()=D2π()是一个对称的半正定矩阵，且Dy()=0。1/12/202323利润最大化（续十九）性质7.中，矩阵Dy(p)的半正定性（它是性质2.即π(·)凸性的结果）是供给法则的一般数学表述。供给法则的内容是：数量变化与价格变化是同方向的。根据符号习惯，这意味着在其它条件不变时，如果一种产品的价格上升，那么它的供给也会上升；如果一种投入品价格上升，则其需求量会下降。1/12/202324利润最大化（续二十）与需求相比，供给法则不受预算约束，也没有任何形式的补偿要求，即供给的变化只会导致替代效应，而不会导致财富效应。所以，对于任何价格变动，供给法则都是成立的。

在不可微的情况下，供给法则可以表述为

(p-p')·(y-y')≥0(5.C.3)1/12/202325成本最小化

为什么要研究成本最小化问题？首先，成本最小化是利润最大化的一个必要条件，厂商选择利润最大化生产集就是因为没有其它方法以更低的总成本生产出相同数量的产出。1/12/202326成本最小化（续）

其次，当在产出市场上厂商不再是价格接受者时，我们不能再用利润函数来分析。但只要厂商在投入品即要素市场上是价格接受者，成本分析仍然可以应用，成本最小化导出的结论依然成立。1/12/202327成本最小化（续二）

再其次，当生产集是规模报酬非递减时，成本最小化问题的价值函数和最优向量，比利润最大化问题的利润函数和供给对应更有研究意义。1/12/202328成本最小化（续三）

我们集中分析单一产出的情况。令z为非负的投入向量，f(z)为生产函数，q为产出数量，w»0为投入的价格向量。假设产出可以自由处置，则成本最小化问题(CMP)表述如下：

w·z

s.t.f(z)≥q

1/12/202329成本最小化（续四）

成本最小化问题的最优值由成本函数c(w,q)给出。相应的投入或要素选择的最优集合用z(w,q)表示，称为条件要素需求对应。如果z(w,q)总是取单值，则称为条件要素需求函数。之所以用“条件”一词，是因为要素需求有赖于产出水平q。

1/12/202330图5.C.2成本最小化问题

1/12/202331成本最小化（续五）图5.C.2(a)描述了两种投入条件下，成本最小化问题的解。图中的阴影区域代表至少能生产出q数量产出品的投入向量z的集合。它是至少生产q数量产出品的生产集Y的投影（投影到投入空间的正象限），如图5.C.2(b)所示。图5.C.2(a)中，解z(w,q)位于等成本线{z:w·z=c(w,q)}与等产量曲线f(z)=q的切点上。

1/12/202332成本最小化（续六）如果在成本最小化问题中，z*是最优的，且生产函数f(·)是可微的，那么对于某一λ≥0和每一种投入品l=1,…,L-1，如下一阶条件必须得到满足：

，当zl*＞0时，等号成立。或者，写成矩阵形式，

w≥λ▽f(z*)且

[w-λ▽f(z*)]·z*=0(5.C.4)1/12/202333成本最小化（续七）与利润最大化问题一样，如果生产集Y是凸的（即如果f(·)是凹的），则5.C.4式是z*为成本最小化问题最优解的充要条件。与利润最大化问题中的5.C.2式一样，5.C.4式意味着，对于任意两种投入l和k，若(zl,zk)»0，那么，MRTSlk=

wl/wk。跟以往一样，拉格朗日乘子λ等于生产的边际成本∂c(w,q)/∂q。1/12/202334成本最小化（续八）以下的命题5.C.2给出了成本函数和条件要素需求对应的性质。

命题5.C.2

假设c(w,q)是具有生产函数f(·)的单一产出技术Y的成本函数，且z(w,q)是相应的条件要素需求对应。假设Y是闭的并满足自由处置的性质。那么

1.c(·)对w是一次齐次的，对q是非递减的。

2.c(·)是w的凹函数。

1/12/202335成本最小化（续九）3.如果集合{z≥0:f(z)≥q}对于每一个q都是凸的，那么Y={(-z,q):w·z≥c(w,q)对于所有w»0均成立}。

4.z(·)对w是零次齐次的。

5.如果集合{z≥0:f(z)≥q}是凸的，那么z(w,q)是一个凸集。进而，如果{z≥0:f(z)≥q}是一个严格凸集，那么z(w,q)是单值的。

1/12/202336成本最小化（续十）6.（谢泼尔德引理）(Shepard'slemma)如果z(,q)由一个单点组成，那么c(·)在处对w是可微的，且▽wc(,q)=z(,q)。7.如果函数z(·)在处可微，那么Dwz(,q)=Dw2c(,q)是一个对称的半负定矩阵，且Dwz(,q)=0。1/12/202337成本最小化（续十一）8.若

f(·)是一次齐次的（即显示出不变的规模报酬），那么c(·)和z(·)对q都是一次齐次的。

9.若

f(·)是凹的，那么c(·)是q的凸函数（特别地，边际成本是q的非递减函数。

1/12/202338成本最小化（续十二）注意，这里与消费理论形式上极其相似。用u(·)代替

f(·)，u代替q，x代替z（即把生产函数阐释为效用函数），成本最小化问题就变成第3.E节中讨论过的支出最小化问题。根据这种重新阐释，命题5.C.2中，成本函数和条件要素需求对应的性质1.至7.可以从第3.E至3.G节的分析中得出。

1/12/202339成本最小化（续十三）当生产集属于不变的规模报酬时，成本函数特别有用。因为在此时，y(·)对于任何允许非零生产的价格向量都不是单值的，使得在这些价格上豪泰林引理不适用。但此时条件要素需求z(w,q)仍然可能是单值的，谢泼尔德引理仍可应用。

1/12/202340成本最小化（续十四）应用成本函数，可以把厂商的利润最大化产出水平决策问题重新表述为：

(5.C.5)q*是利润最大化解的必要的一阶条件是，当q*＞0时，等号成立。

(5.C.6)1/12/202341成本最小化（续十五）换句话说，当价格既定、单个厂商是价格接受者时，在内点最优解（即如果q*＞0）上，价格等于边际成本。如果c(w,q)是q的凸函数，则5.C.6式也是q*成为厂商最优产出水平的充分条件。本章以下四节内容中，E节不讲，先介绍F、G两节。D节比较容易，放在最后讲。如果时间不够，请根据PPT自学。1/12/202342有效率的生产命题5.F.1

如果y∈Y对于某个价格向量p»0是利润最大化的，y就是有效率的。

命题5.F.2

假设Y是凸的。那么，对于某个非0价格向量p≥0，每个有效率的生产计划y∈Y都是利润最大化的生产。

命题5.F.1和5.F.2分别是福利经济学第一基本定理和第二基本定理的一种形式。

1/12/202343企业目标微观经济学分析的隐含前提之一，是假设利润最大化是厂商——包括内部存在着不同利益集团的工商企业——的唯一目标，但实际情况并非如此。本教材注意到了这个问题。作者承认，把偏好最大化作为消费者理论的基础是合乎逻辑的；但对厂商的利润最大化假设来说，情况就不是这样。作者试图解决这一问题。

1/12/202344企业目标（续）首先，教材讨论有多个所有者的企业的情况。假设一家具有生产集Y的企业是由消费者拥有的（这点合乎逻辑，因为所有的所有者都是消费者）。其所有权被简单地解释为每个消费者i=1,…,I有权分得份额为θi≥0的利润，其中∑iθi=1（某些θi可以等于0）。1/12/202345企业目标（续二）因此，如果生产决策为y∈Y，那么，具有效用函数ui(·)的消费者i将获得效用水平

ui(x)s.t.p·xi≤wi+θip·y

其中，wi是消费者i的非利润财富。

1/12/202346企业目标（续三）在固定价格下，较高的利润可以增加消费者-所有者的总财富，从而扩大他的预算集，这是一个满意的结果。式中，消费者的利润与总收益p·y相联系，且∑iθi=1，这意味着教材假定成本=0。因而可以断定，在任何固定的价格向量p下，只要p·y'＞p·y，消费者-所有者就会一致偏好企业实施生产计划y'∈Y，而不是y∈Y。1/12/202347企业目标（续四）教材作者的结论是，如果维持接受既定价格的行为假定，那么，无论所有者的效用函数怎样，他们都会一致同意要求企业经理人使利润最大化。

1/12/202348企业目标（续五）我的疑问：所有者的利润分配如何进行？例如，如果大股东说了算，大股东会不会与企业经理人勾结起来，以成本的名义把利润放进自己口袋？此时小股东只能用脚投票，但没有多少分红的股票又能卖多少钱？

1/12/202349企业目标（续六）利润最大化目标有三条以前被认为是合理的隐含假设。它们是：价格固定且与企业行动无关；利润是确定的；以及企业所有者可以控制经理人。以下，我们分别来看这些假设。先看价格固定且与企业行动无关假设。如果价格与企业行动无关，那么，消费者-所有者当然影响不了产出的价格。1/12/202350企业目标（续七）但如果处于不完全竞争市场，企业就可以通过产出种类和水平的变化来影响诸产出的市场价格。此时，如果因为各人对不同产出的偏好不同，进而对各产出售价的看法不同，所有者在“企业生产什么？生产多少”这个问题上，就不会取得一致意见。1/12/202351企业目标（续八）但我认为，这个问题不难解决。原有企业一分为几，有共同偏好的所有者在一起办新企业，按照自己的心意决策就是了。再看利润确定假设。教材216页讨论了不确定性（实际是风险）的承担问题。

1/12/202352企业目标（续九）如果风险由企业承担（例如在现货市场销售农产品、因而承担农产品生产风险——包括生长过程中的自然灾害和蜂拥而上带来的价格暴跌风险——的农业合作社），那么，因为对风险的态度不同，所有者之间在是选择高利润高风险还是选择低风险低利润的生产计划的问题上无法取得一致。1/12/202353企业目标（续十）但如果风险不由企业承担（（例如在期货市场销售农产品），则所有者会一致追求利润最大化。最后看企业所有者可以控制经理人假设。这个假设最靠不住。股东需要经理人，而经理人有自己的目标。特别当所有权很分散、因而股东很难具备职业经理人的专门知识时，所有者往往控制不住经理人。1/12/202354单一产出下的几何描述在分析单一产出的情况时，用q代表产出数量，并将要素价格向量固定在»0的水平上。为了方便表述，将厂商的（总）成本函数写成C(q)=c(,q)；对于q＞0，将厂商的平均成本写成AC(q)=C(q)/q并假设导数存在；再将厂商的边际成本写成C'(q)=dC(q)/dq，即边际成本是总成本的一阶导数。1/12/202355单一产出下的几何描述（续）根据5.C.6式，对于给定的产出价格p，所有利润最大化的产出水平q∈q(p)，必须满足一阶条件（假设C'(q)存在）p≤C'(q)当q＞0时，等号成立

(5.D.1)如果生产集Y是凸的（生产集性质11.），在单一产出模型中，以z为投入向量而构成的生产函数f(z)（即平面图中的等产量曲线）就是凹的。1/12/202356单一产出下的几何描述（续二）根据命题5.C.2性质9.，此时成本函数c(·)是q的凸函数。所以，边际成本是非递减的。在这种情况下，如本章第三部分所指出的，如果生产集Y是凸的，则5.C.1式和5.C.2式所表示的一阶条件的满足对于确认利润q是价格p下利润最大化的产出水平是充分的。1/12/202357图5.D.1严格规模报酬递增的生产技术

1/12/202358单一产出下的几何描述（续三）图5.D.1和图5.D.2是凸的生产集的两个例子。图中，假设只有一种投入（一揽子投入），并将其价格标准化为1（可以把这种投入看成使用生产要素的总支出）。两图中，(a)图都是生产集图，其横轴为投入量、纵轴为产出量；1/12/202359单一产出下的几何描述（续四）(b)图都是（总）成本函数图，(c)图都是平均成本与边际成本图，(b)、(c)图的横轴都是产出量，纵轴都是成本/价格。图5.D.1(b)图说明了如何在给定产出水平的条件下，从成本函数中求出平均成本和边际成本。

1/12/202360图5.D.2规模报酬不变的生产技术

1/12/202361单一产出下的几何描述（续五）图5.D.2(b)图说明的也是相同的问题。只是在（总）成本函数为直线的条件下，AC(q)即C(q)/q的数值等同于C'(q)即dC(q)/dq。两图的(c)图及以下相关图中，均用粗黑线代表供给轨迹。

1/12/202362单一产出下的几何描述（续六）在产出价格为既定——即产出品市场为完全竞争市场——的条件下，供给轨迹即厂商的供给曲线就是特定区间的边际成本曲线。在这两张图上，所有区间的边际成本曲线都是供给曲线。教材202页上，这一点被称为“因为…生产技术是凸的，所以…供给轨迹与满足5.D.1式一阶条件的(q,p)组合恰好一致”。1/12/202363单一产出下的几何描述（续七）如果因为存在某种（生产设备的）不可分性，生产技术不是凸的，则满足5.D.1式一阶条件的q并非在任何条件下都能使利润最大化。满足利润最大化的供给轨迹仅为满足5.D.1式的(q,p)组合的集合中的一个子集。1/12/202364图5.D.3非凸的生产技术

1/12/202365单一产出下的几何描述（续八）图5.D.3描述了非凸的生产技术的情况。

图中分析的是微观经济学中的“长期”。

图中，起初是规模报酬递增，平均成本下降；然后是规模报酬递减，平均成本上升。与平均成本最低点相对应的产量水平称为有效率的规模。

如果该规模是唯一的，用来表示。如图5.D.3(b)、(c)所示，在点，AC()=C'()。

1/12/202366L型平均成本曲线图1/12/202367单一产出下的几何描述（续九）现实中，平均成本曲线可能如图，称为L型平均成本曲线。曲线上平均成本最低点不止一个。其中产量最低的qmin点，称为最低有效规模(minimumefficientscale)，或者意译为起点规模。

1/12/202368图5.D.3非凸的生产技术

1/12/202369单一产出下的几何描述（续十）在非凸的条件下，供给曲线（供给轨迹）见图5.D.3(c)中的粗黑线。它分成两段。

当p＞AC()时，为实现利润最大化，厂商在满足p(=C'(q))＞AC(q)的唯一的产出水平q点处生产。p=C'(q)时q点的轨迹构成图5.D.3(c)中与边际成本曲线C'(q)重合的供给曲线。此时厂商获得严格正利润。

1/12/202370单一产出下的几何描述（续十一）图中，p=C'(q)时的q点有两个，但在其中的一个q点上，p＜AC(q)，如教材203页所说，此时厂商获得严格负利润。但教材上把小于号写成大于号了，请纠正。当p＜AC()时，任何q＞0都获得严格负利润，所以厂商的最优供给是q=0。此时p＜C'(0)，q=0满足5.D.1式，因而q=0是利润最大化产出水平。

1/12/202371单一产出下的几何描述（续十二）当p=AC()时，厂商只能在0与这两个点中选择一个。图5.D.3(c)粗黑线中间的虚线不是供给轨迹的一部分。教材203页用{0,}表示这种非0即的集合。由此可见，厂商的供给轨迹或者出现在q=0时，或者出现在边际成本随q增加而上升的区间，而不可能出现在边际成本随q增加而下降的区间。

1/12/202372单一产出下的几何描述（续十三）非凸性的一个重要来源是固定的起动成本。它们可以是沉淀的（例如与生产无关的研发费用），也可以是非沉淀的（即不生产就不用支付）。

1/12/202373图5.D.4存在非沉淀起动成本情况下的严格凸的可变成本

1/12/202374单一产出下的几何描述（续十四）图5.D.4与图5.D.5描述了具有非沉淀的固定的起动成本的两种情况。两图中，厂商可以选择无为（不投入、0产出）；当且仅当产出大于0时，厂商才需要支付固定成本K，可变成本（即固定成本以外的成本）是凸的。

1/12/202375单一产出下的几何描述（续十五）此时，（总）成本函数的形式是：q=0时，C(0)=0（因此，在(b)图中，成本函数与纵轴的交点为空心圈，表示成本函数不包括交点）；q＞0时，C(q)=Cv(q)+K，其中K＞0，Cv(q)为可变成本函数。此外，(a)图中有投入而无产出的水平线，是生产集Y的一部分。1/12/202376单一产出下的几何描述（续十六）在图5.D.4中，Cv(·)是严格凸的。图中的供给轨迹与图5.D.3类似，当p≥AC()时，厂商利润等于或大于总成本即可变成本与固定成本K之和。只有在这种情况下，厂商才会生产数量为正的产出，否则产出为0。由于产出的变化仅与可变成本有关，所以C'(q)=dC(q)/dq=Cv'(q)=dCv(q)/dq，即边际成本既是总成本的一阶导数，又是总可变成本的一阶导数。

1/12/202377图5.D.5存在非沉淀起动成本下的不变规模报酬的可变成本

1/12/202378单一产出下的几何描述（续十七）在图5.D.5中，Cv(·)是线性的。但与图5.D.2相比，同样是可变成本部分的规模报酬不变，由于图5.D.2上总成本仅包括可变成本，因而在(c)图中，AC(q)≡C'(q)即Cv'(q)，两者都是水平线；而图5.D.5上总成本不仅包括可变成本、还包括固定成本K，因而(c)图中的AC(q)(=K/q+C'(q))总是大于C'(q)。这意味着如果生产，有效率的规模点→∞，而在到达这一点之前，最优点应该是q=0。1/12/202379图5.D.6存在沉淀成本情况下的严格凸的可变成本

1/12/202380单一产出下的几何描述（续十八）与图5.D.4不同，图5.D.6描述的是固定成本属于沉淀成本的情况。此时，不管厂商是否生产，它都必须支付K，因此，第一，C(0)＞0；第二，对于所有的q≥0，都有C(q)=Cv(q)+K。图5.D.6(b)中，成本函数与纵轴的交点为实心点，表示成本函数包括交点。

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