第五章弯曲应力

材料力学第五章弯曲应力电子科技大学于亚婷

§5–1

引言

§5–2

纯弯曲时的正应力

§5–3

横力弯曲时的正应力

§5–4

梁的切应力及强度条件

§5–5

提高梁强度的主要措施第五章弯曲应力现象1：工程中在安放矩形截面木梁时，一般总是将梁竖放，使其高度h大于宽度b。bhbh承载能力大承载能力小工程现象

现象2：在钢结构中，经常采用型钢梁如工字形梁，盒形梁等，而不使用方形梁。结论:梁的承载能力,不但取决于横截面面积,还取决于截面的形状和如何放置等因素。研究弯曲变形梁横截面上的应力分布规律对于合理设计梁的结构非常重要。No伽利略《关于两门新科学的对话与数学证明对话集》“我想再谈几句关于空中或中空的固体的抗力方面的意见，人类的技艺（技术）和大自然都在尽情地利用这种空心的固体。这种物质可以不增加重量而大大增加它的强度，这一点不难在鸟的骨头上和芦苇上看到。它们的重量很小，但是有极大的抗弯力和抗断力。麦杆所支持的麦穗重量，要超过整株麦茎的重量。假如与麦秆同样重量的物质却生成实心的而不是空心的，它的抗弯和抗断力就要大大减低。”mmFSM一、弯曲构件横截面上的应力当梁上有横向外力作用时,一般情况下,梁的横截面上既有弯矩M,又有剪力FS

.§5–1

引言mmFSmmM弯矩M

正应力s只有与正应力有关的法向内力元素

dFN=dA

才能合成弯矩剪力FS

切应力t内力只有与切应力有关的切向内力元素dFS=dA

才能合成剪力所以,在梁的横截面上一般既有正应力（NormalStress）又有切应力（shearstress）.二、分析方法平面弯曲时横截面

纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况)平面弯曲时横截面

横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况)s

ts

简支梁CD段任一横截面上,剪力等于零,而弯矩为常量,所以该段梁的弯曲就是纯弯曲.若梁在某段内各横截面的弯矩为常量,剪力为零,则该段梁的弯曲就称为纯弯曲。三、纯弯曲FFaaCD+-FF+F.a图5-1AB§5–2

纯弯曲时的正应力

变形的分布规律观察变形提出假设应力的分布规律建立公式实验变形几何关系物理关系静力关系一、实验1、变形现象纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长相对转过了一个角度,

仍与变形后的纵向弧线垂直各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，横向线纵向线横向线2、提出假设平面假设变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线(b)单向受力假设纵向纤维不相互挤压,只受单向拉压推论：必有一层变形前后长度不变的纤维——中性层（Neutralsurface）中性轴纵向对称面中性轴⊥

中性层纵向对称面观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴dx图（b）yzx应变分布规律直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比图（a）dx二、变形几何关系图（c）yρzyxo’o’b’b’ybboo三、物理关系所以Hooke’sLawMyzOx直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比应力分布规律?待解决问题中性轴的位置中性层的曲率半径ρ??观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴yzxOMdAzyσdA四、静力关系

横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系这一力系简化，得到三个内力分量中性层的曲率半径ρ中性轴的位置待解决问题FNMzMy内力与外力相平衡可得(1)(2)(3)将应力表达式代入(1)式，得将应力表达式代入(2)式，得将应力表达式代入(3)式，得中性轴通过横截面形心自然满足横截面对z轴的惯性矩观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴中性轴过横截面形心EIz称为抗弯刚度(Flexuralrigidity)纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:M为梁横截面上的弯矩y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩讨论

(1)应用公式时,一般将M,y

以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断

的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(

为正号).凹入边的应力为压应力(为负号).(2)最大正应力发生弯矩最大的截面上距离中性轴最远的点处则公式改写为引用记号——抗弯截面系数（1）当中性轴为对称轴时矩形截面实心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdyzy（2）对于中性轴不是对称轴的横截面M应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式求得相应的最大正应力注意：（1）在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪个截面上的正应力，从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩；以及所求的是该截面上哪一点的正应力，并确定该点到中性轴的距离。（2）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性分布的规律，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处正应力最大。（4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来确定。当梁上有横向力作用时,横截面上既有弯矩又有剪力。梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲。§5–3

横力弯曲时的正应力横力弯曲时,梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力使横截面发生翘曲,横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力,纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.一、横力弯曲虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异,但进一步的分析表明,工程中常用的梁,纯弯曲时的正应力计算公式,可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力.等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为二、公式的应用范围1、在弹性范围内3、平面弯曲（Planebending）4、直梁（Straightbeams）2、具有切应力的梁三、强度条件：梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力1、数学表达式2、强度条件的应用(2)设计截面(3)确定许可载荷(1)强度校核

说明：（1）最大弯曲正应力可能发生在最大正弯矩或负弯矩截面上，即危险截面。（2）最大弯曲正应力可能发生在危险截面上离中性轴最远的各点处，即危险点。（3）对于变截面梁而言，需要综合考虑M和Iz

。（4）对于塑性材料而言，由于材料的抗拉和抗压强度相同（如低碳钢），因此要求绝对值最大的弯曲正应力不超过材料的许用弯曲正应力。对等截面直梁来说，危险截面仅有一个，即|Mmax|所在截面，而截面上的危险点，即ymax

所在之点。（5）对脆性材料而言，由于材料的抗拉和抗压强度不等，因此要求最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力都不超过材料的许用弯曲拉应力和许用弯曲压应力。就关于中性轴不对称等截面直梁来说，危险截面有两个：正弯矩最大的截面和负弯矩最大的截面。而每个危险截面有两个危险点，即ymax

和ymin

所在之点。因此要满足全梁的强度，必须这些点的强度均满足。例题1螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a＝150mm，压板材料的弯曲许用应力[σ]＝140MP.试计算压板传给工件的最大允许压紧力F.ACBFa2a20φ30φ14FRAFRB+Fa解

(1)作出弯矩图的最大弯矩为Fa(2)求惯性矩，抗弯截面系数(3)求许可载荷380y1y22020120z例题2

T形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图所示.铸铁的抗拉许用应力为[t]=30MPa,抗压许用应力为[c]=160MPa.已知截面对形心轴Z的惯性矩为Iz

=763cm4,y1=52mm,校核梁的强度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m(1)确定危险截面（2）确定危险点的强度RARBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN.m2.5kN.m解最大正弯矩在截面C上最大负弯矩在截面B上

B截面（上拉下压）C截面（上压下拉）80y1y22020120z例题3由n片薄片组成的梁，求每个薄片的最大正应力和整个梁的最大正应力。zbFlh解:(1)当每片间的磨擦力很小时,每一薄片就独立弯曲每一薄片中的最大正应力等于近似地认为每片上承担的外力等于zbFlh(2)若用刚度足够的螺栓将薄片联紧,杆就会象整体梁一样弯曲最大正应力等于每个薄片的最大正应力和整个梁的最大正应力是相同的。一、梁横截面上的切应力1、矩形截面梁

§5–4梁的切应力及强度条件(1)两个假设(a)切应力与剪力平行(b)切应力沿截面宽度均匀分布(即矩中性轴等距离处切应力相等)

q(x)F1F2PbhyF(s)(t)mnnmxyzobdxm’m’hn(2)分析方法(a)用横截面m-m,n-n从梁中截取dx一段.两横截面上的弯矩不等.所以两截面同一y处的正应力也不等.(b)假想地从梁段上截出体积元素mB1在两端面mA1,nB1上两个法向内力不等.ABB1A1mnxzyym’q(x)F1F2mmnnxdxyABA1B1FN2FN1mnnmxyzoyABA1B1bdxm’m’hnττ’(c)在纵截面上必有沿x

方向的切向内力dFs’.故在此面上就有切应力τABB1A1mnxzyym’FN1FN2dFS’根据假设横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等.各点的切应力方向均与截面侧边平行.取分离体的平衡即可求出.ABB1A1mnxzyym’FN1FN2dFS’(3)公式推导假设m-m,n-n上的弯矩为M和M+dM.两截面上距中性轴y1处的正应力为1和2.A*为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积式中：为面积A*对中性轴的静矩.A*y1化简后得由平衡方程A*ABB1A1mnxzyym’FN2FN1dFS’y1b矩型截面的宽度yz整个横截面对中性轴的惯性矩距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩(4)切应力沿截面高度的变化规律沿截面高度的变化由静矩与y之间的关系确定y1nBmAxyzOyA1B1m1可见,切应力沿截面高度按抛物线规律变化.zτmaxy=±h/2(即在横截面上距中性轴最远处)τ=0y=0(即在中性轴上各点处),切应力达到最大值式中,A=bh,为矩形截面的面积.y12、工字形截面梁研究方法与矩形截面同,切应力的计算公式亦为HoyBxbzhb

——腹板的厚度研究表明，工字形梁腹板承受了95%-97%

的剪力，因此对工字形梁我们只考虑腹板的切应力计算方法。——距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积A*对中性轴的静矩.OzydxyOzydxyτminozyτmaxτmax(a)腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化.(b)最大切应力也在中性轴上.这也是整个横截面上的最大切应力.y=0y=±h/2ydzo假设(a)沿宽度kk’上各点处的切应力均汇交于o’点.(b)各点处切应力沿y方向的分量沿宽度相等.在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切.3、圆截面梁最大切应力发生在中性轴上yzoA*式中为圆截面的面积b为kk’弦的长度4、圆环形截面梁图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为,环的平均半径为r0,由于

«r0故可假设(a)横截面上切应力的大小沿壁厚无变化.(b)切应力的方向与圆周相切.zyr0δ式中A=2r0为环形截面的面积横截面上最大的切应力发生中性轴上,其值为zyr0δ二、强度条件对于一般细长的非薄壁截面梁，通常只需按弯曲正应力强度条件进行分析即可。只有在几种特殊情况下，要进行梁的弯曲切应力强度校核。小结一般情况下，在剪力为最大值的截面的中性轴上出现最大切应力为中性轴以下（或以上）部分对中性轴的静矩三、需要校核切应力的几种特殊情况（1）梁的跨度较短,M

较小,而FS较大时,要校核切应力.（2）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时,要校核切应力.（4）各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差,要校核切应力.（3）经焊接、铆接或胶合而成的梁，对焊缝、铆钉或胶合面等，一般要进行切应力计算和校核。说明：

（1）最大弯曲切应力τmax的计算，应视截面为矩形、工字形、圆形等不同情况，应用不同的计算式。当为等截面梁时，只需校核最大剪力Fmax所在截面的中性轴上点的切应力是否满足强度条件；当为非等截面梁时，还需考虑未出现Fmax的截面。

（2）在校核梁的强度或进行截面设计时，必须同时满足梁的正应力强度条件和切应力强度条件。在工程中，通常先按正应力强度条件设计出截面尺寸，然后进行切应力强度校核。F例题4

一简易起重设备如图所示.起重量(包含电葫芦自重)F=30kN.跨长l=5m.吊车大梁AB由20a工字钢制成.其许用弯曲正应力[]=170MPa,许用弯曲切应力[]=100MPa，试校核梁的强度.+37.5kN·m5mAB2.5mFC解：此吊车梁可简化为简支梁力

P在梁中间位置时有最大正应力.(a)正应力强度校核由型钢表查得20a工字钢的所以梁的最大正应力为+FSmax5mABFC(b)切应力强度校核在计算最大切应力时,应取荷载F在紧靠任一支座例如支座A处所示,因为此时该支座的支反力最大,而梁的最大切应力也就最大.查型钢表中,20a号工字钢,有d=7mm据此校核梁的切应力强度以上两方面的强度条件都满足,所以此梁是安全的.解(1)计算支反力做内力图.qBACDElFFaaRARB8kN210kN208kN41.8kN·m41.8kN·m45kN·m例题5简支梁AB如图所示.l＝2m,a＝0.2m.梁上的载荷为q＝10kN/m,F＝200kN.材料的许用应力为[σ]=160MPa,[τ]＝100MPa,试选择工字钢型号.(2)根据最大弯矩选择工字钢型号查型钢表,选用22a工字钢,其Wz＝309cm3（3）校核梁的切应力腹板厚度

b=0.75cm，由剪力图知最大剪力为210kN查表得τmax超过[τ]很多，应重新选择更大的界面.现已25b工字钢进行试算查表得b=1cm所以应选用型号为25b的工字钢.例题6对于图中的吊车大梁,现因移动荷载F增加为50kN,故在20a号工字钢梁的中段用两块横截面为120mm10mm而长度为2.2m的钢板加强,加强段的横截面尺寸如图所示.已知许用弯曲正应力[]=152MPa,许用切应力[]=95MPa.试校核此梁的强度.2.2m200z22012010解加强后的梁是阶梯状变截面梁.所以要校核(3)F移至未加强的梁段在截面变化处的正应力(2)F靠近支座时支座截面上的切应力(1)F位于跨中时跨中截面上的弯曲正应力(1)校核F位于跨中时截面时的弯曲正应力查表得20a工字钢F62.5kN.m2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mRBRA最大弯矩值为跨中截面对中性轴的惯性矩为200z22012010略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩.抗弯截面系数(2)校核突变截面处的正应力,也就是校核未加强段的正应力强度.2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mRBRA50.4kN.m该截面上的弯矩为最大从型钢表中查得20a工字钢梁不能满足正应力强度条件.为此应将加强板适当延长.(3)校核阶梯梁的切应力F靠近任一支座时,支座截面为不利荷载位置请同学们自行完成计算.（参考例题4）

例题7：有一外伸梁受力情况如图所示，截面采用T型截面，已知材料的许用拉应力为[σt]＝40MPa，许用压应力[σc]＝100MPa。试校核梁的强度。单位：mm解：（1）绘制弯矩图最大负弯矩（A截面）

弯矩图

最大正弯矩（C截面）以外伸梁为研究对象，受力图如图所示。由平衡方程得A、B处的约束力分别为绘制弯矩图截面形心距底边（2）确定中性轴的位置单位：mm（3）截面对中性轴的惯性矩拉应力强度校核

A截面为负弯矩，上部受拉C截面为正弯矩，下部受拉（4）校核梁的强度（绘出应力分布图）A截面应力分布C截面应力分布图由于，最大拉应力发生在C截面下边缘。拉应力强度足够。A截面下部受压：C截面上部受压：压应力强度校核

A截面应