估计量的评价标准

概率论与数理统计二、无偏估计第二节估计量的评价标准三、最小方差无偏估计四、有效估计五、相合估计(一致估计)一、问题的提出一、问题的提出

究竟采用哪一个估计量更好呢？这就个数字特征出发，引入无偏性，有效性，

对于总体分布中的同一个未知参数,若采用不同的估计方法，可能得到不同的估计量。产生了如何评价与比较估计量的好坏的问题，我们从估计量的数学期望及方差这两最小方差无偏估计和相合性等概念。二、无偏性设是参数的一个估计量，如果

，满足关系式

如果的一列估计则称是的渐近无偏估计量.估计量如果不是无偏估计量,就称这个估计量是有偏的，称为估计量的偏差.则称是的无偏估计(量).例1证所以，和均为无偏估计量，而故是的渐近无偏估计.例2设总体服从区间上的均匀分布,

是总体的一个样本.

试证：参数的矩估计量是的无偏的渐近无偏估计.证故的矩估计是无偏估计量.估计;的最大似然估计是所以但是,

即是的渐近无偏估计量.

但只要修正为

那么也是的无偏估计量.1°一个未知参数可能有不止一个无偏估计量.都是无偏估计量.

2°有时一个参数的无偏估计可能不存在.例如，设总体则||就没有无偏估计.其中.注3°有时无偏估计可能明显不合理.例如，设是来自泊松总体的一个

样本，可以证明是的无偏估计.

但这个无偏估计明显不合理.当

取奇数值时，估计值为负数.用一个负数估计，明显不合理.三、、最最小小方方差差无无偏偏估估计计定义义6.4如果存在一个无偏估计量,使对的任意无偏估计量,都有则称是的最小方差无偏估计(量).缩写写为为MVUE.最小小方方差差无无偏偏估估计计是是一一种种最最优优估估计计.例3设总体服从区间上的均匀分布,

的一个样本，矩

是总体估计和修正的最大似然估计

的无偏估计，和哪个更有效？均为解显然当时即比有效.例4来自总体X的样本,问:下列三个对的无偏估计量哪哪一一个个最最有有效效?解注一般地，在的无偏估计量可用用求求条条件件极极值值的的拉拉格格朗朗日日乘乘数数法法证证明明定义6.6设是未知参数的估计序列，如果依概率收敛于，即对任意,有：或则称是的相合估计(或一致估计).四、、相相合合估估计计(一致致估估计计)且

,则是的相合估计(或一致估计).证明明由于于定理理6.2设是的一个估计量,若令,由定理的假设得即是的相合估计．均值的相合估计.

若总体的和都存在,证明是总体证因为故是总体均值的相合估计.一般样本的阶原点矩是总体阶原点点矩矩的的相相合合估估计计.矩估估计计往往往往是是相相合合估估计计.例9估计计量量的的评评选选的的四四个个标标准准，，但但要要求求一一下下三三个个标标准准无偏偏性性有效效性性相合合性性相合合性性是是对对估估计计量量的的一一个个基基本本要要求求,不具具备备由最最大大似似然然估估计计法法得得到到的的估估计计量量,在一一定定条条相合合性性的的估估计计量量是是不不予予以以考考虑虑的的.有效效性性这这两两个个标标准准.件下下也也具具有有相相合合性性.估计计量量的的相相合合性性只只有有当当样样本本容量量相相当当大大时时,才能能显显示示出出优优越越性性,这在在实实际际中中往往往难难以以做做到到,因此此,在工工程程中中往往往往使使用用无无偏偏性性和和内容小结再见设总体的方差存在,且为来自总体的样本,试选择适当的常数,使得为D(X)的无偏估计.备用题例2-1解而相互独立,且与X同分布依题意，设及为的两个独立的无偏估计量,且假定求常数使解例5-1

设总体的二阶矩存在，是来自总体X的一个样本，，.试证是总体均值的相合估计.证因为例9-1故是总体均值的相合估计.9、静夜四无无邻，荒居居旧业贫。。。12月-2212月-22Saturday,December31,202210、雨中黄叶叶树，灯下下白头人。。。02:44:0902:44:0902:4412/31/20222:44:09AM11、以以我我独独沈沈久久，，愧愧君君相相见见频频。。。。12月月-2202:44:0902:44Dec-2231-Dec-2212、故故人人江江海海别别，，几几度度隔隔山山川川。。。。02:44:0902:44:0902:44Saturday,December31,202213、乍见见翻疑疑梦，，相悲悲各问问年。。。12月月-2212月月-2202:44:0902:44:09December31,202214、他乡生生白发，，旧国见见青山。。。31十十二月20222:44:09上午午02:44:0912月-2215、比不了得得就不比，，得不到的的就不要。。。。十二月222:44上上午12月-2202:44December31,202216、行行动动出出成成果果，，工工作作出出财财富富。。。。2022/12/312:44:0902:44:0931December202217、做做前前，，能能够够环环视视四四周周；；做做时时，，你你只只能能或或者者最最好好沿沿着着以以脚脚为为起起点点的的射射线线向向前前。。。。2:44:09上上午午2:44上上午午02:44:0912月月-229、没有有失败败，只只有暂暂时停停止成成功！！。12月月-2212月月-22Saturday,December31,202210、很多事情情努力了未未必有结果果，但是不不努力却什什么改变也也没有。。。02:44:0902:44:0902:4412/31/20222:44:09AM11、成功就是日日复一日那一一点点小小努努力的积累。。。12月-2202:44:0902:44Dec-2231-Dec-2212、世间间成事事，不不求其其绝对对圆满满，留留一份份不足足，可可得无无限完完美。。。02:44:0902:44:0902:44Saturday,December31,202213、不知香香积寺，，数里入入云峰。。。12月-2212月-2202:44:0902:44:09December31,202214、意志坚强强的人能把把世界放在在手中像泥泥块一样任任意揉捏。。31十二二月20222:44:09上上午02:44:0912月-2215、楚塞三湘湘接，荆门门九派通。。。。十二月222:44上上午12月-2202:44December31,202216、少年十五二二十时，步行行夺得胡马骑骑。。2022/12/312:44:0902:44:0931December202217、空山新雨后后，天气晚来来秋。。2:44:09上午2:44上上午02:44:0912月-229、杨杨柳柳散散和和风风，，青青山山澹澹吾吾虑虑。。。。12月月-2212月月-22Saturday,December31,202210、阅读一一切好书书如同和和过去最最杰出的的人谈话话。02:44:0902:44:0902:4412/31/20222:44:09AM11、越是是没有有本领领的就就越加加自命命不凡凡。12月月-2202:44:0902:44Dec-2231-Dec-2212、越是无能能的人，越越喜欢挑剔剔别人的错错儿。02:44:0902:44:0902:44Saturday,December31,202213、知知人人者者智智，，自自知知者者明明。。胜胜人人者者有有力力，，自自胜胜者者强强。。12月月-2212月月-2202:44:0902:44:09December31,202214、意志志坚强强的人人能把把世界界放在在手中中像泥泥块一一样任任意揉揉捏。。31十十二二月20222:44:09上上午02:44:0912月月-2215、最最具具挑挑战战性性的的挑挑战战莫莫过过于于提提升升自自我我。。。。十二二月月222:44上上午午12月月-2202:44December31,202216、业余生生活要有有意义，，不要越越轨。2022/12/312:44:0902:44:0931December202217