04排列组合解题策略1

C4CC4C3秒杀秘籍：特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有C1，然后排首位共有C1，最后排其它位置共有A3由分步计数原理得AiAiA3=288434位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。排列组合解题策略（一）1.7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？解：先种两种不同的葵花在不受限限制的四个花盒中共有A2不同种法，再其它葵花有A5不同种法，所以4 5共有不同种法A2A5=12X120=1440种不同的种法.45用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1） 数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。解：（1）个位和千位有5个数字可供选择其，其余2位有四个可供选择新1，由乘法原理：逐卉=240（2） 当1在千位时余下三位有芸=60，1不在千位时，千位有£种选法，个位有£种，余下的有新，共有««4?=192所以总共有192+60=252（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？答案：（1）34（2）43（3）43乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有A3种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、3四位置，有A；种排法，所以不同的出场安排共有A;A;=252种.用0,2,3,4,5,五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。A.24个B.30个C.40个D.60个解：由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：1）0排末尾时，有A42个，2）0不排在末尾时，则有C2iA3iA3i个，由分数计数原理，共有偶数A42+C2iA3iA3i=30个，选B。从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）A.24种B.18种 C.12种 D.6种解：由题意，不同的选法有:C32种，不同的排法有:A33•故不同的种植方法共有C32・A33=12,故应选C.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 解：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中的四枪的空位，共有人2=20种不的情形.5A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有 解：把A,B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A4=24种9.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A.360B.188C.216D.96解：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，C;A;A4A2=432种，其中男生甲站两端的有A2C2A2A2A2=144，符合条件的排法故共有288。10.4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？解：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有/种排法，而男生之间又有盐种排法，又乘法原理满足条件的排法有：盐X^=576四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法—种（U羯）某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有— /I，""上秒杀秘籍：不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A5种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间5包含首尾两个空位共有种A4不同的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有A5A4种6 5 6元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？解：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有4耳4。=100中插入方法。停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？先排好8辆车有A8种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空车位置插入有C1种方法，所以共有CiA8种方法.9 98高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 （A-5A;=3600某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完秒杀秘籍：相邻元素捆绑策略例2.7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排.由分步计数原理可得共有A；A;A;=480种不同的排法.oex甲a厄丁o要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列.

秒杀秘籍：定序问题空位插入除法原理例4.7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定，共有多少不同的排法？解:对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有不同排法种数是：A7/A37 3（插空法）先排甲乙丙三个人，共有1种排法，再把其余4四人依次插入共有C3A4方法.（先选三个座位坐下74甲，乙，丙共有C3种选法，余下四个空位排其它四人共有A4种排法，所以共有C3A4种方法.）7 4 74对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数解：只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有A2=20种不同排法。5马路上有编号为1，2,3・・・，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解：在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C3种方法，所以满足条件的关灯方案有10种.19.3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？解：先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A3，。*。*。*。，在四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A：种，所以每个人左右两边都空位的排法有A4A3=24种.20.10人身高各不相等，排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？C521.6个人排队，甲、乙、丙三人按 “甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？排队方法有A66种，而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有A66《A33=120种。书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字秒杀秘籍：平均分组问题除法原理例5.6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？解：分三步取书得C2C2C2种方法，但这里出现TOC\o"1-5"\h\z6 4 2重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为（AB,CD,EF）,则C：C：C；中还有（AB,EF,CD）,（CD,AB,EF）,（CD,EF,AB）（EF,CD,AB）,（EF,AB,CD）共有A3种取法，而这些分法仅是（AB,CD,EF）一种分法,故共有C；C：C;/A3种分法。平均分成的组，不管它们的顺序如何,都是一种情况，所以分组后要一定要除以A^（n为均分的组数）避免重复计数。 ”作答）A9/A6=5049 6某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数4，6次序一定，

（1）A7/A33⑵为.A“4，6次序一定，

（1）A7/A33⑵用1，2,13,；，5,6,7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，（1）若偶数2，有多少个？（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？A6/A22=360将13个球队分成3组,一组5个队，其它两组4个队，有多少分法？（C；3C；C：/A2=45045）

27.10名学生分成3组，其中一组4人，另两组3人但正副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法（C14C3C27.10名学生分成3组，其中一组4人，另两组3人但正副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法（C14C3C3-C2C3C3-2C4C3/A2=1540）则不同的安排方案种数为 （C：C;A2/A2=90）有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本;（3）分成每组都是2本的三个组；（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本；（5）分给5人每人至少1本。 C2C2C2 C2C1C1C1C1C1.（1）C1C2C3 （2）C1C2C3A3 （3） ~4（4）C2C2C2 （5）554321A53 4将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）.解：第一步将4名大学生按，2,1，1分成三组，其分法有SC•C1;第二步将分好的三组分配到3个乡A22TOC\o"1-5"\h\z镇，其分法有A3所以满足条件得分配的方案有C4•£,C1-A3=363 A2 3231.5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（）（A）150种 （B）180种 （C）200种 （D）280种C3C1 ,一 C1C2 .—解：分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2,则有—TA3=60种，若是1,1,3，则有 A3=90A2 3 A2 32 2种，所以共有150种，选A(A)30种(B)90种(C)(A)30种(B)90种(C)180种 (D)270种C1-C2u解：将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有七一=15种方法，再将3组分到3个班，共A22有15-A3=90种不同的分配方案，选B.3某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有（ ）种A.16种B.36种 C.42种D.60种解：按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构，..・C2C2A2+C3A3=36+24=60故选D；432 4334.5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种C、120种A、480种C、120种D、96种…C2C1C1解： 5&2A4=240，选B335.12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配