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文档简介

微分中值定理与导数的应用

中值定理

洛必达法则泰勒公式导数的应用中值定理

第一节学习重点理解罗尔定理掌握拉格朗日中值定理及其推论◆罗尔定理RolleTheorem(2)

在开区间内可导；则在内至少存在一点，使

(1)

在闭区间上连续(3)

若函数满足：罗尔定理的几何意义连续曲线y=f(x)的弧AB除端点外处处具有不垂直x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，则曲线弧上至少存在一点C，使得曲线在该点处的切线是水平的.xy◆罗尔定理的证明证明因为函数在[a,b]上连续，所以函数在[a,b]上一定有最大值M和最小值m.如果M=m，则则在区间内部的任何点处，都有如果m<M，则在区间内部至少有一点，使得不妨设则所以例1

验证函数在区间上满足罗尔定理，并求出定理中的值。解因为函数在上连续，在内可导，且所以，函数在上满足罗尔定理而令得所以，即为所求的点。◆拉格朗日中值定理lagrangeTheorem若函数满足：

(2)

在开区间内可导；则在内至少存在一点，使

(1)

在闭区间上连续；xy几何意义:连续曲线y=f(x)的弧AB除端点外处处有不垂直x轴的切线，则弧上至少至少存在一点，使得曲线在点处的切线平行弦AB。◆拉格朗日定理的证明证明作辅助函数则在上连续，在内可导，且所以由Rolle定理，可知：在内至少存在一点，使得即所以，在内至少存在一点，使得推论：如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那末f(x)在区间I上是一个常数证明则由拉格朗日中值公式，得在由已知条件可知：在上连续，在内可导所以◆拉格朗日中值定理在微分学中的重要性

拉格朗日中值定理公式：此公式给出了当自变量取得有限增量△x(不一定很小)时,函数增量△y的准确表达式.拉格朗日中值定理也称为微分中值定理即在由与构成的区间上应用，则有由Lagrange中值定理可知例2解因为所以即所以即为所求。练习解答例3

证明证明令则在内满足Lagrange中值定理而

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