《应用举例》同步练习 一等奖

《应用举例》同步练习A组基础巩固1．在△ABC中，若eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形解析：根据正弦定理eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA)＝eq\f(cosA,cosB)，因此sinBcosB＝sinAcosA，即sin2B＝sin2A，所以B＝A或2B＋2A＝π，由于eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，所以2B＋2A＝π成立，即B＋A＝eq\f(π,2).答案：A2．△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于()\f(\r(3),2)\f(\r(3),4)\f(\r(3),2)或eq\r(3)\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4)解析：eq\f(1,sin30°)＝eq\f(\r(3),sinC)，∴sinC＝eq\f(\r(3),2).∵0°<∠C<180°，∴∠C＝60°或120°.(1)当∠C＝60°时，∠A＝90°，∴BC＝2.此时S△ABC＝eq\f(\r(3),2).(2)当∠C＝120°时，∠A＝30°，此时S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×sin30°＝eq\f(\r(3),4).答案：D3．在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为()\f(1,2)\f(\r(3),2)\r(3)D．2eq\r(3)解析：S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝eq\f(\r(3),2).答案：B4．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝eq\f(\r(3),2)，则边BC的长为()\r(3)B．3\r(7)D．7解析：∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·ACsinA＝eq\f(\r(3),2)，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3.即BC＝eq\r(3).答案：A5．若△ABC的周长等于20，面积是10eq\r(3)，B＝60°，则边AC的长是()A．5B．6C．7D．8解析：设△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B＝60°，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cos60°＝\f(a2＋c2－b2,2ac)，,\f(1,2)acsin60°＝10\r(3)，,a＋b＋c＝20，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2＝a2＋c2－ac，,ac＝40，,a＋b＋c＝20.))解得b＝7，∴边AC的长为7.答案：C6．在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝eq\r(3)BD，BC＝2BD，则sinC的值为()\f(\r(3),3)\f(\r(3),6)\f(\r(6),3)\f(\r(6),6)解析：设AB＝AD＝eq\r(3)，则BD＝eq\f(2,\r(3))AB＝2，BC＝2BD＝4，在△ABD中利用余弦定理得cosA＝eq\f(\r(3)2＋\r(3)2－22,2×\r(3)×\r(3))＝eq\f(1,3)，∴sinA＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝eq\f(2\r(2),3).在△ABC中利用正弦定理得eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)，∴sinC＝eq\f(ABsinA,BC)＝eq\f(\r(3)×\f(2\r(2),3),4)＝eq\f(\r(6),6)，故选D.答案：D7．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，则第三边c的长为________．解析：5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.∴x1＝eq\f(3,5)，x2＝－2(舍去)．∴cosC＝eq\f(3,5).根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×eq\f(3,5)＝16.∴c＝4，即第三边长为4.答案：48．已知△ABC的三个内角A，B，C满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD的长为________．解析：∵2B＝A＋C，∴A＋B＋C＝3B＝180°，∴B＝60°，∵BC＝4，∴BD＝2，∴在△ABD中，AD＝eq\r(AB2＋BD2－2AB·BDcos60°)＝eq\r(12＋22－2×1×2cos60°)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)9．在锐角三角形中，边a、b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的两根，角A、B满足：2sin(A＋B)－eq\r(3)＝0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积．解：由2sin(A＋B)－eq\r(3)＝0，得sin(A＋B)＝eq\f(\r(3),2)，∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B＝120°，C＝60°，又∵a、b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的两根，∴a＋b＝2eq\r(3)，ab＝2.∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝12－6＝6，∴c＝eq\r(6)，S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2).10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：eq\f(a,b)－eq\f(b,a)＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosB,b)－\f(cosA,a))).证明：由余弦定理的推论得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，代入等式右边，得右边＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2abc)－\f(b2＋c2－a2,2abc)))＝eq\f(2a2－2b2,2ab)＝eq\f(a2－b2,ab)＝eq\f(a,b)－eq\f(b,a)＝左边，∴eq\f(a,b)－eq\f(b,a)＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosB,b)－\f(cosA,a))).B组能力提升11．在平行四边形ABCD中，对角线AC＝eq\r(65)，BD＝eq\r(17)，周长为18，则这个平行四边形的面积为()A．16\f(35,2)C．18D．32解析：如右图，设AB＝CD＝a，AD＝BC＝b，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝18，,65＋17＝2a2＋b2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝9，,a2＋b2＝41，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝5，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝4，))∴cos∠BAD＝eq\f(52＋42－17,2×5×4)＝eq\f(3,5)，∴sin∠BAD＝eq\f(4,5)，从而S▱ABCD＝4×5×eq\f(4,5)＝16.答案：A12．若三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足等式eq\f(c2,a＋b)＋eq\f(a2,b＋c)＝b，则B＝________.解析：∵eq\f(c2,a＋b)＋eq\f(a2,b＋c)＝b，∴a3－b3＋c3＋a2b－ab2＋c2b－b2c－abc即(a＋b＋c)(a2＋c2－b2－ac)＝0.又∵a，b，c表示边长，∴a＋b＋c≠0，∴a2＋c2－b2－ac＝0，由余弦定理的推论得cosB＝eq\f(1,2)，∴B＝60°.答案：60°13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝eq\r(3)acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．解：(1)由bsinA＝eq\r(3)acosB及正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\r(3)cosB，所以tanB＝eq\r(3)，所以B＝eq\f(π,3).(2)由sinC＝2sinA及eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac，所以a＝eq\r(3)，c＝2eq\r(3).14．在△ABC中，求证：a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC证明：法一：左边＝a2·2sinBcosB＋b2·2sinAcosA＝a2·eq\f(2b,2R)·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＋b2·eq\f(2a,2R)·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(ab,2Rc)·(a2＋c2－b2＋b2＋c2－a2)＝eq\f(ab