【全程复习方略】2013版高中数学 3.2同角三角函数关系及诱导公式配套课件 苏教版

第二节同角三角函数关系及诱导公式内容

要求ABC同角三角函数的基本关系式

√正弦函数、余弦函数的诱导公式

√…………三年2考高考指数:★★★sin2α+cos2α=1【即时应用】（1）若sinθ=tanθ<0,则cosθ=______.（2）已知θ为第三象限角且tanθ=则sinθ=______.【解析】（1）由sinθ=tanθ<0,可得θ为第四象限角，∴

（2）由由sin2θ+cos2θ=sin2θ+=1,得sinθ=又θ为第三象限角,∴sinθ=答案：2.诱导公式组数一二三四五六角α+2kπ(k∈Z)-απ-απ+α正弦sinα-sinαsinα-sinαcosαcosα余弦cosαcosα-cosα-cosαsinα-sinα正切tanα-tanα-tanαtanα口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限【即时应用】（1）思考:给定一个任意角的三角函数,如何选取诱导公式化为一个锐角三角函数?提示:一般先把任意角的三角函数化为任意正角的三角函数,再化为0°到360°角的三角函数,最后化为锐角的三角函数.（2）sin（）=______.【解析】答案：（3）cos（-60°）-sin（-210°）=______.【解析】原式=cos60°+sin（180°+30°）=cos60°-sin30°==0.答案：0（4）sin（π+α）=则cosα等于______.【解析】sin（π+α）=-sinα=∴cosα=答案:同角三角函数关系式的应用【方法点睛】同角三角函数关系式的理解（1）同角三角函数关系式的基本用途：①根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；②化简同角三角函数式，证明同角的三角恒等式．（2）注意公式的逆用和变形应用：sin2α+cos2α=1，sin2α=1-cos2α，cos2α=1-sin2α，sinα=cosα·tanα.【例1】已知（1）求sinx-cosx的值；（2）求的值.【解题指南】先利用平方关系解第一问，然后利用商数关系的值求解第二问即可.【规范解答】（1）由sinx+cosx=平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=即2sinxcosx=∵（sinx-cosx）2=1-2sinxcosx=又∵＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0，sinx-cosx＜0，故sinx-cosx=（2）【反思·感悟】1.在利用同角三角函数关系式解题的时候，变形非常关键，同时“1”的代换也经常巧妙地用在里面，使问题得以解决.2.有些题目还用到方程思想、函数思想.【变式训练】已知求sinα-cosα的值.【解析】∵∴sinα＜0，cosα＜0，由∴利用诱导公式求值【方法点睛】诱导公式的应用方法（1）诱导公式及同角三角函数的关系式是求值问题的常用工具,“切化弦”是解含有正切函数问题的常用方法.（2）解题时注意已知角或三角函数名称与所求角或三角函数名称之间存在的关系,要向所求角和三角函数进行化归.【提醒】诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号.【例2】（1）已知tanα=2,sinα+cosα<0,则=______.（2）已知α为第三象限角,①化简f（α）；②若求f（α）的值.【解题指南】利用诱导公式进行化简，再根据已知条件求值.【规范解答】（1）原式=∵tanα=2>0,∴α为第一象限角或第三象限角，又sinα+cosα<0,∴α为第三象限角.由tanα==2,得sinα=2cosα代入sin2α+cos2α=1,解得sinα=答案：

②∵∴-sinα=从而sinα=又α为第三象限角,∴cosα=即f（α）的值为【互动探究】把本例中（1）的已知条件改为tanα=3,sinα+cosα>0,再求所给式子的值.【解析】∵tanα=3,sinα+cosα>0,∴α为第一象限角,tanα==3,得sinα=3cosα,代入sin2α+cos2α=1,解得:【反思·感悟】利用诱导公式求值的方法与技巧在利用诱导公式求值时，一般要先化简，再根据条件求值，掌握诱导公式的关键是对“函数名称”和“正负号”的正确判断.另外，诱导公式的应用非常灵活，可以正用、逆用和变形应用,但是要尽量避开平方关系.【变式备选】已知sin（）=a（a≠±1,a≠0）,求的值.【解析】利用诱导公式化简证明【方法点睛】1.化简的方法和技巧(1)化简是一种不指定答案的恒等变形,其结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.(2)诱导公式的应用原则:负化正、大化小,化到锐角为止.(3)化简前,注意分析角的结构特点,选择恰当的公式和化简顺序.2.三角恒等式证明的常用方法(1)从左向右证或从右向左证(以从繁化到简为原则).(2)两边向中间证.(3)证明一个与原等式等价的式子,从而推出原等式成立.【例3】(2012·无锡模拟)(1)化简:(2)求证:对于任意的整数k,【解题指南】(1)利用诱导公式化简三角函数式，一般思路是根据公式逐一化简，特别要注意名称和符号.(2)由于此题中的k不明确，需要对其分偶数和奇数讨论.【规范解答】(1)原式=(2)当k为偶数时,设k=2n，n∈Z当k为奇数时,设k=2n+1,n∈Z，故对任意的整数k,【互动探究】将本例(1)化简式变为如何化简?【解析】【反思·感悟】1.公式符号的判断看象限,在用诱导公式时,注意把任意角α看成锐角来处理.2.把异角利用诱导公式化为同角,再用同角三角函数关系式化简是求解的关键.【变式备选】(1)化简(2)求证:【解析】(1)因为所以原式=-sinα+sinα=0.(2)因为左边=所以原等式成立.

【易错误区】同角三角函数平方关系的应用误区【典例】(2011·重庆高考)若cosα=且α∈(π，)，则tanα=______.【解题指南】根据角所在的范围，先求出sinα的值，再根据商数关系求出正切值.【规范解答】因为α∈(π，

)，cosα=所以sinα=

所以答案：【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示求解本题时，常会出现以下两种失误：1.易忽视题目中已知条件α的范围，求得sinα的两个值而致错.2.虽注意到α的范围，但判断错sinα的符号而导致tanα的值错误.备考建议由同角三角函数的平方关系求sinα或cosα时，要注意以下两点：1.题目中若没有限定角α的范围，则sinα或cosα的符号应有两种情况，不可漏掉.2.若已给出α的范围，则要准确判断在给定范围内sinα或cosα的符号，不合题意的一定要舍去.1.(2012·无锡模拟)已知且α为第二象限角，则实数m的值为______.【解析】由sin2α+cos2α=1得解得:m=4或∵α为第二象限角，∴sinα>0,当m=时，sinα<0,故m=4.答案：42.(2011·大纲版全国卷)已知α∈(π,),tanα=2,则cosα=______.【解析】∵tanα=2,∴sinα=2cosα,代入sin2α+cos