北京市首师附2022年高三数学第一学期期末联考试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：2B2．作答2B一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知函数f(x)lnx，若F(x)f(x)3kx2有2个零点，则实数k的取值范围为（ ）

1 ,0

1,0

C．0,1

D．0,1 6e2

6e

6e

6e2（）A．16 216B．16 2C．8 216D．8 2某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图后从事互联网行岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的C．9080前多D9080后多三棱锥SABC的各个顶点都在求O的表面上，且是等边三角形，SA底面ABC，SA4，AB6，若点D在线段上，且AD2SD，则过点D的平面截球O所得截面的最小面积为（ ）A．3

B．C．D．13zz1i，则z1i

的虚部是（ ）A．i B．C．1 D．1某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A．8

x

8B．337 1

4C．4 D．3二项式2 x展开式中

x项的系数为（ ）A．94516

B．18932

C．2164

2835D．88．设全集UR，集合Axx，Bxx23x，则

AB（ ）UA． B．2,3 C． D．《普通高中数学课程标准（2017版养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优，则下面叙述正确的是（ ）甲的数据分析素养高于乙BC．乙的六大素养中逻辑推理最差D．乙的六大素养整体平均水平优于甲f(x)m(x1)(x2)exe（e为自然对数底数xfx0有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（ ）e3eA．2

e2eB．2

e3eC．2

e2eD．2下列函数中既关于直线x1对称，又在区间[1,0]上为增函数的是( )ysin.C．ycosx

B．yx1|D．yexex12．已知集合M{x|y lgx}，N{xN|4x20}，则MN为( A．[1,2] B．{0,1,2} C．D．(1,2)4520x2 y2

b b21若双曲线C： a2 b2

1（a0，b0）的顶点到渐近线的距离为，则 的最小值 .2 已知下列命题：①命题“

∈R，x2

13x

”的否定是“∀x∈R，x2＋1＜3x”；0 0 0②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“pq”为真命题；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号．在平面直角坐标系xOyC:xm2y2r2m0.已知过原点O且相互垂直的两条直线l和l1 2

，其中l1与圆CABl2

与圆CD.ABOD，则直线l1

的斜率.logx22flogx22

的定义域是 ．7017（12分）已知函数f(x)ln(ax)a,(a0)．若函数h(x)exf(x在(0,上单调递增，求实数a的值；定义：若直线lykxb与曲线C1

:f(x,y)0、C1

:f(xy0都相切，我们称直线l为曲线C、C的公2 1 2f(x)ln(axaa0)g(x)aexa0)总存在公切线．18（12分）已知,b(0,)，a(1b)b(a1)，f(x)|2x1||x2|.（1）求a2b2的最小值； （2）若对任意a,b(0,f(x4a2b2

，求实数x的取值范围.19（12分）设函数f(x)me

x2

3mR．（Ⅰ）当f(x)为偶函数时，求函数h(x)xf(x)的极值；（Ⅱ）f(x)在区间[2,4]上有两个零点，求m的取值范围．20（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为

a2 .4sinA求sinBsinC；若10cosBcosC1a

2，求ABC的周长.221（12分）某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路l,l1 2

，以及铁路线上的一条应开凿的直线穿ft隧道MN，为进一步改善ft区的交通现状，计划修建一条连接两条公路l,l1 2

和ft区边界的直线型公路l，以l,l所在1 2xyxOyft区边界曲线为Cy100(x0)l与x曲线C相切于点P，P的横坐标为t.当t为何值时，公路l的长度最短求出最短长度；当公路l的长度最短时，设公路l交x轴，y轴分别为A，B两点，并测得四边形ABMN 中，BAN，3MBA

2，AN10 2千米，BM15 3千米，求应开凿的隧道MN的长度.3 3

x12t22（10分）已知曲线C的极坐标方程为

4cos

，直线l的参数方程为 （t为参数）.y1t求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；

2M，直线l与曲线CAB‖MA||参考答案125601、C【解析】F(xf(x3kx2

0，可得k

lnxF(x0ykg(xln

有两个交点，结合已知，即可求得答案.

3x2

3x2【详解】F(xf(x3kx2

0，可得klnx，3x2F(x0ykg(xg(x)12lnx，3x3令12lnx0，

lnx有两个交点，3x2e可得x ，ee当x(0, e)时，g(x)0，函数g(x)在(0, e)上单调递增；当x( e,)时，g(x)0，函数g(x)在( e,)上单调递减ex

时，g(x)

，1max 6e1ykg(x

lnx

有两个交点，则k0,1.3x2

6ek的取值范围是

16e.C.【点睛】本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.2、D【解析】由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为1 1 1224422

22 268

8,故选D．2 2 23、D【解析】根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假．【详解】A9056%B中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%39.6%22.176%20%，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的20%，所以是正确的；在C中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：13.7%39.6%9.52%3%9080后多，所以是正确的；D90后所占比例为56%39.6%22.176%41%9080后多．D.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4、A【解析】S-ABCDDO.【详解】2如图，设三角形ABC外接圆的圆心为G，则外接圆半径AG=33323,S-ABCOR=取SA中点E，由SA=4，AD=3SD，得DE=1,

2 3

224OD=

2 3

13.DO所得截面圆的最小半径为42

132 3所以过点D的平面截球O所得截面的最小面积为323故选：A【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，还考查了求截面的最小面积，属于较难题.5、C【解析】化简复数，分子分母同时乘以1izz，由此得到虚部.【详解】z1ii，zi，所以z的虚部为1.1i故选：C【点睛】本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的虚部，属于基础题.6、D【解析】根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的体积．【详解】根据三视图知，该几何体是侧棱PA底面ABCD 的四棱锥，如图所示：2122 4∴四棱锥的体积为V 2 2 3故选：D.【点睛】7、D【解析】写出二项式的通项公式,再分析x的系数求解即可.【详解】x 37

x7r 3r

17r 1二项式

x展开式的通项为T

Cr

Cr

(3)rx72r,令72r1,得r4,故

x项的系2

r1

72

x

72C174C数为4

(3)4

2835.72 8故选：D【点睛】本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.8、B【解析】可解出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．【详解】， Bx23x Ax，

A2,U

AB2,3.B.【点睛】9、D【解析】根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项.【详解】对于A选项，甲的数据分析3分，乙的数据分析5分，甲低于乙，故A选项错误.对于B选项，甲的建模素养3分，乙的建模素养4分，甲低于乙，故B选项错误.对于C选项，乙的六大素养中，逻辑推理5分，不是最差，故C选项错误.D选项，甲的总得分45334322分，乙的总得分54545427分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D选项正确故选：D【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.10、A【解析】fx0ym(x1)ygxgxygxym(x1).【详解】f(x)m(x1)(x2)ex

e0，∴m(x1)(x2)exe，yg(x)(x2)exe，∴g(x)(x1)ex，x1gx0gxx1gx0gx单调递减，∴g(x)g(1)0，当x时，fx，当x，fxe，函数ym(x1)恒过点1,0，分别画出ygx与ym(x1)的图象，如图所示，，若不等式fx0有且只有一个正整数解，则ym(x1)的图象在ygx图象的上方只有一个正整数值，m(31)(32)e3e且m(21)(22)exe2mg(3)e3emee3e∴em ，2e3e故实数m的最大值为 ，2故选：A【点睛】运算能力.11、C【解析】根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案.【详解】Ax1ysinx01ysinx1A错误；x1,xx1,x1B中，yx1 ，所以在区间[x1,x1Dyfxexexf02,f2e2e2f0f2yexexx1对D故选：C.【点睛】本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.12、C【解析】分别求解出M,N集合的具体范围，由集合的交集运算即可求得答案.【详解】M|xNN2x所以M故选：C

N1,2【点睛】本题考查对数函数的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查基本运算能力.4520132【解析】根据双曲线的方程求出其中一条渐近线ybx，顶点a,0，再利用点到直线的距离公式可得c2a，由a3a3ab213a3a

c2a21

13a，利用基本不等式即可求解3a【详解】C

x2y2a2 b2

1（a0，b0，可得一条渐近线ybx，一个顶点a,0，aaba2aba2b2c

b，解得c2a，ab2abb213a3a

c2a21

3a21 1

2，3a3a3a3a3a3ab21

时，取等号，3333a所以 的最小值为23a故答案为：2【点睛】14、②【解析】2 55命题“x∈R，x2＋1＞3x”的否定是“x∈R，x2＋1≤3x”，故①错误；“p∨q”pq假，则p)∧q)，但“a＞2”是“a＞5”若xy＝0，x＝0y＝0”2 5515、【解析】设l：kx y 0，l1

：xky0，利用点到直线的距离，列出式子 m r k21r2r2m2k2k212 【详解】

m2r2m2r2解：由圆C:xm2y2r2m0，可知圆心C,0，半径为r.设直线l1

：kx

：xky0，y0y0，则lm2k2k21圆心C到直线l1

的距离为 ，ODAB

， ABODm2m2r2m2r2圆心C到直线l2

mkk21

r， m r k21r2m2kr2m2k2k21m2m2r22 552 2 55解得k .2 55故答案为： 2 55【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的运用，并结合圆的方程，垂径定理的基本知识，属于中档题.16、[4,)【解析】解：因为log x20x4，故定义域为[4,)27017（）a1）见解析.【解析】求出导数，问题转化为h(x) 0在(0,)上恒成立，利用导数求出(x)ln(ax)

1a的最小值即可求解；xx

，利用导数的几何意义写出切线方程，问题转化为证明两直线重合，只需满足2aex 12 x 1

1 2有解即可，利用函数的导数及零点存在性定理即可证明存在.22ln(ax)a1aexaxex221 2【详解】（1）h(x)ex[ln(ax)a],x0，1h(x)ex[ln(ax)

a]x函数h(x)在(0,)上单调递增等价于h(x) 0在(0,)上恒成立．1 1 1 x1令(x)ln(ax)

a，得(x) ，x x x2 x2所以(x)在(0,1)单调递减，在)单调递增，则(x) (1)．min因为ex0，则h(x) 0在(0,)上恒成立等价于(x) 0在(0,)上恒成立；1又( )0,1a(1)(1)0，a11，即a1．a（2）设f(x)ln(ax)a,(a0)的切点横坐标为xx1

，则f(x1

)1x1yln(axa1(x

)……①1 x 11g(x)aexa0)xx2

g(x2

)aex，22切线方程为yaex22

aex2(xx)…②2

aex 122若存在x,x1 2

，使①②成为同一条直线，则曲线

f(x) f(x) g(x)122ln(ax)a1aexaxex22xx1

a1aex

ax2

1 2ex221 ex(x222

1)1

2ex1即 2 ex 22 2a x12

x12令t(x)ex

2ex1 ，则t(x) x1

x2exex1(x所以，函数yt(x)在区间(0,)上单调递增，t(1)t(2)0 x(1,2)，使得t(x00 0x(x时总有t(x)t(x00 0又xt(x)1

ex(x1)1在(0,上总有解a x1f(x)ln(axaa0)g(x)aexa0)总存在公切线．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的恒成立问题，导数的几何意义，利用导数证明方程有解，属于难题.18（）（）7,3.3 【解析】1

a(1b)b(a1)

111

a2b2a2b2

112（）化简

得2a

，所以

2a

，展开后利用基本不等式求最小值 即可；（）由（，原不等式可转化为|2x1||x28，讨论去绝对值即可求得x的取值范围.【详解】（1）∵a,b(0,)，a(1b)b(a1)，∴ab2ab，∴111.2a 1 12 1 b2 a2

b a∴a2b2

a2b2 2 2 2a 4 a2 b2 a bb2a2a2 b2b2a2a2 b2

22

)2.ba b2 a2 b a ba 当且仅当 a2

且 即ab1时，a2b2 a b

min

2.（2）由（1）知，a2

min

2，对任意a,b(0,)，都有f(x)4a2b2 ，f(x8，即|2x1||x28.①当2x102x1x28，7

x1；3 2②当2x10x2x1x28，1x2；2x202x1x28，2x3；综上，7x3，3∴实数x的取值范围是7,3.3 【点睛】本题主要考查基本不等式的运用和求解含绝对值的不等式，考查学生的分类思想和计算能力，属于中档题.19（Ⅰ）极小值h(1)2，极大值h(1)2（Ⅱ）2em13或m6e4 【解析】（Ⅰm0.（Ⅱ）先分离变量，转化研究函数gx

x23xgx单调性与图象，最后根据图象确定满足exm的取值范围．【详解】（Ⅰ）由函数fx是偶函数，得fxfx，即exx23exx23对于任意实数x都成立，m0.hxxfxx33x，则hx3x23.hx0x.xhxhx的变化情况如下表所示：x111,hxhx-00-↘极小值↗极大值↘hx在,x111,hxhx-00-↘极小值↗极大值↘fxmexx230m

x23.所以“fx在区间上有两个零点等价于ym与曲exgx

x23，x2,4有且只有两个公共点”.exgxgx

x22x3.exgx0x1

1，x2

3.xgxgx的变化情况如下表所示：x133,4gxgx133,4gxgx-00-↘极小值↗极大值↘g2e2g1g3

6g2，g413g1，e3 e42em13或me4

6ymgxe3

x23，x2,4有且只有两个公共点.ex2em13m

6时，函数fx在区间2,4上有两个零点.【点睛】

e4 e3利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法.分离参数后转化为函数的值域最值问题求解..27127

（2） 2（）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案（）根据两角余弦公式可得cosA，即可求出sinA理可得bc，根据余弦定理即可求出bc，问题得以解决．【详解】S

1acsinB a2 ，2csinBsinAa，

ABC

2 4sinA由正弦定理可得2sinCsinBsinAsinA，sinAsinAsinBsinC1；210cosBcosC110cosBcosBcosC1，10cos(BC)cosBcosCsinBsinC3，5cosA3，sinA4，5 51 a2 25则由bcsinA ，可得：bc ，由b2c2a22bccosA，2 4sinA 1631可得：b2c2 ，787(bc)2

31257bc8 8

，经检验符合题意，27三角形的周长abc ．27（实际上可解得b【点睛】

，c 符合三边关系．2 7 32 7 32 7 351考查了学生的运算能力，考查了转化思想，属于中档题．51221（1）当t10时，公路l的长度最短为202

（）5

（千米）.【解析】t P的坐标为t100(t0)，利用导数的几何意义求出切线lyt

100(xt，根据两 t t2点间距离得出AB 2

40000

40000 ,t 0构造函数g(t) 2 ,t 0 t2 t2和最值，即可得出结果；6在BN106

BN，利用正弦定理

AN ，求出ABN

，最后MN的长度.【详解】P的坐标为t100(t0)，

sinBAN sinABN 6 t y

100x2

(x0)，则直线ly100

100(xt)，t t2

200t由此得直线l与坐标轴交点为：A(2t,0),B0, ，t 40000 40000则AB 2

t0

f(t) 2 ,t0，g(t)2

t2 t240000 240000,t0，则g(t) .t2 t3g(t)0，解得t=10.当t(0,10)g(t0,g(t是减函数；当t(10,g(t