云南省昆明师范专科学校附属中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)

昆明师专附中髙2023届2021-2022学年上学期期中考试一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.若向量a=(0.1,-1).5=(1,1,0).且(a+Ab)±a,则实数A的值是< )A.0 B.1 C.-2 D.-1【答案】C【解析】【分析】由己知利用数星积为零列式计算即iif.【详解】解:因为a=(0,1-1),厶=(1,1.0)，所以a+Ab=(AA+^-l),因为(a+Ab)丄a:所以(«+/l^)d=l+/l+l=0,解得又=一2.故选：C.如阁，空问四边形OABC中，OA=a^OB=b^OC=c«且OM=2MA,BN=NC'则MN=( >-la+-la+^b+Lc3 2 2fc1-2

I51-2

+

ta1-2

E.2-3—♦c2-3—♦c1-2D.【解析】【分析】根据空问向皇的线性运算及其几何吣用解题即>4. 2 2-【详解】闪为MN=ON-OM，又因为OM=-OA=-aON=^(OB+OC)=^(b+c), = + +故选：A3.己知直线/:x+wy+4=0平分圆Ci.r+/+6.v-2y+l=0的面积，则w的值为()A.2 B.-2 c.1 D.-1【答案】D【解析】【分析】由岡的一般方程求得關心.再由直线/平分岡的面积，得出直线/过岡心.代入岡心坐标吋衍答案.【详解】解：因为岡C:x2+y2+6x-2y+l=0t所以岡C的岡心坐标为(-3,1),又因为直线/:x+WV+4=0平分岡C/+/+6x-2y+l=0的面积，所以直线/过圆心，则一3+/n+4=0.解得/n=-l.故选：D.过点A(-5-l)的直线/与圆(x+3):+(y-5)：=4相切.则S线/的方程为()A.y=-14x+3y+23=0 B.)，=—1或4x-3y+17=0C.x=-5i$4x4-3y+23=0 D.x=_5或4.v—3y+17=0【答案】D【解析】【分析】根据斜率存在和不存在分类讨论.斜率存在吋没直线方程.由阀心到直线距离等于半径求解.【详解】岡心为(-3,5),半径为2,斜率不存在时.直线x=_5满足题意，TOC\o"1-5"\h\z斜率存在时，设直线方程为y+l=k(x+5),即kx-y+5k-l=0t-3k-5+5k-]\ 4 4由 7==~=2.得々=—，直线方程为v+l=-(x+5),即4x-3y+17=0.>Jk2+l 3 3故选：D.直线y=0与圆C:x\r-2i-4.v=0相交于A、5两点，则AABC的面积是()A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】由圆的一般方程化为标准方程即W圆心和半径.直线和圆的方程联立可得交点坐标，再利用三角形面积公式即得.【详解】由a2+/-2a4尸0得(A■—1/+(>，一2/=5....C(l,2)，得得4(0,0)，5(2,0)，所以A4BC的面积为^x2x2=2.故选：C.6.圆C:x2+y2=4关于直线/:x+v-l=0对称的圓的方程为((x-1)2+(>-1):=4(A+1)2+()+1/=4c.(x-2)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y+2)2=4【答案】A【解析】【分析】由圆关于直线对称，设对称圆的圆心为(/VJ1),则(¥，$)在X+T-l=0上且-•(-1)=-1,i4求川、n,进而写出岡的方程.m【详解】由题设.圆C的圆心为(0.0).半径为2.则对称圓的半径为2.若对称圆的岡心为(mji), 在J¥+y-l=0上，即m+n-2=o,由对称性，知：岡心违线与直线/垂直，则二•(一1)=一1.即m=ntm综上，得：m=n=1>.•.对称的圆的方程为U-l):+(y-l)-=4.故选：A

57.圆.v+r-2x=0w圆x:+》，2+4y=0的公共弦长等于()5A.^3I•名】D【解析I【分析】朕立岡的方程求出公共弦的端点坐标.用两点距离公式即可求出公共弦长.评解】解:联立、x2+y2-2x=0x2+y评解】解:联立、x2+y2-2x=0x2+y2+4y=0，解得8|54|5

I=y故公共弦长等于故选：D.4|547515S.己知直线3x+2y-3=0和6x+wv+l=0互相平行，则它们之W的距离足( )A.4D.13A.4D.13【解析】【详解】因为3x+2厂3=0和6x+my-l=0互相平行，所以3:2=6:m，所以m=l.赚解0可以转化为卿卜由两条平行直线问的距离公式"f得:点晴：本题考S的是两条平行直线间的距离.用两条平行直线W的距离公式时，要注意两条直线要化成直线方程的一般式，并且两条直线方程中的系数要a1=a2,b1=b2，这时才可以有两条平行直线4:Ar+By+CA=OJ2:Ar+By+G=0问的距离为+B:二、多选题：本题共4小题，每小:+B:二、多选题：本题共4小题，每小:5分，共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9-下列利用方向向星、法向量判断线、面位罝关系的结论屮，正确的足()两条不重合直线/:的方向向量分别^^=(2,3-1).5=(—i-3,1),贝叹///:两个不同的平面a，/?的法向皇分别是，7=(2,2,-1),v=(-3,4.2).则a丄直线/的方向向^a=(l-l,2),平面a的法向量是w=(6,4-l),则/丄a直线/的方向向＞^=(0,3,0).平面a的法向=(0-5,0),贝U/la【答案】AB【解析】【分析】A中，根据两条不重合直线方向向星共线，判断两直线平行：B中，根据两个不同的平而法向壁垂直，判断两平面垂直：C中，根据直线的方向向星与平面的法向星垂直，判断直线与平面平行或在平面内：D屮，根据直线方向向萤与平面的法向蜇共线.判断直线与平面垂直【详解】对于A，两条不重合直线人./:的方向向星分别是a=(2.3-l),5=(-2-3,1),且b=-a'所以1屮込，选项A正确：对于B.两个不同的平面a,p的法向鼠分别=(2,2-1),v=(_3.4,2),且/7-v=2x(-3)+2x4-lx2=0,所以选项B正确：对于C.直线/的方向向＞^=(1-1,2),平面a的法向星是i/=(6,4-1)且^•w=lx6-lx4+2x(-l)=0'所以"/a或/[a，C选项错误：对于D.直线/的方向向M«=(0,3,0),平面a的法向星是反=(0，一5.0)且w=-|o.所以/丄a,选项D错误.故选：AB10.己知岡心为C的岡.v+r-4x+6y+U=0与点4(0-5),则()圆C的半径为2点A在圆C外点A与岡C上任一点距离的最大值为点A与岡C•上任一点距离的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】把岡c•的方程化为标准形式，写出圆心和半径，再逐一分析科选项并判断作答.【详解】依题意，岡C:(A-2)2+(y+3):=2,则圆心C(2,-3),半径r=y/2,A不正

确:因点A（0,-5）.则\AC\=2>f2>rt点A在圆C■外，B正确：因点A在岡C外，在圆C上任取点ffl\PA\<\PC\+\CA\=r+|C4|=3>/2.当且仅当点P，C.A共线，且P在线段.46*延长线上吋取‘y’，C正确：在岡C上任取点Af.^i\MA\>\CA\-\MC\=\CA\-r=4^,当且仅当点C.M,A共线，且A/在线段C4上时取‘*=”，C正确.故选：BCD（多选）如阁.ABCD-A^^D,为正方体.卜面结论正确的是（）BD//平面CBiDlACl丄fiD/ACi丄平面CB[Di异面直线ADCBt所成的角为60°【答案】ABC【解析】【分析】rtlAC；的射影DC；丄C£\、AC丄BD，结合线面垂直的判定即uf知B,C的正误；构建空间直角坐标系.利用空糾向星数星积的坐标运AC；=O.结合C选项即14判断A的正误，再利用线线角的向量求法求角.【i羊解】以Z）为坐标原点，分别以万万g所在方向为a，y,z轴的正半轴，逮立空间直角坐标系,由AC；在面DCC^、而BCCA、面AfiCD的射影BC\丄CB”AC丄份），即AC；丄CDp4C；丄(?什，4€；丄BD，又CD^CB^C9贝ijACi丄面CfiiDo...B、C正确;没正方体棱长为1.易知BD=(-1,-1,O).^=(-1,1,1).ABDAC；=O,即BD//面CBJh,故A正确；•••y^=(-l，0,0),CS;=(1.0,1)，AAD与CFi所成的角为45%故D错，故选：ABC.如图，四棱柱ABCD-A^C^的底面ABCDS:正方形，0为底面中心，丄平面ABCD^AB=AA,=>/2.则下列说法正确的S()叫=(1，0.1)平而OBBl的法向Mh=(0,1.-1)A/7丄平面【答案】BCD【解析I【分析】根据己知条件及给定的几何阌形写出点A，B.C,山的坐标，再对各个选项逐一分析计算并判断作答.【详解】依题意.ABCD^.正方形，4(71BD.AC与的交点0为原点.AB=AAi=>/2,在给定的空问直角坐标系中.fi(lA0)，C(0，l，0)，4(0,-l，0)，A(0,0，l)，而4^=AB=(l,l,0),则点^(1,1,1),M=(1,1,0,A不正确：5^=(1,0,0).@=(1，1，1).没平面的法向l：H=(x,y,z),则

^C=(O,l,-l)=n,即AC丄平而OBB”C正确:因OA=(0.-1.0)・则点A^C=(O,l,-l)=n,即AC丄平而OBB”C正确:故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.由原点0(0.0)向圆C:(x-2/+，=l引切线，切点为则切线长 【解析】【分析】首先求出岡心和半径，进而结合几何性质即吋求出结果.【详解】因为圆C:(x-2):+r=1的岡心为C(2,0)，半径为1， 所以|OC|=2,|Cg|=l,因此pe卜力:-1:=忑，故答案为：扎14.a/1:2x+y+2=0与/2:3a:+2y-5=0交点，且与/3:x-y-l=0垂直的直线的一般方程为 .【答案】x+y-l=0【解析I【分析】联立方程求出/I:2x+y+2=0^/z:3x+2y-5=0交点.再利用垂直关系得其斜率，再利用点斜式求解方程現、 (2x+v+2=0 (x=-93x+2y-5=0V=16【详解】没交点坐标为U，y)联立方程仏；£ 又直线3x+2y-5=0V=16/3:x-y-l=0的斜率为1，故与l3:x-y-l=0垂直的直线的斜率为-i.故所求直线方程为y-16=-(x+9)1t为一般式方程为义+)，一7=0故答案为：x+y-7=015.岡/+y-2x+10y-24=0与岡a:2+y2+2x+2y-8=0的交点为A.B,则线段AB的垂直平分线的一般方程为 •【答案】2x+y+3=0【解析I【分析】由题意和圆的性质可得线段AB的垂直平分线就是过两園岡心的直线，所以求出两圆的岡心，即可求出所求直线【详解】解：圆？+/—2x+10.v—24=0的岡心为(1，一5)，圆x2+y2+2x+2y-S=0的圆心为(-1,-1)，则两岡岡心所在直线方程为：-^4=^-,即2r+y+3=0.-1+5-1-1闪为两圆岡心所在直线垂直平分线段Afi，所以线段如的雄直平分线的方程足2x+y+3=0.故答案为：2x+>+3=0.16.设/>为矩形ABCD所在平面外的一点，直线丄平而ABCD,AB=3,BC=4,尺4=1,则点到直线fiD的距离为 .【答案】y【解析】【分析】求出@在云g上的射影长再利用勾股定理4得答案.因为汉4丄BGAP丄BC.AP丄BA，所以汉4BC^O.APBC=O.APBA=0，

=9.=pA-5C+（54）2+AP-BC^APBA=|列：BD2=BC2+CD2=25rBP2=BA2+AP2=10.=9.所以|^d|=5,|ap|:=io,因为—=g|-=-TT所以石/在fifj上的射影长为j.因为所以点P到直线的距离a=jAP故答案为：y.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17己知向箠a=（x，4，l）./?=（-2，_y，-l），c=（3，-2.z）,allb-5丄乙求:（2） ?与b+c夹角的余弦值.【答案】（1）a=（2,4,l）^=（-2,-4-l）,c=（3,-2,2）19【解析】【分析】（1）根据2//S可得存在又,使得b=Aa＞可求出义，）’，根据石丄E可得5c=0,可求出z，即求出坐标：（2）求出a+c和g+?的坐标.利用向星夹角公式即对求出.【小问1详解】•/allb....存在A，使得b=Aa^即（句，-1）=A（M，1）=（杠4A，A），又石丄？，/.5-c=-2x3-2y-z=0,可得2=2,所以«=（2,4,l）,b=（-2,-4-l）,c=（3,-2,2）：

【小问2详解】^a+c^b+c的夹角为汐，可得^+c=(\2,3^a+c^b+c的夹角为汐，5xl+2x(-6)+3xl 2V52+22+32Jl2+(-6)2+l2 19己知„ABC的三个顶点分别为＞1(-3,0),5(2,1).C(-2,3),忍C中点为D点，求:边所在直线的方程：5C边上中线4D所在直线的方程；边的垂直平分线的方程.【答案】(1〉x+2y-4=02x-3y+6=02x-y+2=0【解析】【分析】(1〉计算kBC=~.根据点斜式得到直线方程.2计算屮点坐标为(0,2),再计算kAD=-,得到直线方程.k8C=-^.得到垂直平分线的斜率为k=2,中点为(0.2).得到直线方程.【小问1详解】k,fC=~rh=~T故边所在直线的方程为：y-l=-|(x-2),化简得到x+2y-4=0.【小问2详解】f2-21+3A ,、 ； 2-0 25C中点D为［—,—即(0,2),故= -2故所在直线的方程为y=-x+2,即2x-3y+6=0.【小问3详解】kBC=-\,故垂直平分线的斜率为k=2.中点为(0,2).故垂直平分线的方程为3=2x+2,即2x—)’+2=0.已知圆C的圆心在直线/:x-2y-l=0上，并且经过A(2,1)(1,2)两点

'1)求圆C的标准方程.(2)求点P(4.-2)与圆C•上任一点连线的中点的轨迹方程【答案】⑴(x+l)2+(y+l)：=13；(2)卜一+()’+盖)=j【解析】【分析】(1)利用圆心在直线上4列出一个等式，经过两点代入圆的标准方程，最终三个等式联立求解：(2)直接用设出中点坐标，表示出圆上点的坐标.代入网的方程.整理化简nJ得轨迹方程.【i羊解】没岡的标准方程为(x-«)2+(y-b)2=r，a=-[a-2b-l=0a=-[由题可知•(2-a)2+(l-fe)2=r2解得-b=-l(1-a)2+(2-/?):=r: r=y/l3所以I利C•的t小准方程为(x+l)2+(y+l)2=13(2)设中点Q(^y),岡C上任一点M(x0,y0),闪为尸(4,-2)闪为尸(4,-2)，所以2v--2”o■2a0=2x-4y0=2y+2代入圆的方程得:(Zx_4+l)]+(2y+2+l)2=13整理得|x一晏j+f>所以，中点的轨迹方程为1314所以，中点的轨迹方程为1314II>IX7

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+V-20.己知岡C:x~+y--8x4-12=0,直线l:x+ay+2a=Q.当a为何值吋，直线/与圆C相切：当直线/与岡C相交于A.打两点，且\AB\=2>/2时.求直线f的方程.【答案】(1) = (2)x-v-2=0或x-7v-14=0.4【解析】【分析】(1)利用岡心到直线的距离等于半径，结合点到直线距离公式，即得解：(2)利用弦心距、弦长、半径的勾股关系，求出弦心距为J=V2•结合点到直线距离公式.即得解【i羊解】U)圆C的标准方程为(.r一4):+r=4,岡心C(4.0),半径为2

?7直线/与岡C相切，则yd*+1解得67=--4?7直线/与岡C相切，则yd*+1解得67=--4（2）设圆心＜7（4,0）到直线/的距离为a，则有i^iY2BP(V2)2+J2=4,即J=>/2>由|4+2a|y/a2+i解得a=-l或a=-7所以直线/方程为x-），一2=0或—7y-14=0如阁，在棱长为2的正方体ABCD-A^C^中，£为棱BC的中点，F为棱CD的中点.（1） 求证：（1） 求证：Df"平面:（2） 求平面A/hG与平面山夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析1（2）-3【解析】【分析】（1）以A为原点，AB.AD,A.\分别为X,y,Z轴，建立如阁空间直角坐标系，求得平面\ECl的一个法向鼠，由空问向鼠的数藍积运算4得证：（2）由正方体的特征可得.平面A4/；的一个法向鼠为DB=（2.-2.0）,根据面面角的向黾求解方法＞4求得答案.【小问1详解】证明：以A为原点.AB.AD.AA,分别为X.y,Z轴.建立如阁空叫直角坐标系.则71（0,0,0）,A（0,0,2）,B（2,0,0）,C（2,i0）,D（0,2,0）,C,（2,2,2）,D,（0,2,2）.因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点.所以E（2J,0）,F（l,2,0）.所以57