《工程力学》教学讲义第六章动力学基础

《工程力学》教学讲义第六章动力学基础本章主要介绍动力学的一些基本定律和处理动力学问题时常用的一些定理，它们是学习动力学的基础。学习时主要掌握动力学定律的基本概念和公式，并能应用动力学的基本定律来解决具体问题。教学目的和要求质点运动的微分方程；刚体绕定轴转动的微分方程；质点的动量矩定理和动能定理；质点的达朗伯原理。教学重点刚体绕定轴转动微分方程及其应用；质点和质点系的动量定理；质点和质点系的动量矩定理；质点和质点系的达朗伯原理。

教学难点动力学——研究物体机械运动与作用在物体上的力之间的关系的科学。质点——具有质量而形状和大小都可以忽略不计的物体。质点系——由几个或无限个有联系的质点所组成的系统。

运动量——从不同的侧面来描述系统的运动特征。物理量

作用量——从不同的侧面来描述力系的作用效果。动力学的几个基本概念1.牛顿第一定律第一节动力学的基本定律牛顿第一定律——如果质点不受力的作用，那么它或者是静止，或者是作匀速直线运动。牛顿第一定律表明，任何物体都有保持静止或匀速直线运动状态的属性，该属性习惯上称为惯性。因此牛顿第一定律也称惯性定律。2.牛顿第二定律牛顿第二定律——质点受力的作用时所获得的加速度与力的大小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。即或这是一个矢量表达式，它表明力的方向与加速度方向是一致的。3.牛顿第三定律牛顿第三定律——两物体间相互的作用力，总是大小相等，方向相反，并且沿着同一条直线。牛顿第三定律也称为作用力和反作用力定律。这个定律不仅在物体平衡时适用，而且也适用于作任何形式运动的物体。牛顿定律所给出的结论只有在惯性参考系才是正确的。根据质点运动学中描述质点的运动的三种基本方法，可以将质点的动力学基本方程表示为不同形式的微分方程。第二节质点运动的微分方程一、质点运动微分方程的矢量形式

质点受到n个力F1，F2，…，Fn作用时，由质点动力学的基本方程，有二、质点运动微分方程的直角坐标形式

由牛顿第二定律得

三、质点运动微分方程的自然坐标形式

若将课本中的式(6-2)在自然轴系的切线方向、法线方向投影可得质点运动微分方程的自然坐标形式，即

例6-1

质量为m的质点M绕椭圆形路线运动，如图所示其运动方程为方程中a、b、k都是常数，求作用在质点上的力F。解以质点M为研究对象，将运动方程微分两次得力F与矢径r共线、反向，这表明，此质点按给定的运动方程作椭圆运动。作用在此质点上的力在轴上的投影为由牛顿第二定律得例6-2质量为m的质点在已知力Fx=Fsinωt的作用下沿x轴运动，在初始时t=0，x=x0,vx=v0，求该质点的运动。解取质点为研究对象，质点的运动微分方程为两边乘以dt得两边积分得推导出将代入，分离变量并积分得第三节刚体绕定轴转动的微分方程1.刚体绕定轴转动的概念刚体绕定轴转动——刚体转动时，刚体内始终有一条直线固定不动，而这条直线以外的各点则绕此直线作圆周运动。2.刚体绕定轴转动的微分方程刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量，刚体对z轴的转动惯量定义为影响转动惯量的因素有：刚体的质量、质量的分布情况以及转轴的位置，若z轴与刚体固连在一起时Jz是常量。

以上各式称为刚体绕定轴转动的微分方程。2）特殊情况对刚体绕定轴转动微分方程的理解刚体绕定轴转动时，其主动力对转轴的矩使刚体转动状态发生变化。转动惯量是刚体转动状态改变难易程度的度量。

若外力矩恒为零，则刚体作匀速转动或保持静止；

若外力矩为常量，则刚体作匀变速转动。1）物理意义

例6-3

如图所示，已知定滑轮半径为r，转动惯量为J，带动定滑轮的胶带拉力为F1和F2。求定滑轮的角加速度ε。解由刚体绕定轴的转动微分方程，有

则由此可见，欲使跨过定滑轮的胶带拉力相等，只有当定滑轮为匀速转动(包括静止)，或当非匀速转动时可忽略定滑轮的转动惯量的条件下才能实现。第四节动量定理一、质点的动量质点的动量——设质量为m的质点相对于某一惯性参考系以速度v作运动。质点的动量等于质点的质量与其速度的乘积，即mv。动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。二、质点系的动量质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量，即三、质心的动量质心——组成质点系各质点的质量及其在空间的位置是不同的。表征质点系中各质点的质量及其位置的分布情况的一个几何点称为质量中心，简称质心。静力学中求质心的公式为其坐标公式为,,由于质点系的动量是质点系各质点动量的矢量和，再由质心的定义得可见质点系的动量（主矢）等于质点系的总质量与质心速度的乘积。写成投影式为

例6-4

求图中各质点系的动量。(1)质量为m，质心速度为vc的均质圆盘在水平面上运动；(2)质量为m，长为l的均质杆绕O轴转动的角速度为ω；(3)皮带及皮带轮的质量都是均匀的。

解(1)

(2)

(3)因为皮带及皮带轮的质量均匀分布，系统在任何瞬时的形状与质量分布都是相同的，所以质心的位置固定不动即故质点Q的动量对于O点的矩，定义为质点对点O的动量矩：1.质点的动量矩质点动量mv在Oxy平面的投影（mv)xy对于点O的矩，定义为质点动量对于z轴的矩，简称对于z轴的动量矩。质点对于O点的动量矩矢在z轴上的投影，等于对z轴的动量矩。正负号规定与力对轴矩的规定相同：对着轴看“顺时针为负，逆时针为正”。第五节动量矩定理一、动量矩质点系对点O动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和，或者称为质点系动量对点O的主矩，即2.质点系的动量矩质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一轴z动量矩的代数和，即所以有上式表明：质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的z轴上的投影等于质点系对于该轴的动量矩。1.质点的动量矩定理对质点动量矩求一次导数，得因为得二、动量矩定理上式表示质点对任意一定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩，称为质点的动量矩定理。2．质点系的动量矩定理对于n个质点，由质点动量矩定理有上式表明质点系对于某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对于同一点的矩的矢量和（外力对点O的主矩），称为质点系的动量矩定理。由于于是n个方程相加，有质点运动微分方程的矢量形式为一、质点的动能定理第六节动能定理两边同时乘以dr得：由于故

或

积分得即在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用在质点的力所作的功。或对于由n个质点组成的质点系，其中任意一质点都符合动能定理，即二、质点系的动能定理将所有的质点动能方程相加得

或

设一质点M质量m，受主动力和约束力，合力作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点的达朗伯原理。一、质点的达朗伯原理第七节达朗伯原理若令称为质点的惯性力二、质点系的达朗伯原理对于由n个质点组成的质点系，其中任意一质点i的达朗伯原理表示为若将作用在质点上的力分为外力合力和内力合力，则

将各质点外力合力、内力合力与虚加惯性力合力相加得因为故：本章小结1.