临沂大学《线性代数》课件-第二章

临沂大学线性代数行列式的性质a11

a12

a1na22

a2

n

an1

an

2

ann

设D

a21

DTa11

a21

an1a22

an

2

a1n

a2

n

ann

a12

则转置行列式为性质1：D

DT由行列式的定义即可证明这条性质。在行列式中，行和列的位置是对称的，对行成立的，对列也成立。因此下面只介绍关于行列式的行的性质。性质2：互换两行，行列式变号。即

a1na11

ain

a

j1

a

jnai1

annan1 a1na

jnainanna11ai1a

j1an111 22 3312 23 3113 21 322122 2313 22 3111 23 3212 21 33313233a11 a12 a13a a aa a a

a

a

a

a

a

aD

aa a a

a

aa a aa a a111313233a a aD

aa a 12

21

3313

22

3111

23

3211

22

3313

21

3212

23

31a a a

a

a

aa a aa

a

aa a aa a a121332a21 a22 a2312 1332a22 a2333a21 a2331 33a21 a22 .3111 aaa aa a

aaa12133232a22 a2333a21 a2331 33a21 a22 .3111 aaa aa a

aaa推论：若行列式中有两行元素完全相同则行列式为零。设Aij为元素aij的代数余子式，则有aj1

Ai1

aj

2

Ai

2

ajn

Ain

0 (i

j)a1

jA1i

a2jA2i

anj

Ani

0 (i

j)a11

a1n

ai1

ain

ai1

ain

an1

ann怎么证明呢？我们考虑下面的行列式两行相同行列式的值为0.将行列式按第j行展开.j1

i1j

2 i

2jn

ina A

a

D,(i

j).

0, (i

j).A

a

A1

j

1i2

j

2inj nia A

a

D,(i

j).

0, (i

j).A

a

A这是非常有用的两个公式，应该记住。性质3：用数k乘行列式某一行中所有元素，等于用k乘此行列式。即a

a a

a11

1n

11

1n

ka

ka

k

a

ai1

in

i1

in

a

a a

an1

nn

n1

nn

推论：某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。78

4

62 116 24

2

31

2

2

1

116 2 72

2

3

4

1

1

18 2 7性质4：行列式某一行元素加上另一行对应元素的k倍，行列式的值不变。即：aina11

ai1

kaj1

aj1

an1

a1n a11

a1n

kajn ai1

ain

.ajn aj1

ajn

ann an1

annaina1nkajnajnanna11

ai1

kaj1

aj1

an1

a11

a1n a11

a1n

ai1

ain kaj1

kajn

aj1

ajn aj1

ajn

an1

ann an1

annaina11

a1n

an1b1a1nbnann

ai1

b1

bn

?

an1

anna

a a11

11 1n

a

a i1 in

a

a n1 nn

问题性质5：若行列式某一行的元素是两数之和，则行列式可拆成两个行列式的和。推论：若行列式某一行的元素都是m个元素的和，则行列式可以写成m个行列式的和。证明你写出的行列式的性质。练习写出行列式的性质。性质2：互换两行，行列式变号。性质3：用数k乘行列式某一行中所有元素，等于用k乘此行列式。性质4：行列式某一行元素加上另一行对应元素的k倍，行列式的值不变。最重要的三个性质。性质2：互换两行，行列式变号。推论：若行列式中有两行元素完全相同则行列式为零。性质3：用数k乘行列式某一行中所有元素，等于用k乘此行列式。推论：某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。性质4：行列式某一行元素加上另一行对应元素的k倍，行列式的值不变。3222232222322223.例1：计算D

分析:各行元素之和为一定数,故将第2、3、4行全加到第1行,然后将公因子提出来。D

2解：9 9 9 93 2 2

9

22 2 3 22 2 2 31 1 1 11 0 00 0 1 00 0 0 11 1 1 13 2 2

9

02 2 3 22 2 2 3=9一般地，可以计算abbabbbba方

法[a

(n

1)b](a

b)n1

.请

牢1记这1

1种11b0]法

。0[a

(n[a

(n1)b1)b]1 0 b，a这

ba类题

就这种

做b

0

b

aa

b

1.设

0,

求行列式D

的值.

练习

D

r1

r2

r3

0 0 0

0.

1

a1a2

an1

an

a1

1

a2

an1

an

.a1 a2

1

an1 ana1 a2

an1 1

an2.求Dn 练习1

a1

a2

an

.3 1 1

2例2.D

51

1204

601

10

273

21065723

6

1461

2

22112 2 31 3

4

82 0 1 1

21

5 3

3 16

8 4 022 1 1116

2 7 0216

24 210 15 18 2 744000 11a1 01b1 10ca bcd.3.求D4

练习011a101b011c

b0bc

ad

ab3 2r

rr4

ar21 1 a

1 1 c

bb c

a d

ab按c1展开1r2

r1,r3

br11 a

0 2 c

a

b0 c

a

b d

2ab

2(d

2ab)

(c

a

b)2

a2

b2

c2

2ab

2ac

2bc

2d.c

a

b2 c

a

bd

2ab按c1展开 问题四阶行列式有没有类似于三阶行列式的对角线法则？四阶行列式怎么求？一般的做题步骤是什么？问题我们介绍了几种n阶行列式？abbabbbbax0yx0y0xy00y0x0yx.2nababa bc dcdcdD 克莱姆法则a x

a x

a x

ba x

a x

bn

2

2

nn

n

nan1

x12

n

n

221

1

22

2

a1n

xn

b1考虑方程组a x12

2

a11

x1与二,三元方程组类似,n元方程组的解也可用行列式表示.

a11x1

a12

x2

b1,a21x1

a22

x2

b2.1112a aa21 a22D

0.复习11112b1a12a22a aDa21 a22x

b2

D1

,21112a11b1b2a aDa21 a22x

a21

D2

.12,a1222b aD

b12212b1 .a bD

a11定理1 若方程组的系数行列式D

a21

0a11 a12

a1na22

a2n

an1 an2

ann则方程组有惟一解1212.nnDDDDDDx ,

x

,,

x

其中a11

a1(

j

1)

b1

a1(

j

1)

a1n

Dj

a

a b a

an1 n(

j

1) n n(

j

1) nn要证明这一定理,需证明三点.一是有解,二是解惟一,三是解的公式Dxj

Dj(

j

1,2,,

n)欲证Djx

Dj是解,只需证明等式11D D DD1

D2aDn12

1n

1a

a

b(

j

1,2,,

n)等n个式子成立.整理上式,得:b1D

a11D1

a12

D2

a1n

Dn

0.分析这个式子可知应为n+1阶行列式。这个n+1阶行列式是什么样的呢？1111221221n2nn1n

2nnbaDaaaa an1a a

a此行列式为零.将其按第一行展开,得0

Dn1 b1D

a11D1

a12

D2

a1n

Dn

0.1nbaaaDaaaa a11111122222211222211nn22nnnn11nn22nnnnb aa abb1aaaDaaabbna aann1111 1111 11221n

bb

a

aab1a11a11

a12

a1n21

a22

a2n

an1

an2

annb1a11

a1nb2a21

a2n

bn

an1

anna12(1)2n

a1na1,n1a2,n1an,n1

b1D

a11D1

a12

D2

a1nDnb1 a12

a1nb2

a22

a2n

bn an2

annb1 a11 b2 a21

bn an1

0由

D

0得证。DDjjc 再证解是惟一的,

设c1,

c2

,,

cn为一组解

即

a11c1

a12c2

a1ncn

b1,a21c1

a22c2

a2ncn

b2,an1c1

an2c2

anncn

bn.只需证即D

cj

Dj

.D

cj

Dj

a11c1

a12c2

a1ncn

b1,a21c1

a22c2

a2ncn

b2,an1c1

an2c2

anncn

bn.a11

a1(j

1)

an1

an(j

1)a1

jc

j a1(

j

1)

a1n

anjcj an(

j

1)

ann定理2 若方程组的系数行列式不为零,则方程组有惟一解.定理1 若方程组的系数行列式D

a