河南理工大学《概率论与数理统计》课件-第7章参数估计

第七章参数估计第一节数理统计的基本概念第二节基于截尾样本的最大似然估计第三节估计量的评选标准第四节区间估计第五节正态总体均值与方差的区间估计第六节分布参数的区间估计第七节单侧置信区间河南理工大学《概率论与数理统计》第七章参数估计理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念，掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算。了解卡方分布、t分布和F分布的定义及性质，了解分布分位数的概念并会查表计算。了解正态总体的某些常用统计量的分布。理解点估计的概念。掌握矩估计法和极大似然估计法。了解估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性）。理解区间估计的概念。会求单个正态总体的均值和方差的置信区间。了解两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。第七章参数估计第一节数理统计的基本概念一、总体与个体二、样本与简单随机抽样三、统计量四、正态总体的常用样本函数的分布五、概率分布的分位点数理统计与概率论一样也是从量的侧面研究随机现象统计规律性的一门学科。但两者研究方向、方法有很大的差别。数理统计所研究的问题概率论与数理统计的关系

数理统计以概率论为基础概率论中对随机现象所作的假设又常常由数理统计去确定。

数理统计研究内容

抽样方法

数理统计参数估计统计推断假设检验方差分析及回归分析

数理统计是运用概率论的知识，研究如何有效地对带有随机性影响的数据进行收集、整理、分析和推断的学科，由于随机性现象广泛存在于工、农业生产、工程技术、自然科学和社会科学等领域中，因此数理统计有着最广泛的应用。数理统计内容很多，本课程主要介绍参数估计、假设检验中的基本内容。一、总体与个体在数理统计中，我们将研究对象的全体称为总体或母体，而把组成总体的每个元素称为个体。例如研究一批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体构成了研究的总体，其中每个灯泡就是个体。在实际问题中，研究对象往往是很具体的事物或现象，而我们所关心的不是每一个个体的种种具体的特征，而是其中某项或某几项数量指标，记为X。在上例中，X即指该批灯泡的寿命。对不同的个体，X的取值一般是不同的。例如在试验中观察若干个个体就会得到X的一种数值，但在试验或观察之前，无法确定会得到一组什么样的数值，所以X是一个随机变量或随机向量，而X的分布也就完全描述了我们所关心的指标，即总体的分布。为方便起见，以后我们将X的可能取值的全体组成的集合称为总体，或直接称X为总体，X的分布也就是总体的分布。总体分布一般是全部或部分未知的，为了研究总体X的分布规律，我们需要对总体X进行若干次观察。由观察得到总体指标的一组数值(X1,X2,...,Xn)，其中Xi为第i次观察结果，并称(X1,X2,...,Xn)为总体X的一组容量为n的样本观察值，样本观察值是对总体分布进行分析、推断的基础。二、样本与简单随机抽样这种从总体中随机地抽出若干个个体进行观察或实验，称为随机抽样观察，从总体中抽出的若干个个体称为样本，一般记为(X1,X2,...,Xn)，而一次具体的观察结果是完全确定的一组数值（x1,x2,…,xn），但它又随着每次抽样观察而改变。因此，容量为n的样本（X1,X2,…,Xn）是n维随机向量，而具体的观察值（x1,x2,…,xn）是随机变量（X1,X2,…,Xn）的一个样本观察值。样本（X1,X2,…,Xn）所有可能取值的全体称为样本空间，而样本观察值（x1,x2,…,xn）是样本空间中的一个样本点。随机抽样的目的是为了对总体X的分布进行各种分析推断，所以要求抽取的样本能很好地反映总体的特性，为此我们要求随机抽取的样本（X1,X2,…,Xn）满足：（1）具有代表性。即样本的每个分量Xi与X有相同的分布；（2）具有独立性。即X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量，也就是说，n次观察值之间是互相独立的；满足上述两条的样本称为简单随机样本，今后如无特别说明，所说的样本均指简单随机样本。由定义得:若X1,X2,...,Xn为F的一个样本,则X1,X2,...,Xn相互独立,且它们的分布函数都是F,所以(X1,X2,...,Xn)的分布函数为又若X具有概率密度f,则(X1,X2,...,Xn)的概率密度为样本是我们进行分析和推断的起点，但实际上我们往往并不直接利用样本进行推断，而需要对样本进行一番“加工”和“提炼”，将分散于样本中的信息集中起来。为此我们引进统计量的概念。三、统计量定义

设X1,X2,...,Xn是来自总体X的一个样本,g(X1,X2,...,Xn)是X1,X2,...,Xn的函数,若g中不含未知参数,则g(X1,X2,...,Xn)称是一统计量.

因为X1,X2,...,Xn都是随机变量,而统计量g(X1,X2,...,Xn)是随机变量的函数,因此统计量是一个随机变量.设x1,x2,...,xn是相应于样本的样本值,则称g(x1,x2,...,xn)是g(X1,X2,...,Xn)的观察值.几个常用的统计量:

样本平均值:样本方差:样本标准差:样本k阶(原点)矩:样本k阶中心矩:它们的观察值分别为这些观察值仍分别称为样本均值,样本方差,样本标准差,样本k阶(原点)矩以及样本k阶中心矩.理论上，若总体的分布已知，统计量的分布总是确定的。但对一般的总体分布，统计量的分布计算往往很复杂，甚至不能求出。这里我们考虑正态总体分布的抽样分布。一方面是因为其抽样分布较容易求出，另一方面是正态分布可以作为很多统计问题中总体分布的近似。四、正态总体的常用样本函数的分布设总体X(不管服从什么分布,只要均值和方差存在)的均值为m,方差为s2,X1,X2,...,Xn是来自四、c2分布,t分布,F分布

设随机变量X具有概率密度fX(x),-<x<,求Y=X2的概率密度.1.c2分布解分别记X,Y的分布函数为FX(x),FY(y).由于Y=X20,故当y0时FY(y)=0.当y>0时有例1将FY(y)关于y求导数,即得Y的概率密度为例如设X~N(0,1),其概率密度为则Y=X2的概率密度为此时称Y服从自由度为1的c2分布.定义1

设X1,X2,...,Xn是相互独立的随机变量，且~N(0,1)则称随机变量服从自由度为n的c2分布,记为c2~c2(n).此处,自由度是指(2.1)式右端包含的独立变量的个数.

c2(n)分布的概率密度为

f(x)的图形如下:c2分布的可加性

设c12~c2(n1),c22~c2(n2),并且c12,c22独立,则有

c12+c22~c2(n1+n2).2.t分布

定义2

设X~N(0,1),Y~c2(n),且X,Y独立,则称随机变量服从自由度为n的t分布,记为T~t(n).t分布又称学生氏(Student)分布,t(n)分布的概率密度函数为

f(t)的图形为3.F分布

定义3设U~c2(n1),V~c2(n2),且U,V独立,则称随机变量服从自由度为(n1,n2)的F分布,记为F~F(n1,n2).F分布的概率密度为f(x)的图形(n1,n2)=(10,40)(n1,n2)=(11,3)O由定义可知,若F~F(n1,n2),则定理一

设X1,X2,...,Xn是来自总体N(m,s2)的样本,`X是样本均值,则有

定理二设X1,X2,...,Xn是来自总体N(m,s2)的样本,`X和S2是样本均值和样本方差,则有定理三设X1,X2,...,Xn是来自总体N(m,s2)的样本,`X和S2是样本均值和样本方差,则有证由定理一,定理二且两者独立,由t分布定义知定理四则有证

(1)由定理二由假设S12,S22独立,则由F分布的定义知易知则按t分布的定义可知五、概率分布的分位点定义3

设随机变量X的密度函数为f(x),对给定的(0<<1),称满足条件的实数为X的上分位点.定义4

称满足的值，为X的概率分布的双侧分位点。定义1

设X1,X2,...,Xn是相互独立的随机变量，且~N(0,1)则称随机变量服从自由度为n的c2分布,记为c2~c2(n).此处,自由度是指(2.1)式右端包含的独立变量的个数.

c2(n)分布的概率密度为1、c2分布

f(x)的图形如下:c2分布的可加性

设c12~c2(n1),c22~c2(n2),并且c12,c22独立,则有

c12+c22~c2(n1+n2).c2分布的分位点

对于给定的正数a,0<a<1,称满足aca2(n)6.262

幻灯片37附表4-2=0.9950.990.9750.950.900.75123456789101112131415160.0100.0720.2070.4120.6760.9891.3441.7352.1562.6033.0743.5654.0754.6015.1420.0200.1150.2970.5540.8721.2391.6462.0882.5583.0533.5714.1074.6605.2295.8120.0010.0510.2160.4840.8311.2371.6902.1802.7003.2473.8164.4045.0095.6296.2626.9080.0040.1030.3520.7111.1451.6352.1672.7333.3253.9404.5755.2265.8926.5717.2617.9620.0160.2110.5841.0641.6102.2042.8333.4904.1684.8655.5786.3047.0427.7908.5479.3120.1020.5751.2131.9232.6753.4554.2555.0715.8996.7377.5848.4389.29910.16511.03711.912分布表6.262=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.8456.6359.21011.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.0007.87910.59712.83814.86016.75018.54820.27821.95523.58925.18826.75728.29929.89131.31932.80134.267分布表27.4882.t分布

定义2

设X~N(0,1),Y~c2(n),且X,Y独立,则称随机变量服从自由度为n的t分布,记为T~t(n).t分布又称学生氏(Student)分布,t(n)分布的概率密度函数为

f(t)的图形为t分布的分位点

对于给定的a,0<a<1,称满足条件的点ta(n)为t(n)分布的上a分位点ta(n)a由t分布上a分位点的定义及f(t)图形的对称性知

t1-a(n)=-ta(n)

t分布的上a分位点可自附表3查得,在n>45时,对于常用的a的值,就用正态近似:

ta(n)za. 2.1315

附表3-1=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.70624.30273.18242.77642.57062.44692.36462.30602.26222.22812.20102.17882.16042.14482.13152.119931.82076.96464.54073.74693.36493.14272.99802.89652.82142.76382.71812.68102.65032.62452.60252.583563.65749.92485.84094.60414.03223.70743.49953.35543.24983.16933.10583.05453.01232.97682.94672.9208分布表2.13153.F分布

定义3设U~c2(n1),V~c2(n2),且U,V独立,则称随机变量服从自由度为(n1,n2)的F分布,记为F~F(n1,n2).F分布的概率密度为f(x)的图形(n1,n2)=(10,40)(n1,n2)=(11,3)O由定义可知,若F~F(n1,n2),则F分布的分位点对于给定的a,0<a<1,称满足条件的点Fa(n1,n2)为F(n1,n2)分布的上a分位点,此分位点有表格可查(见附表5).在Excel软件中的函数FINV可以查出F分布的分布函数逆函数,也就容易查出上a分位点.F-分布的上a分布的示意图OFa(n1,n2)a若F~F(n1,n2),按定义由(1),(2)式可得F分布的上a分位点满足:上式常用来求F分布表中未列出的常用的上a分位点,例如4.90

分布表附表5-1分布表

1234567891012152024304012012345678910111213141516171819647.838.5117.4412.2210.018.818.077.577.216.946.726.556.416.306.206.126.045.955.92799.539.0016.0410.658.437.266.546.065.715.465.265.104.974.864.774.694.624.564.51864.239.1715.449.987.766.605.895.425.084.834.634.474.354.244.154.084.013.953.90899.639.2515.109.607.396.235.525.504.724.474.284.124.003.893.803.733.663.613.56921.839.3014.889.367.155.995.294.824.484.244.043.893.773.663.583.503.443.383.33937.139.3314.739.206.985.825.124.654.234.073.883.733.603.503.413.343.283.223.17948.239.3614.629.076.855.704.994.534.203.953.763.613.483.383.293.223.163.103.05956.739.3714.548.986.765.604.904.434.103.853.663.513.393.293.203.123.063.012.96963.339.3914.478.906.685.524.824.364.033.783.593.443.313.213.123.052.982.932.88968.639.4014.428.846.625.464.764.303.963.723.533.373.253.153.062.992.922.872.82976.739.4114.348.756.525.374.674.203.873.623.433.283.153.052.962.892.822.772.72984.939.4314.258.666.435.274.574.103.773.523.333.183.052.952.862.792.722.672.62993.139.4514.178.566.335.174.474.003.673.423.233.072.952.842.762.682.622.562.51997.239.4614.128.516.285.124.423.593.613.373.173.022.892.792.702.632.562.502.45100139.4614.088.466.235.074.363.893.563.313.122.962.842.732.642.572.502.442.39100639.4714.048.416.185.014.313.843.513.263.062.912.782.672.592.512.442.382.33101439.4913.958.316.074.904.203.733.393.142.942.792.662.552.462.382.322.262.20101839.5013.908.266.024.854.143.673.333.082.882.722.602.492.402.322.252.192.134.90

1234567891015202430406012012345678910111213141516171819161.418.5110.137.716.615.995.595.323.124.964.844.754.674.604.544.494.454.414.38199.519.009.556.945.795.144.744.464.264.103.983.893.813.743.683.633.595.553.52215.719.169.286.595.414.764.354.073.813.713.593.493.413.343.293.243.203.163.13224.619.259.126.395.194.534.123.843.633.483.363.263.183.113.063.012.962.932.90230.219.309.016.265.054.393.973.693.48

3.333.203.113.032.962.902.852.812.772.74234.019.338.946.164.954.283.873.583.373.223.093.002.922.852.792.742.702.662.63236.819.358.896.094.884.213.793.503.293.143.012.912.832.762.712.662.612.582.54238.919.378.856.044.824.153.733.443.233.072.952.852.772.702.642.592.552.512.4824.0519.388.816.004.774.103.683.393.183.022.902.802.712.652.592.542.492.462.42241.919.408.795.964.744.063.643.353.142.982.852.752.672.602.542.492.452.412.38245.919.438.705.864.623.942.513.223.012.852.722.622.532.462.402.352.312.272.23248.019.458.665.804.563.873.443.152.942.772.652.542.462.392.332.282.232.192.16249.119.458.645.774.533.843.413.122.902.742.612.512.422.352.292.242.192.152.11250.119.468.625.754.503.813.383.082.86

2.702.575.472.382.312.252.192.152.112.07151.119.478.595.724.463.773.343.042.832.662.532.432.342.272.202.152.102.062.03252.219.488.575.694.433.743.303.012.792.622.492.382.302.22

2.162.112.062.021.98253.319.498.555.664.403.703.272.972.752.582.452.342.252.182.112.062.011.971.93254.319.508.535.634.363.673.232.932.712.542.402.302.212.132.072.011.961.921.882.31附表5-2分布表从正态总体中抽取容量为16的样本，试求：(1)已知；(2)未知，但已知样本方差的情况下，样本均值与总体均值m之差的绝对值小于2的概率。解(1)由于统计量因此在s

2已知时，,1.96例1附表2-1标准正态分布表z01234567890.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.60.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645附表2-2标准正态分布表z01234567891.61.71.81.92.02.12.22.32.42.52.62.72.82.93.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.96980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98530.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00001.96(2)由于s

2未知，但S2=20.8，这时统计量因此查t分布表得t

0.05(16-1)=1.753，P(t>1.753)=0.05。2.1315由此可得设总体X服从正态分布N(72，100)，为使样本均值大于70的概率不小于90%，则样本容量应取多少?解设所需样本容量为n，由于则查标准正态分布得1.645即n>41.6025，故样本容量至少为42，才能使样本均值不大于90%例2在总体N（52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率。解例3在总体N（12，4）中随机抽一容量为5的样本X1，X2，X3，X4，X5.（1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。（2）求概率P{max(X1，X2，X3，X4，X5)>15}.（3）求概率P{min(X1，X2，X3，X4，X5)﹤10}.解：（1）例4设X1，X2…，X10为N（0，0.32）的一个样本,求（2）P{max(X1，X2，X3，X4，X5)>15}=1－P{max(X1，X2，X3，X4，X5)≤15}=（3）P{min(X1，X2，X3，X4，X5)<10}=1－

P{min(X1，X2，X3，X4，X5)≥10}=例56.262

幻灯片37一、点估计问题的提法设总体X的分布函数形式已知,但它的一个或多个参数为未知,借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为点估计问题.例1解用样本均值来估计总体的均值E(X).点估计问题的一般提法解例2二、估计量的求法由于估计量是样本的函数,是随机变量,故对不同的样本值,得到的参数值往往不同,如何求估计量是关键问题.常用构造估计量的方法:(两种)矩估计法和最大似然估计法.1.

矩估计法(X为连续型)(X为离散型)矩估计法的定义用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数,这种估计法称为矩估计法.矩估计法的具体做法:矩估计量的观察值称为矩估计值.例3解例4解方程组得到a,b的矩估计量分别为例5解解方程组得到矩估计量分别为例6上例表明:总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体分布而异.一般地,2.

最大似然估计法似然函数的定义最大似然估计法似然函数的定义求最大似然估计量的步骤:费舍尔最大似然估计法是由费舍尔引进的.最大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数的情况.此时只需令对数似然方程组对数似然方程解似然函数例7这一估计量与矩估计量是相同的.解例8这一估计量与矩估计量是相同的.解X的似然函数为例9它们与相应的矩估计量相同.解例10最大似然估计的性质.证明此性质可以推广到总体分布中含有多个未知参数的情况.如例9中,两种求点估计的方法:矩估计法最大似然估计法在统计问题中往往先使用最大似然估计法,在最大似然估计法使用不方便时,再用矩估计法.作业P1731,2,6P1812,5,7第二节基于截尾样本的最大似然估计一、基本概念二、基于截尾样本的最大似然估计三、小结一、基本概念1.

寿命分布的定义产品寿命T是一个随机变量,它的分布称为寿命分布.2.

完全样本的定义(一种典型的寿命试验)如果不能得到完全样本,就考虑截尾寿命试验.3.

两种常见的截尾寿命试验(1)定时截尾寿命试验(2)定数截尾寿命试验二、基于截尾样本的最大似然估计1.

定数截尾样本的最大似然估计设产品的寿命分布是指数分布,其概率密度是设有n个产品投入定数截尾试验,截尾数为m,得定数截尾样本为了确定似然函数,观察上述结果出现的概率.上述观察结果出现的概率近似地为取似然函数为对数似然函数为2.

定时截尾样本的最大似然估计设定时截尾样本与上面讨论类似,得似然函数为例设电池的寿命服从指数分布,其概率密度为随机地取50只电池投入寿命试验,规定试验进行到其中有15只失效时结束试验,测得失效时间(小时)为115,119,131,138,142,147,148,155,158,159,163,166,167,170,172.解三、小结两种常见的截尾寿命试验定时截尾寿命试验定数截尾寿命试验定时截尾样本的最大似然估计:定数截尾样本的最大似然估计:第三节估计量的评选标准一、问题的提出二、无偏性三、有效性四、相合性五、小结一、问题的提出从前一节可以看到,对于同一个参数,用不同的估计方法求出的估计量可能不相同,如第一节的例4和例10.而且,很明显,原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量.问题(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?(2)评价估计量的标准是什么?下面介绍几个常用标准.二、无偏性无偏估计的实际意义:无系统误差.证例1特别的:不论总体X服从什么分布,只要它的数学期望存在,证例2(这种方法称为无偏化).解由第六章第二节定理二知例3证例4证明例5由以上两例可知,一个参数可以有不同的无偏估计量.三、有效性由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度,所以无偏估计以方差小者为好.证明例6

(续例5)证明例7

(续例4)四、相合性例如证明由大数定律知,例8由大数定律知,五、小结估计量的评选的三个标准无偏性有效性相合性相合性是对估计量的一个基本要求,不具备相合性的估计量是不予以考虑的.由最大似然估计法得到的估计量,在一定条件下也具有相合性.估计量的相合性只有当样本容量相当大时,才能显示出优越性,这在实际中往往难以做到,因此,在工程中往往使用无偏性和有效性这两个标准.第四节区间估计一、区间估计的基本概念二、典型例题三、小结一、区间估计的基本概念1.

置信区间的定义关于定义的说明若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n)按伯努利大数定理,在这样多的区间中,例如2.

求置信区间的一般步骤(共3步)单击图形播放/暂停ESC键退出单击图形播放/暂停ESC键退出例1二、典型例题这样的置信区间常写成其置信区间的长度为由一个样本值算得样本均值的观察值则置信区间为其置信区间的长度为比较两个置信区间的长度置信区间短表示估计的精度高.说明:

对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐标轴对称的情况,易证取a和b关于原点对称时,能使置信区间长度最小.今抽9件测量其长度,得数据如下(单位:mm):142,138,150,165,156,148,132,135,160.解例3三、小结点估计不能反映估计的精度,故而本节引入了区间估计.求置信区间的一般步骤(分三步).第五节正态总体均值与方差的

区间估计一、单个总体的情况二、两个总体的情况三、小结一、单个总体的情况由上节例2可知:1.包糖机某日开工包了12包糖,称得质量(单位:克)分别为506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.假设重量服从正态分布,解附表2-1例1附表2-2查表得推导过程如下:解有一大批糖果,现从中随机地取16袋,称得重量(克)如下:设袋装糖果的重量服从正态分布,试求总体均值附表3-1例2就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与507.1克之间,这个估计的可信程度为95%.这个误差的可信度为95%.解附表3-2例3(续例1)如果只假设糖包的重量服从正态分布解例4推导过程如下:根据第六章第二节定理二知2.进一步可得:注意:在密度函数不对称时,习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图).

(续例2)求例2中总体标准差

的置信度为0.95的置信区间.解代入公式得标准差的置信区间附表4-1附表4-2例5解例6

(续例1)二、两个总体的情况讨论两个整体总体均值差和方差比的估计问题.推导过程如下:1.例7为比较І,ІІ两种型号步枪子弹的枪口速度,随机地取І型子弹10发,得到枪口速度的平均值为随机地取ІІ型子弹20发,得枪口速度平均值为假设两总体都可认为近似地服从正态分布,且由生产过程可认为它们的方差相等,求两总体均值差信区间.解由题意,两总体样本独立且方差相等(但未知),解由题意,两总体样本独立且方差相等(但未知),例8为提高某一化学生产过程的得率,试图采用一种新的催化剂,为慎重起见,在试验工厂先进行体都可认为近似地服从正态分布,且方差相等,求两总体均值差试验.设采用原来的催化剂进行了次试验,得到得率的平均值又采用新的催化剂进行了次试验,得到得率的平均值假设两总推导过程如下:2.根据F分布的定义,知解例9研究由机器A和机器B生产的钢管内径,随机抽取机器A生产的管子18只,测得样本方差为均未知,求方差比区间.设两样本相互独抽取机器B生产的管子13只,测得样本方差为立,且设由机器A和机器B生产的钢管内径分别服从正态分布信解例10甲、乙两台机床加工同一种零件,在机床甲加工的零件中抽取9个样品,在机床乙加工的零件信区间.假定测量值都服从正态分布,方差分别为的置在置信度由所给数据算得0.98下,试求这两台机床加工精度之比中抽取6个样品,并分别测得它们的长度(单位:mm),单侧置信区间二、基本概念三、典型例题一、问题的引入四、小结一、问题的引入但在某些实际问题中,例如,对于设备、元件的寿命来说,平均寿命长是我们希望的,我们关心的是平均寿命的“下限”;与之相反,在考虑产品的废品率

p时,我们常关心参数

p的“上限”,这就引出了单侧置信区间的概念.二、基本概念1.

单侧置信区间的定义2.

正态总体均值与方差的单侧置信区间三、典型例题设从一批灯泡中,随机地取5只作寿命试验,测得寿命(以小时计)为1050,1100,1120,1250,1280,设灯泡寿命服从正态分布,求灯泡寿命平均值的置信水平为0.95的单侧置信下限.解例1四、小结三、小结附表2-1标准正态分布表z01234567890.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.60.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645附表3-1=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.70624