chap6弯曲变形解析

§6-1工程中的弯曲变形问题§6-2挠曲线的微分方程§6-3用积分法求弯曲变形§6-4用叠加法求弯曲变形§6-6提高弯曲刚度的一些措施§6-1工程中的弯曲变形问题在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。

桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。但在另外一些状况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作须要。例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。§6-2挠曲线的微分方程1.梁的挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。B1Fxqqwyx2.梁位移的度量：②挠度：梁横截面形心的竖向位移w，向上的挠度为正①转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，逆时针转动为正③挠曲线方程：挠度作为轴线坐标的函数—w=f(x)④转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系—3.计算位移的目的：刚度校核、解超静定梁、适当施工措施4.挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：忽视剪力对变形的影响由数学学问可知：略去高阶小量，得所以由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一样，所以挠曲线的近似微分方程为：由上式进行积分，再利用边界条件（boundarycondition）和连续条件(continuitycondition)确定积分常数。就可以求出梁横截面的转角和挠度。①适用于小变形态况下、线弹性材料、瘦长构件的平面弯曲。②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。优点：运用范围广，干脆求出较精确；缺点：计算较繁。5.探讨：§6-3用积分法求弯曲变形挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：积分常数C、D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。位移边界条件光滑连续条件

－弹簧变形例6-3-1求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。解1）由梁的整体平衡分析可得：2）写出x截面的弯矩方程3）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次再积分一次ABF4）由位移边界条件确定积分常数代入求解5）确定转角方程和挠度方程6）确定最大转角和最大挠度ABF例6-3-2求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整体平衡分析得：2）弯矩方程AC

段：CB

段：3）列挠曲线近似微分方程并积分AC段：CB段：4）由边界条件确定积分常数代入求解，得位移边界条件光滑连续条件5）确定转角方程和挠度方程AC段：CB段：6）确定最大转角和最大挠度令得，令得，例6-3-3已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。解：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：θAθB由边界条件：得：§6-4用叠加法求弯曲变形设梁上有n个载荷同时作用，随意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为w，则有：若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为Mi(x)

，转角为i，挠度为wi，则有：由弯矩的叠加原理知：所以，故由于梁的边界条件不变，因此重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。叠加法前提力与位移之间的线性关系小变形例6-4-1按叠加原理求A点转角和C点挠度。qqPP=+AAABBBCaa例6-4-2已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C

截面的挠度yC；B截面的转角B。yC1yC2yC3例6-4-3已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C。二、结构形式叠加（逐段刚化法）：例6-4-4试按叠加原理求图示等直外伸梁截面B的转角B，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。解：=§6-6提高弯曲刚度的一些措施一、改善结构形式，削减弯矩数值变更支座形式变更载荷类型二、选择合理的截面形态三

、选用高强度材料，提高许用应力值同类材料，“E”值相差不多，“b”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。