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第六节二元函数的极值与最值一、二元函数极值极大值、极小值统称为极值.

使函数取得极值的点称为极值点.

1(1)(2)(3)例1例２例３2播放3极值的求法（称驻点）

驻点极值点注意：定理1（必要条件）

问题：如何判定一个驻点是否为极值点？4定理2（充分条件）负定正定5例4解无极值极小值-5极大值31无极值6二元函数的最值若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值),而在定义区域内部有惟一的极大(小)值点,则可以断定该极大(小)值点即为最大(小)值点.

设生产某种商品需原料A和B，设A的单价为2，数量为x；而B的单价为1，数量为y，而产量为

例5解且商品售价为5,求最大利润.

利润函数为

7令解得惟一驻点

惟一驻点为极大值点，即为最大值点，最大利润为

8例6解9令10用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？

二、条件极值与拉格朗日乘数法实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域的限制外,往往还受到一些附加条件的约束,这类极值问题称条件极值问题.

例7解即表面积最小.

代入目标函数,化为无条件极值问题：

xyz11内部唯一驻点,且由实际问题S有最大值,故做成立方体表面积最小.

这种做法的缺点：

1.变量之间的平等关系和对称性被破坏；

2.有时解出隐函数困难甚至不可能.

12拉格朗日乘数法引入拉格朗日函数令若这样的点惟一,由实际问题,可直接确定此即所求的点。13则构造拉格朗日函数为

令14用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？

例7解由实际问题,即为最小值点.

xyz15三、多元函数最大值、最小值及其应用在实际问题中，经常要求某多元函数在已知区域D内的最大值和最小值.根据实际情况，我们往往可以判断最大值或最小值在区域D的内部达到，若函数在D内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就是最大值点或最小值点.16例8解解得唯一驻点

即做成正三角形时面积最大.

17三角形中,以正三角形面积为最大:

四边形中,以正方形面积为最大：

18解例9先求函数在D内的驻点，解方程组19为最小值.20例10解21由由实际问题，此即最佳分配方案.

22解法1例11因驻点惟一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，23例11因驻点惟一，且由问题的实际含义可知必

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