专题四第一讲不等式的性质与证明

专题四不等式第一讲不等式的性质与证明要点知识整合4.比较法比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法，其中主要有作差比较法和作商比较法.5.综合法由已知条件或已知不等式出发，运用不等式的性质，推出所要求证的不等式，即“由因导果”.6.分析法从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把这个不等式的证明问题转化为确定这些条件是否具备的问题，如果这些条件已经具备，那么就可以断定所求证的不等式成立，即“执果索因”.热点突破探究典例精析题型一不等式的性质例1已知a＋b<0，且a>0，则(

)A．a2<－ab<b2

B．b2<－ab<a2C．a2<b2<－abD．－ab<b2<a2【解析】由条件a＋b<0，且a>0可得b<0，0<a<－b，所以0<a2<－ab,0<a(－b)<(－b)2，则0<a2<－ab<b2，故选A.【答案】

A【题后点评】涉及不等关系的问题，一般来说，结合题设条件寻求特殊值法比较方便．事实上，由于高考对不等式的整体要求降低，在大多数情况下，考查不等关系的基础题都会以送分题的形式出现．变式训练题型二基本不等式的应用例2【答案】

(1)C

(2)lg3【题后点评】（1）用不等式求最值，用到两个结论，简述为：“和定积最大”与“积定和最小”.（2）运用定理求最值时：必须做到“一正，二定，三相等”.“一正”指式子的各项为正；“二定”指含变数的两项和（积）为定值；“三相等”指含变数的两项相等时，才能取得最值.变式训练题型三平面向量与三角函数例3【题后点评】证明不等式的方法灵活多变，有时需多种方法并用，本例法一就联合使用了分析法与综合法，实质上是以分析法为主，借助综合法，使证明的问题明朗化，此种方法可称之为分析综合法，它的实质是既充分利用已知条件又时刻不忘解题目标，也就是不仅要搞清已知是什么，由已知能推出什么，而且还要搞清下一步要做什么，如何做，这样综合考虑，便于找到解题途径，也符合思维习惯.用作差法证明不等式的关键是化简，化简的目的是为了利于判断差的符号，常用的化简方法有因式分解、配方等.变式训练方法突破分类讨论例解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a>0)．【解】原不等式可变形为(x－a)(x－a2)>0，则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2.①当0<a<1时，有a>a2，∴x<a2或x>a，此时原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；②当a>1时，有a2>a，∴x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；③当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．综上可知：当a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}．【题后点评】本题的关键是对参数a进行分类讨论.一般地，含参数的一元二次不等式，若二次项系数含参数，则应先考虑二次项系数是否为零，当二次项系数非零时，再考虑它的正负号，进而考虑分解因式，不易因式分解时，则可对判别式进行分类讨论，分类标准应一致，不重不漏.高考动态聚焦考情分析从近几年高考来看，本讲高考命题具有以下特点：1不等式的性质是解不等式和证明不等式的重要依据，是高考的必考内容，多为选择题、填空题的形式，难度不大；均值不等式也是高考的必考内容，通常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中，是求函数最值的一种常用方法.2纵观近几年高考试题，对不等式证明的考查几乎不单独命题，而不等式证明作为一个重要的数学题型在高考中常与数列、方程、函数等形成知识交汇题，从不同的角度考查学生对不等式的理解和