欧几里德在西元前三百年定义中末比一条线段分割成

報告者:陳正明台中一中九十六年度教學演示黃金比例歐幾里德在西元前三百年定義「中末比」一條線段分割成兩段,當長線段與短線段之比等於全線長與長線段之比.該比為黃金比例,其比值記作Φ.

黃金比例黃金分割點的尺規作圖1已知線段AB.以A為圓心,過B畫圓C1;以B為圓心,過A畫圓C2,C1和C2交於D點.以C為圓心,過B畫圓C3,C3和C2交於E點.連ED,交AB於G點.G點為線段AB的黃金分割點.

黃金分割點的尺規作圖2黃金分割點的尺規作圖2已知線段AB.以A為圓心,過B畫圓(綠);以B為圓心,過A畫圓(綠),

兩圓相交於C,D兩點,連CD.以C為圓心,過A畫圓(綠),交圓A於E點,交CD於F.以E為圓心,過F畫圓(藍),交AB於G點和H點.G點為線段AB的黃金分割點;A點為線段BH的黃金分割點.連分數的表示法根號的表示法黃金比例的代數型式三角函數表示法黃金比例的代數型式黃金矩形ABCD滿足在黃金矩形ABCD分割兩塊,其中一塊AEFD為正方形,另一塊BCFE為矩形.將矩形BCFE拿出,矩形ABCD和矩形BCFE相似.黃金矩形黃金矩形ABCD，作正方形AEFB，以F為圓心，線段AB為半徑，作弧BE；如此重複此步驟，即可得一螺旋狀曲線，此曲線稱為黃金螺線(等角螺線)。黃金螺線連接AC,DF,BG.(1)AC和DF垂直.(2)AC,DF,BG三線共點.黃金螺線若腰長與底長之比值為黃金比的等腰三角形稱為黃金三角形；其頂角為36°的等腰三角形.若底長與腰長之比值為黃金比的等腰三角形稱為黃金三角形；其頂角為108°的等腰三角形.黃金三角形黃金三角形ABC,∠C平分線CD交AB於D,則△BCD也是黃金三角形.以此類推可以得到△ABC,

△BCD,△DEF,△EFG,△FGH均為黃金三角形.△ABC,△BCD,△DEF底邊上的高三線共點.黃金三角形黃金三角形ABC,作∠C的角平分線交AB於D,以D為圓心,線段AD為半徑,作弧AC；如此重複此步驟,即可得一螺旋狀曲線,此曲線稱為黃金螺線(等角螺線).黃金螺線直角的黃金三角形三邊長的比例滿足

直角的黃金三角形正五角星─畢達哥拉斯學派的代表徽章：隱含了許多黃金分割.點F為線段CA黃金分割點;點G為線段CF黃金分割點.正五角星形在正十二面體中,取各面的中心,每四個點得一矩形,可得三個黃金矩形.在正二十面體中,取12個頂點,每四個點得一矩形,可得三個黃金矩形.正多面體與黃金矩形一個莖枝模型,其中滿足經過自我複製後,可生長成美麗的黃金樹.黃金比例與碎形自我複製維納斯雕像,被視為女性體型美的標準.(1)人的肚臍位於人體身高的黃金分割點.

(2)肚臍以上,頸部是黃金分割點.(3)肚臍以下,膝蓋是黃金分割點.

人體的黃金比例像米勒的「拾穗」，人物的分配就是一黃金分割，每兩段相除約等於1.618。藝術上的黃金比例埃及的金字塔底部的邊長大約英呎,塔高約英呎,三角面的高約英呎

,其中建築中的黃金比例動物軀幹也有黃金比例,

頭至前肢：前肢至臀部.

蝴蝶身長的比例都是黃金比例.自然界的黃金比例黃金角是將一圓周分成1:0.618…的兩條半徑的夾角.有些樹葉(花朵)是按照黃金角的方式生長.自然界的黃金比例植物的葉子若以每137.5…度角(黃金角)螺旋上升.這種角度對於植物的通風及採光是最佳.隨著葉子越長越多,可資利用的間隙被葉子佔據四周變得越來越擁擠了.而137.5…度角的重要性就在於它最能最均勻地逐漸分割圓的一個角度.137.3度角黃金角137.6度角是最有效堆排

自然界的黃金比例艾略特指出股市呈現一定的基本韻律和型態,主要以五個推動浪和三個調整浪,構成了八個波的完整循環.黃金比例在經濟上的應用一般來說,上漲過程包含5個主波、21個中級波和89個小波,接下來是下跌過程由3個主波、13個中級波和55個小波.黃金比例在經濟上的應用五個推動浪中：浪2絕終點不能低於浪1的起點.浪3絕不可以同時小於浪1及浪5,一般而言,浪3往往是最大一波.浪4的終點絕不可以低於浪1的頂點.浪5的漲勢通常小於浪3,當浪5的終點低於浪3的終點,稱為失敗浪.黃金比例在經濟上的應用三個調整浪中：浪a出現,大多投資者還持觀望態度,實際「空頭市場」已來臨.浪b出現上升行情,投資者不要陷入陷阱中,此浪稱為逃命浪.浪c是跌勢強勁、跌幅大、時間長的全面下跌浪.往往浪c的幅度是浪a的1.618倍.黃金比例在經濟上的應用「下三波的跌幅大小(Q)很可能為上五波(P)的0.618倍（其次為0.382或0.5）」經常一上升浪可以是上一次高點的1.618倍.經常回吐的幅度比率有0.382,0.5,0.618等.黃金比例在經濟上的應用推動浪和調整浪經常出現