2022-2023学年河南省洛阳市高一年级上册学期期中考试数学试题【含答案】

洛阳市2022—2023学年第一学期期中考试高一数学试卷本试卷共4页，共150分.考试时间120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2．考试结束，将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，，，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由集合基本运算求解即可.【详解】∵，，∴，∵，∴.故选：B.2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式的基本性质可判断AB选项；利用作差法可判断CD选项.【详解】对于A选项，由不等式的基本性质可得，A错；对于B选项，由不等式的基本性质可得，B错；对于C选项，，C错；对于D选项，，则，D对.故选：D.3.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】使用含有一个量词命题的否定知识对选项是否正确进行判断.【详解】全称量词命题“，”的否定是存在量词命题“，”，∴命题“，”的否定是“，”.故选：C.4.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数单调性，结合指数运算，即可比较大小.【详解】因为是上的单调减函数，故，又，则，即.故选：A.5.设，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由p是q的充分不必要条件得到两个范围对应集合之间的包含关系，进而得到实数a的取值范围.【详解】因为p是q的充分不必要条件，所以，所以，即实数a的取值范围是.故选：B.6.已知正数x，y满足，则xy的最大值为（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】先根据题干条件列出不等式组，求出，再根据基本不等式求出最值.【详解】因为正数x，y满足，所以，解得：，故，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为故选：B7.已知幂函数过点，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出幂函数的解析式，再解不等式即可得解.【详解】设，则，则，，由可得，解得，因此，不等式的解集为.故选：C.8.若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.(-1，2） B. C.(-2，1) D.【答案】A【解析】【分析】将化为，再由单调区间可得答案.【详解】，因其在上单调递减，则，得.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多相符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设全集为，为的子集，且，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据包含关系和交并补的定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A，，，A正确；对于B，，，B正确；对于C，当时，，C错误；对于D，，，D正确.故选：ABD.10.下列函数中最大值为2的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】由二次函数特征可判断A正确；由对勾函数特征判断B错误；C由绝对值性质易判断正确；D由指数函数的性质可判断错误.【详解】，可看作复合，当时，取最大值4，取最大值2，故A项正确；，当时，，当且仅当时取到，故无最大值，故B项错误；，，故C项正确；，则，即函数的值域为，故D项错误.故选：AC.11.已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数，则下列结论中正确的是（）A. B.函数是奇函数C.方程有无数解 D.函数f（x）的值域为Z【答案】ACD【解析】【分析】根据题目中函数的定义，可设函数，结合不等关系、奇函数定义，可得答案.【详解】由题意，设，则，对于A，显然，则，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，当时，，，故C正确；对于D，由函数定义，可得D正确.故选：ACD.12.已知函数的定义域为，且．若为奇函数，为偶函数，则（）A. B.C D.【答案】BD【解析】【分析】根据函数的奇偶性得到，，取，，，代入计算得到答案.【详解】为奇函数，故，即，偶函数，即.取得到，故，A错误；取得到，B正确；取得到，即，C错误；取得到，即，D正确.故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件及分母不为0得不等式组，解之可得．【详解】解：由题意得：，解得：且，所以函数的定义域为．故答案为：．14.若函数为奇函数，则实数a=______．【答案】【解析】【分析】由奇函数的定义，函数满足，解出a的值.【详解】因为是奇函数，所以，即，所以，所以.故答案为：-1.15.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过的部分3元/超过但不超过的部分6元/超过的部分9元/若某户居民本月交纳的水费为81元，则此户居民本月用水量为______．【答案】19【解析】【分析】由题可得水费与用水量的解析式，进而根据水费即可求得用水量.【详解】设此户居民月用水量为，月缴纳水费为元则整理得：当时，当时，，所以，解得，所以此户居民本月用水量为19故答案为：19.16.已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】由不等式的解集为，可求得的两根，即可表示出不等式的解集.【详解】因为关于x的不等式的解集为，则，是一元二次方程的两根，且，则，，，则不等式即为，因为，所以，即，因为，所以的两根分别为，，所以不等式的解集为故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤.17.（1）计算；（2）化简．【答案】（1）103；（2）1【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算求解；（2）利用根式运算求解.【详解】解：（1），=100+1-6+8=103．（2），=4-π+π-3=1．18.已知集合，．（1）当时，求，；（2）若，求实数m的取值范围．【答案】（1）或，或（2）【解析】【分析】（1）将代入，解出，再利用集合交集、并集、补集的计算求解即可.（2）根据，得出，再利用集合的交集即可求解.【小问1详解】当时，，，由，得．．【小问2详解】由，得，且由题意得，.则或，解得或．所以实数m的取值范围是．19.给定函数，，．，用表示，中的最小者，记为．（1）请用图象法和解析法表示函数；（2）根据图象说出函数的单调区间及在每个单调区间上的单调性，并求此时函数的最大值和最小值．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）求得的交点坐标，根据的定义，将其写成分段函数即可，再根据常见函数的图象，画图即可；（2）数形结合，即可求得单调区间，结合函数单调性和区间端点处的函数值，即可求得最值.【小问1详解】令，即，解得，或．根据题意，故其函数图象如下所示：.【小问2详解】数形结合可知，函数的单调区间是；函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．由，，，知，当时，取得最大值，最大值为8，当时，取得最小值，最小值为-1．20.某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在2h内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．每毫升血液中的药物含量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线段AB是函数（，，k，a是常数）的图象，且，．（1）写出注射该药后每毫升血液中药物含量y关于时间t的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中药物含量不少于1μg时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？（3）若按（2）中的最迟时间注射第二次药物，则第二次注射后再过1.5h，该人每毫升血液中药物含量为多少μg（精确到0.1μg）？【答案】（1）（2）最迟13点注射药物（3）6.4μg【解析】【分析】（1）根据函数图象分段求解函数解析式即可；（2）根据题意列出不等式，求解出答案；（3）分别求解出第每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果．【小问1详解】解：当时，；当时，把，代入（，，k，a是常数），得，解得，故.【小问2详解】解：设第一次注射药物后最迟过t小时注射第二次药物，其中．则，解得，即第一次注射药物5h后开始第二次注射药物，即最迟13点注射药物．【小问3详解】解：第二次注射药物1.5h后，每毫升血液中第一次注射药物的含量，每毫升血液中第二次注射药物的含量，所以此时两次注射药物后的药物含量为．故该人每毫升血液中药物含量为6.4μg．21.已知（，且）．（1）解关于x的不等式；（2）若，且对，，求实数n的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）对不等式变形得到，结合恒成立，得到，分与两种情况，求出不等式的解集；（2）根据函数单调性解不等式，得到，分与两种情况，参变分离结合基本不等式求出实数n的取值范围.【小问1详解】可化为，即，因为恒成立，故．当，不等式的解集为，当时，不等式的解集为．【小问2详解】当时，因为，是减函数，所以是减函数，又因为，得，即．当时，不等式恒成立，，当时，不等式两边同除以得：，因为，当且仅当时等号成立，所以．综上，实数n的取值范围是．22.已知函数的定义域为R，对任意实数x，y，．当时，，．（1）求，的值；（2）判断函数的单调性并加以证明；（