2022-2023学年湖北省武汉市高一年级上册学期第三次月考数学试题【含答案】

湖北省武汉市第六中学2022级高一年级第3次月考数学试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分命题教师：徐静陈玉娟审题教师：欧阳彪一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每个小题只有一个正确选项）1.己知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据元素与集合关系，建立方程，可得答案.【详解】由，则当时，；当时，；当时，，即.故选：D.2.已知集合，若，则（）A.1 B.0 C. D.无法确定【答案】B【解析】【分析】分两种情况讨论：①，②，结合集合中元素的互异性以及集合相等的定义可求出结果.【详解】由可知，，因为，所以或，①当时，得或（舍），则，解得或（舍），此时，符合题意，此时；②当时，得或（舍），则，解得或（舍），此时，符合题意，此时.综上所述：.故选：B3.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法及补集的定义，结合交集的定义即可求解.详解】由，得，解得或，所以或，所以，由，得，解得或，所以或，所以或或.故选：B.4.若命题“时，”是假命题，则m的取值范围（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由否命题为真命题可得，求最小值即可.【详解】因为命题“时，”是假命题，所以命题“时，”是真命题，即有，易知当，有最小值0,所以.故选：C5.若实数x，y满足，则的取值范围（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，求出，再根据不等式的性质即可得出答案.【详解】解：设，则，解得，故，又因，所以，所以.故选：A.6.若是第一象限角，则下列各角中属于第三象限角的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意逐一考查所给选项即可求得最终结果.【详解】若是第一象限角，则：位于第一象限，位于第二象限，位于第四象限，位于第三象限，故选：D7.函数若，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数的图象，由图象判断出，将原式转化为，再利用二次函数的性质求解即可.【详解】函数的图象如下图，因，且，由图可知点的横坐标分别为，当时，或，所以，因为的图象关于对称，所以，又，所以，因为，所以，即的取值范围是.故选：C.【点睛】方法点睛：函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．8.已知函数，若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先作出函数的图像，结合图像可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案．【详解】作出函数图像如图所示：令，则可化为，若有6个根，结合图像可知方程在上有2个不相等的实根，不妨设，，则，解得，故m的取值范围为.故选：D．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分）9.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为，质点A以的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（）A.时，的弧度数为 B.时，扇形的弧长为C.时，扇形的面积为 D.时，A，B在单位圆上第一次相遇【答案】AB【解析】【分析】根据已知条件，弧长公式及扇形面积公式，逐项分析即得答案.【详解】时，质点A按逆时针运动方向运动，质点B按顺时针方向运动，此时∠BOA的弧度数为，故A正确；时，∠BOA的弧度数为，故扇形AOB的弧长为，故B正确；时，∠BOA的弧度数为，故扇形AOB的面积为，故C错误；设时，A，B在单位圆上第一次相遇，则，解得，故D错误.故选：AB.10.已知，且，则（）A.的范围 B.的范围是C. D.的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】对于A，B选项可由基本不等式及其推论判断正误；对于C，D选项，先由可得，后利用基本不等式可得选项正误.【详解】对于A，由基本不等式，有，当且仅当时取等号.解不等式，注意到，则，当时取最大值1.故A正确.对于B，由基本不等式，可得，两不等式均当且仅当时取等号.则，当且仅当时取等号，解不等式，注意到，得，此时.又，故，则.综上.故B错误.对于C，因，，则，则.又由，可得.故，当且仅当，即或时取等号.因，故取不到等号.则.故C正确.对于D，由C分析可知：当且仅当，即时取等号.得的最小值是.故D正确.故选：ACD11.若函数在上满足：，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】先通过分析，得到若在上单调递增，则函数为“理想函数”，然后依次判断四个选项能否满足题意.【详解】依题意，，当时，恒有，构造函数，任取，则，此时，所以，所以；同理可证得：任取，时，，综上所述，在区间上单调递增.对于A选项，，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义，A选项不正确；对于B选项，，和在上单调递增，由复合函数的单调性知，在上递增，符合题意，B选项正确.对于C选项，，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义，C选项正确；对于D选项，，和在上单调递增，所以在上递增，符合题意，D选项正确.故选：BCD.12.已知函数（，为自然对数的底数），则下列说法正确的是（）A.方程至多有2个不同的实数根B.方程可能没有实数根C.当时，对，总有成立D.当，方程有4个不同的实数根【答案】ACD【解析】【分析】对进行分类讨论，结合方程的根，函数单调性等知识得出答案．【详解】由，得；由，得．当时，方程没有实数根；方程有1个实数根，所以方程有1个实数根；当时，方程有1个实数根；方程有1个实数根，所以方程有2个不同的实数根；当时，方程有1个实数根；方程没有实数根，所以方程有1个实数根，所以方程至多有2个不同的实数根，至少有1个实数根，故A正确，B错误；当时，是增函数，是增函数，且，，所以在上单调递增，即，总有成立，故C正确；当时，，此时由得或，所以由得或，由，解得；由，因为，所以，解得，，所以当时，方程有4个不同的实数根，故D正确，故选：ACD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】先化简不等式，再根据充分条件的定义求解.【详解】解：由题意知：，由不等式得，因为不等式的一个充分条件为，所以，解得，所以实数a的取值范围是，故答案为：14.己知，设，则a，b，c的大小关系为_______．（用“”连接）【答案】【解析】【分析】根据对数运算及对数函数的性质判断即可．【详解】解：由得，即，，又，，，，，综上：．故答案为：．15.定义在R上函数满足且当时，，则使得在上恒成立的m的最小值是_______________．【答案】##【解析】【分析】首先根据条件求其他区间的解析式，并计算每一段的值域，从而确定对应的的值，结合函数的性质和图象，即可求解.【详解】设，，，函数的值域是，，，，函数的值域是，，，，函数的值域是，，，，函数的值域是，所以当后，当时，，解得：或，如图，根据规律，画出函数的图象，如图可知，使在上恒成立的m的最小值是.故答案为：16.已知集合，其中且，函数，且对任意，都有，则t的值是_____________．【答案】或.【解析】【分析】先判断区间与的关系可得，再分析时定义域与值域的关系，根据函数的单调性可确定定义域与值域的区间端点的不等式，进而求得和即可.最后分析当时，，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可【详解】先判断区间与的关系，因为，故或.因为当，即时，由题意，当时，，故不成立；故.再分析区间与的关系，因为，故或.①当，即时，因为在区间上为减函数，故当，，因为，而，故此时，即，因为，故，即，所以故，解得，因为，故.此时区间在左侧，在右侧.故当时，，因为，故，所以，此时，故，解得，因为，故；②当时，在区间上单调递减，易得，故此时且，即且，所以，故，故，即，即，所以因为，故；综上所述，或故答案为：或.【点睛】本题主要考查了根据单调性求解值域的问题，需要根据题意，结合分式函数的图像，依据端点与特殊值之间的关系进行分类讨论，同时需要根据值域的包含关系确定参数的取值范围.求解过程中需要统一分析，注意不等式之间相似的关系整体进行求解.属于难题.四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算下列各式的值：（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂及根式运算法则进行计算即可；（2）利用对数运算性质及换底公式计算即可.【小问1详解】原式=.【小问2详解】原式.18.已知函数，其中且．（1）若且函数的最大值为2，求实数a的值．（2）当时，不等式在有解，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将代入函数得出解析式，根据复合函数同增异减的性质，分类讨论和时在的单调性，由此确定最大值，即可解出实数a的值．（2）有对数函数性质可得，再由对数单调性可得，利用换元法结合二次函数的性质求出不等式右边的最大值，即可得到m的取值范围．【小问1详解】当时，所以，当时，在定义域内单调递增，，解得当时，在定义域内单调递减，，解得，不符合题意，舍去综上所述，实数a的值为.【小问2详解】要使在上有意义，则，解得由，即，因为，所以即，得，令，，记，对称轴为，若不等式在有解，则在有解即在有解，即综上所述，实数m的取值范围为19.已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若函数的图象过点，且关于x的方程在有实根，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）解不等式即可；（2）待定系数法求函数解析式，再解方程即可.【小问1详解】当时，，因为，所以所以，即，所以，所以不等式的解集为.【小问2详解】因为函数的图象过点，所以，即，解得所以，因为方程有实根，所以有实根，所以有实根，所以有实根，所以有实根，因为，所以，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是.20.2022年12月7日，国务院发布了精准防控新冠疫情的十条最新措施，以减轻疫情防控对企业经营和民众生活带来的损失．某公司为了尽快恢复经营活动，决定对业绩在50万元到200万元的业务员进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随着业绩值x（单位：万元）的增加而增加，但不超过业绩值的．（1）若某业务员的业绩为100万，核定可得5万元奖金，若该公司用函数（k为常数）作为奖励函数模型，则业绩200万元的业务员可以得到多少奖励？（参考数据）（2）若采用函数，求a的范围．【答案】（1）业绩200万元的业务员可以得到7.3万元奖励；（2）a的取值范围是．【解析】【分析】(1)将题中的条件代入，可以求出具体的函数解析式，即可解决.(2)根据题意列出关于的不等式，然后把问题转化为研究函数的恒成立问题，进而确定参数的取值范围.【小问1详解】对于函数模型（k为常数），当时，，代入得，解得，即，因为函数和函数在上都为增函数所以函数在上都为是增函数，当时，，所以业绩200万元的业务员可以得到7.3万元奖励．【小问2详解】对于函数模型，因为函数在递增，所以，即；又由奖金不超过业绩值得5%，得恒成立，即对恒成立．记，因为二次函数图象开口向上且，所以函数图象的对称轴，所以只需，即解得．所以综上可知，实数a的取值范围是．21.已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，．（1）求的值，并证明：当时，；（2）判断的单调性，并证明你的结论；（3）若，求不等式的解集．【答案】（1）；证明见解析（2）证明见解析（3）或【解析】【分析】（1）利用赋值法求得，再利用反比例函数的性质得到，结合赋值法即可证得结论；（2）利用赋值法与作差法，结合函数单调性的定义即可得证；（3）利用赋值法得到，再利用的单调性即可解得不等式的解集.【小问1详解】因为对任意的，都有，所以令，得，则，因当时，，所以当时，，则，令，得，所以，证毕.【小问2详解】在上单调递减，证明如下：不妨设，则，，令，则，所以，即，所以在上单调递减.【小问3详解】因为，令，得，则，令，得，则，所以由得，即，因为的定义域为，在上单调递减，所以，解得或，所以不等式的解集为或.22.对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”．（1）已知函数，试判断是否为“伪奇函数”，并说明理由；（2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据“伪奇函数”的概念，可以求出满足，得到是“伪奇函数”；（2）由幂函数的概念求出的值，把结论转化为对勾函数在的值域问题，进而解不等式得答案；（3）由题意把结论化为关于的二次方程有解的问题，通过换元引入二次函数，进而转化二次函数为在给定的区间有零点问题，列不等式解得答案.【小问1详解】若函数为“伪奇函数”，则方程有实数解，即有解，整理得解得，所以为“伪奇函数”；【小问2详解】因为为幂函数，所以即，所以，