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第四节逆矩阵及伴随矩阵1逆矩阵（P110，定义2.9）一基本概念1.互逆矩阵可换，是同阶方阵。即：若成立，则也成立。2.逆矩阵唯一。3.零矩阵不可逆；单位矩阵与其自身互为逆阵。4.注：2奇异矩阵：【P111，例2】【P111，例3】【例】河南财经学院信息学院廖扬3伴随矩阵二逆矩阵存在定理1.矩阵可逆的充要条件是2.若A可逆，则【P114，例4】【P115，例5】【P117，例6】河南财经学院信息学院廖扬转置逆伴随三转置矩阵、逆矩阵、伴随矩阵的运算性质【例】河南财经学院信息学院廖扬使得呢?使得即对于任意非零的数，如果存在另一个数，倒数：则说

是的倒数.一、逆矩阵产生的背景矩阵:运算中的1，矩阵，在矩阵的运算中，单位阵相当于数的乘法那么，对于矩阵Ａ，是否存在另一个河南财经学院信息学院廖扬1、逆矩阵的概念例如设使得则说矩阵

是可逆的，并把矩阵

称为

的一个逆矩阵，记作对于阶矩阵，如果存在阶矩阵，定义2.4.1河南财经学院信息学院廖扬河南财经学院信息学院廖扬事实上，若设和都是的逆矩阵，则有可得所以的逆矩阵是唯一的。河南财经学院信息学院廖扬2奇异矩阵与非奇异矩阵设是奇异矩阵是非奇异矩阵,0,,0称为非奇异矩阵时当称为奇异矩阵时当AAAA¹=河南财经学院信息学院廖扬定义2设为阶方阵，的行列式的元素的代数余子式所构成的矩阵的转置矩阵称为矩阵的伴随矩阵。即记为3伴随矩阵河南财经学院信息学院廖扬解：【P114，例4】求的伴随矩阵。河南财经学院信息学院廖扬逆矩阵的存在定理：证明：若可逆，矩阵可逆的充要条件是

且当A可逆时

河南财经学院信息学院廖扬河南财经学院信息学院廖扬按逆矩阵的定义得牢记：记住了吗？河南财经学院信息学院廖扬若可逆，则证明：河南财经学院信息学院廖扬若可逆，则也可逆，且证明：河南财经学院信息学院廖扬若、是同阶可逆阵，则也可逆，且证明：特别有：（反序定律）河南财经学院信息学院廖扬证明：求证回顾河南财经学院信息学院廖扬求证证明：河南财经学院信息学院廖扬求证证明河南财经学院信息学院廖扬河南财经学院信息学院廖扬若可逆，则也可逆，且证明：求证河南财经学院信息学院廖扬求证证明河南财经学院信息学院廖扬求证证明原命题得证河南财经学院信息学院廖扬【P111，例2】证明矩阵证明：的逆矩阵为故，原命题得证河南财经学院信息学院廖扬【P111，例3】，求证A可逆，并求其逆矩阵.证明：故，A可逆，且河南财经学院信息学院廖扬由，得【例】可逆，并求它们的逆矩阵.由设方阵满足方程，证明证明河南财经学院信息学院廖扬由还可以得到但是，等式右端为0的这个结论对于本题没有用处。我们希望等式右端应该为E或者kE。河南财经学院信息学院廖扬解：【P115，例5】河南财经学院信息学院廖扬【P117，例6】设A是非奇异矩阵，且AB=AC,求证：B=C将AB=AC两端同乘以得证明：由于A是非奇异矩阵，故存在。即从而同理，A

可逆时，由AB=O

可得B=O。,即消去律成立河南财经学院信息学院廖扬【例】设A

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