数字信号处理(程佩青)第五章 数字滤波器基本结构

第五章数字滤波器的基本结构

DF（DigitalFilter)1内容提要5.1引言5.2无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的基本结构5.3有限长单位冲激响应（FIR）滤波器的基本结构本章小结2一、滤波器的概念：滤波器是对输入信号起滤波的作用的装置。当输入、输出是离散信号，滤波器的冲激响应是单位抽样响应h（n）时，这样的滤波器称作数字滤波器（DF）。DF是由差分方程描述的一类特殊的离散时间系统。5.1引言3πωcω00ωcπω0ωcπωH(ejω)为矩形窗时的情形4二、数字滤波器的系统函数与差分方程H(z)X(z)Y(z)1、系统函数

2、差分方程对上式进行

Z反变换，即得5

3、滤波器的功能与实现滤波就是对输入序列x(n)进行一定的运算操作，从而得到输出序列y(n)。实现滤波从运算上看,只需三种运算：

加法、单位延迟、乘常数。实现的方法有两种：（1）利用通用计算机编程，即软件实现;

（2）数字信号处理器（DSP）,即专用硬件实现。61、方框图法

方框图法简明且直观，其三种基本运算如下图所示：

乘常数

三、数字滤波器结构的表示方法单位延时z-1a加法

7

x(n)b0b0x(n)

y(n)82、信号流图法z-1a乘常数

单位延时这种表示法更加简单方便。加法

9x(n)y(n)b0a1a2z-1z-110

几个基本概念：

a）输入节点或源节点，x(n)所处的节点；

b）输出节点或阱节点，y(n)所处的节点；

c）分支节点，一个输入，一个或一个以上输出的节点；将值分配到每一支路;d）相加器（节点)或和点，有两个或两个以上输入的节点。*支路不标传输系数时，就认为其传输系数为1；任何一节点值等于所有输入支路的信号之和。

111例如，235467a1y(n-1)y(n)和点：1，5；分支节点：2，3，4；源点：6；阱点：712若

中的有用成分和希望去除的成分 各自占有不同的频带,通过一个线性系统可将有效去除.从功能上又可分为:低通(LP),高通(HP),带通(BP),带阻(BS)加法性噪声经典滤波器四、数字滤波器的分类13每一种又有模拟(AF)、数字(DF)两种滤波器.对数字滤波器,从实现方法上,有IIR滤波器和FIR滤波器之分,系统函数分别为:FIRDF:IIRDF:14现代滤波器维纳滤波器是这类滤波器的典型代表种类：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预 测、自适应滤波器乘法性噪声卷积性噪声信号的频谱和噪声的频谱混迭在一起，靠经典的滤波方法难以去除噪声。目标：从含有噪声的数据记录(又称时间序列)中估计出信号的某些特征或信号本身。15五、研究DF实现结构的意义1.滤波器的基本特性（如有限长冲激响应FIR与无限长冲激响应IIR）决定了结构上有不同的特点。2.不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，前者影响复杂性，后者影响运算速度。3.在有限精度（有限字长）的情况下，不同运算结构的误差及稳定性不同。4.好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适合于模块化实现，便于时分复用。返回本章16IIRDF特点单位冲激响应h(n)是无限长的。系统函数H(z)在有限z平面上（0<|z|<∞)有极点存在。结构上是递归型的，即存在着输出到输入的反馈。

5.2IIRDF的基本结构171.直接I型4.并联型3.级联型2.直接II型基本网络结构18IIRDF系统函数及差分方程

一个N阶IIRDF有理系统函数为：则表示这一输入输出关系的N阶差分方程为：以下我们讨论M<=N情况。191、直接I型(1)直接I型流图由差分方程直接实现方程看出：y(n)由两部分组成：第一部分是一个对输入x(n)的M节延时链结构，每个延时抽头后加权相加，是一个横向网络。第二部分是一个N节延时链结构网络。不过它是对y(n)延时，因而是个反馈网络。2021两个网络级联：第一个横向结构M节延时网络实现零点，第二个有反馈的N节延时网络实现极点。共需(N+M)级延时单元系数ak,bk不是直接决定单个零极点，因而不能很好地对滤波器的性能进行控制。极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应对系统变化过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。(2)结构的特点222、直接II型（典范型）将上面直接Ⅰ型结构的两部分看成两个独立的网络（即两个子系统）。原理：一个线性时不变系统，若交换其级联子系统的次序，系统函数不变，也就是总的输入输出关系不改变。把此原理应用于直接I型结构。即：（1）交换两个级联网络的次序（2）合并两个具有相同输入的延时支路。得到另一种结构即直接II型。(1)直接II型原理23(2)直接II型的结构流图对调y(n)z-1z-1z-1b0b1b2bM+1bMx(n)z-1z-1a1a2z-1aN-1aNy(n)x(n)b0z-1z-1z-1b1b2bM+1bMa1a2z-1aN-1aNz-1z-124(3)直接II型的结构流图

由于对调后前后两路都有一条内容完全相同的延时链，可以合并为一条即可。x(n)b0z-1z-1z-1b1b2bM+1bMa1a2z-1aN-1aNz-1z-1x(n)b0y(n)a1a2z-1z-1aN-1b1b2bM+1bMz-1aNz-1合并这就是直接II型的结构流图25(4)直接II型特点两个网络级联。第一个有反馈的N节延时网络实现极点；第二个横向结构M节延时网络实现零点。实现N阶滤波器（一般N>=M)只需N级延时单元，所需延时单元最少。故称典范型。同直接I型一样，具有直接型实现的一般缺点。26已知IIRDF系统函数，画出直接I型、直接II型的结构流图。解：为了得到直接I、II型结构，必须将H(z)化为z-1的有理式；例子27x(n)8-411z-1z-1y(n)5/4-3/4z-1z-1z-11/8z-125/4z-1z-1z-1-3/41/8-41128y(n)x(n)直接I型直接II型注意反馈部分系数的符号283、级联型结构一个N阶系统函数可用它的零、极点来表示，即系统函数的分子、分母进行因式分解：(1)系统函数因式分解因为H(z)的系数ak、bk都是实数，所以零、极点ck、dk只有两种情况（a）或者是实根（b）或者是共轭复根29(2)系统函数系数分析式中：gk、pk为实根；hk、qk为复根。其中：N1+2N2=N；M1+2M2=M。若将每一对共轭因子合并起来构成一个实系数的二阶因子。则：3、级联型结构30(3)基本二阶节的级联结构31(4)滤波器的基本二阶节所以，滤波器就可以用若干个二阶网络级联起来构成。这每一个二阶网络称作滤波器的基本二阶节（即滤波器的二阶节）。一个基本二阶节的系统函数的形式为：一般用直接II型（典范型）表示x(n)β1ka2kz-1z-1a1kβ2ky(n)32(5)用二阶节级联表示的滤波器系统整个滤波器则是多个二阶节级联y(n)x(n)β11a21z-1z-1a11β21β12a22z-1z-1a12β22β1Ma2Mz-1z-1a1Mβ2M…...33设IIR数字滤波器系统函数为：例子:1z-1111z-1z-111y(n)x(n)34它的每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点。调整β1k,β2k,只单独调整滤波器第k对零点，而不影响其它零点。同样，调整a1k,a2k,只单独调整滤波器第k对极点，而不影响其它极点。(6)级联结构的特点35由于每个二阶节系数单独控制一对零点或一对极点，所以有利于控制频率响应。分子分母中二阶因子配合成基本二阶节的方式不同，以及各二阶节的排列次序不同，可以得到不同结构的滤波器。所以存在着最优化问题。(6)级联结构的特点364、并联型将系统函数展成部分分式的形式：用并联的方式实现DF。如果遇到某一系数为复数，那么一定有另一个为共轭复数，将它们合并为二阶实数的部分分式。(1)系统函数的部分分式展开37(2)并联型结构流图其实现结构为：AN1z-1a1x(n)aN1a11z-1z-1A1β11y(n)A0...β01a21a1N2a2N2β0N2β1N2z-1z-1z-138(3)并联型基本二阶节结构并联型的基本二阶节的形式：其中：要求分子比分母小一阶x(n)β0ka2kz-1z-1a1kβ1ky(n)39(4)并联型特点可以单独调整极点位置，但不能象级联那样直接控制零点(因为只为各二阶节网络的零点，并非整个系统函数的零点)。其误差最小。因为并联型各基本节的误差互不影响，所以比级联误差小。注意:(a)为什么二阶节是最基本的？因为二阶节是实系数，而一阶节一般为复系数。

(b)级联结构与并联结构的基本二阶节是不同的。40例子:其并联结构为：x(n)Z-1Z-114y(n)161-6-1Z-141

如果将原网络中所有支路方向倒转，并将输入x(n)和输出y(n)互相交换，则其系统函数H(z)不变。转置定理42（原网络）43（转置后的网络）返回本章44

5.3FIRDF的结构系统的单位冲激响应h(n)在有限个n值处不为零。即h(n)是个有限长序列。系统函数H(z)在|z|>0处收敛，有限z平面只有零点，极点全部在z=0处（因果系统）。结构上主要是非递归结构，没有输出到输入反馈。但有些结构中（例如频率抽样结构）也包含有反馈的递归部分。FIRDF的特点451.直接型4.快速卷积型结构2.级联型3.线性相位型主要结构5.频率抽样型结构46FIR的系统函数及差分方程长度为N的单位冲激响应h(n)的系统函数为：它实际上为一般ai=0，即无反馈情况，其差分方程为471.直接型（卷积型、横截型结构）h(0)h(1)h(2)h(N-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)倒下h(0)h(1)h(N-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)x(n)(1)流图FIR滤波器的直接型结构FIR滤波器的直接型结构48Z-1Z-1Z-1Z-1…….x(n)h(0)h(1)h(2)h(N-1)y(n)（2）方框图492.级联型结构当需要控制滤波器的传输零点时，可将H(z)系统函数分解成二阶实系数因子的形式：即可以由多个二阶节级联实现，每个二阶节用横截型结构实现。x(n)β11z-1z-1β21β12z-1z-1β22β1(N/2)z-1z-1β2(N/2)y(n)…...β01β02β0(N/2）（1）流图50由于这种结构所需的系数比直接型多，所需乘法运算也比直接型多，很少用。由于这种结构的每一节控制一对零点，因而在需要控制传输零点时用。（2）级联型结构特点513.线性相位FIR的结构所谓线性相位：是指滤波器产生的相移与输入信号频率成线性关系。（1）线性相位的定义FIR的线性相位是非常重要的，因为数据传输以及图像处理都要求系统具有线性相位，而FIR滤波器由于它的冲激响应是有限长的,因而有可能做成严格线性相位的。52若FIRDF的h(n)是实数，且满足对称性。即满足约束条件：偶对称h(n)=h(N-1-n);奇对称h(n)=-h(N-1-n);

也就是说h(n)的对称中心在（N-1）/2，则这种FIR滤波器就具有严格线性相位。

下面我们针对h(n）的奇、偶进行讨论。53令n’=N-1-n代入用n=n’并应用线性FIR特性：h(n)=h(N-1-n)（2）h(n)为偶，N=偶数时FIR的线性相位的特性54其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2)……(2)

h(n)为偶，N=偶数时,线性相位FIR的结构流图Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)x(n-N/2+1)h(0)h(1)h(2)h(3)h(N/2-2)h(N/2-1)…….z-1z-1z-1z-1共有（N/2-1）项55当N=奇数时，有一中间项h((N-1)/2)无法合并，需提出来：（3）h(n)为偶，N=奇数时FIR的线性相位的特性56其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2)……,h((N-3)/2)=h((N-1)/2共有（N-3）/2项(3)

h(n)为偶，N=奇数时,线性相位FIR的结构流图h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)h(0)h(1)h(2)h(3)…….57当h(n)=偶对称时，即h(n)=h(N-1-n),可求出:N=奇数时（4）总结：h(n)为偶对称，N=奇、偶数时FIR的线性相位的特性N=偶数时58当h(n)=奇对称时，即h(n)=-h(N-1-n),可求出:N=奇数时（5）h(n)为奇对称，N=奇、偶数时FIR的线性相位的特性N=偶数时59Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)x(n-N/2+1)h(0)h(1)h(2)h(3)h(N/2-2)h(N/2-1)…….z-1z-1z-1z-1-1-1-1-1-1-1h(n)为奇对称，N=偶数时,线性相位FIR的结构流图60h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)h(0)h(1)h(2)h(3)…….-1-1-1-1-1h(n)为奇对称，N=奇数时,线性相位FIR的结构流图614.快速卷积结构设FIRDF的单位冲激响应h(n)的非零值长度为M，输入x(n)的非零值长度为N。则输出

y(n)=x(n)*h(n),

且长度N+M-1选择L≥N+M-1。若将x(n)补零加长至L，补L-N个零点，将h(n)补零加长至L，补L-M个零点。（1）原理62

而由圆周卷积可用DFT和IDFT来计算，即可得到FIR的快速卷积结构。L这样进行L点圆周卷积，可代替x(n)*h(n)线卷积。63L点DFTL点DFTL点IDFTX(k)H(k)Y(k)x(n)h(n)当N，M中够大时，比直接计算线性卷积快多了。此时（2）快速卷积结构框图L645、频率抽样型结构若FIRDF的冲激响应为有限长（N点）序列h(n),则有：h(n)H(z)H(k)H(ejw)DFT取主值序列N等分抽样单位园上频率响应z变换内插所以，对h(n)可以利用DFT得到H(k)，再利用内插公式：来表示系统函数。

(1)频率抽样型结构的导入65由：得到FIR滤波器的频率抽样型结构。它由两部分级联而成。

其中：第一部分为梳状滤波器第二部分由N个谐振器组成的谐振柜（2）频率抽样型滤波器结构66它是一个由N节延时单元所组成的梳状滤波器。由看出：(3)梳状滤波器：令零、极点特性67而等