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文档简介

一、拉格朗日中值定理第三章导数的应用第一节拉格朗日中值定理二、洛必达法则洛必达法则

定理1（拉格朗日中值定理）如果函数

y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点

x

(a,b)，使得一、拉格朗日中值定理（证略）)()(--abafbf拉格朗日中值定理的几何意义(如图3-1)：满足定理条件的曲线y=f(x)是[a,b]上的一条连续曲线,在弧AB上除端点外的每一点都有不垂直于x轴的切线,则弧上除端点外至少存在一点P,y=f(x)bxayxOlAB在这点处曲线的切线l平行于弦AB.P图3-1若点P的横坐标为x,则切线l的斜率为f

(x).因为

l∥AB,而AB的斜率为)()(--abafbf,所以)()(--abafbf成立.这个等式也写成f(b)-

f(a)=(b

-

a).

例1

若函数

y=f(x)

在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)

=f(b).求证:在(a,b)内至少存在一点x,使f(x)=0.

解

由于f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导,所以它满足定理条件,例1是拉格朗日中值定理的特殊情况,称为罗尔中值定理.由于f(a)=f(b),所以得故在(a,b)内至少存在一点x,

使得)()(--abafbf

f(x)=0.由f(x)=x2–1,故x2–1=0.解此方程得x=±1,

例2

对函数f(x)=在区间上验证拉格朗日中值定理的正确性.

解

函数f(x)在上连续,在内可导,且取x=1,这说明在内有x=±1,使二、洛必达法则当

x

x0(或x

)时,若f(x)、j(x)都趋于零或无穷大,其极限可能存在也可能不存在.因此,通常把这种极限称为不定式,并分别记为型和型.1.

型不定式

定理2(洛必达法则1)

设函数

f(x)、j(x)

在点x0

的左右近旁有定义，若有（1）j(x)0；（2）f(x)、j(x)在点

x0

的左右近旁可导，且则（3）(或无穷大),(或无穷大).例3定理

2

中

x

x0换为

x

时,结论也成立.解这是型不定式,应用洛必达法则得2.

型不定式

定理3(洛必达法则2)

设函数

f

(x)、j

(x)

在点x0

的左右近旁有定义，若有（1）j(x)0；（2）f(x)、j(x)在点

x0

的左右近旁可导，且则（3）(或无穷大),(或无穷大).例

4求解例5表明:在求不定式极限时,只要分子分母满足洛必达法则条件,就可以多次重复使用法则.定理

3

中

x

x0换为

x

时,结论也成立.例

5求解3.其它类型的不定式不定式除型和型外,还有、、、、等类型.一般地,对这些类型的不定式,通过变形总可以化为型或型的不定式,再用洛必达法则求极限.例6解

0.例7求解例8求解因为所以原式=例9求解因为所以原式=例10求解因为所以原式===0，不存在，故不能用洛必达法则求这极限，例11求但是因为解

这是型不定式，

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